第一章：有限元基本概念
第一章 有限元方法的基本原理与概念
有限元方法是求解数学物理问题的一种强有力的工具，它在变分法理论的基础上吸收了有限差分方法的思想而发展起来的。随着计算求解技术的发展成为研究学研究和工程设计等部门中的一种有效的手段。为了使读者更好的了解这一方法，本章主要介绍数学物理问题的一般提法，以及有限元方法所能解决问题的一些背景及其应用范围。本章还通过对有限差分法、变分法和加权残数法的介绍和比较，让读者进一步了解有限元方法的基本原理及其优越性。
§1.1 偏微分方程与定解问题
自然界中的许多物理问题在某些情况下可以通过适当的微分方程或偏微分方程描述，通常把这类方程称为数学物理方程。这些方程在给定的特定边界条件和初始条件中可求得解答。数学物理方程的求解方法基本可以分为两大类型：一类称之为解析法，例如分离变量法、特殊函数法、积分变换法等，利用这种方法可得到问题的精确解；另一类为数值法，例如有限差分法、数值积分方法、边界元法、有限元法等，利用这种方法可得到问题的近似解。不论使用哪种方法都需要对数学物理方程及其定解条件（初值和边值）应有基本了解，故本节对此方面的基本概念作一简要介绍。 §1.1.1偏微分方程的分类
数学物理问题一般由偏微分方程控制。方程中偏导数的最高阶次称之为方程的阶；未知函数多于一个的偏微分方程组成的方程组称为偏微分方程组。如果方程中包含的其它函数或其偏导数的项都是未知函数的一次式，则称之为线性偏微分方程；否则为非线性偏微分方程。在非线性方程中，未知函数的最高阶偏导数对于未知函数是线性的称之为拟线性偏微分方程，如果方程中存在有与未知函数无关项称之为非齐次的，否则为齐次方程。
在数学物理方程中最为典型的一维波动方程
222
2
2(,)u u
a f x t x t
??+=?? (1.1.1) 为二阶非齐次线性方程。
在固体力学中，在扭矩作用下的柱形杆扭转问题的控制方程
22220x y
??
??+=?? (1.1.2) 为二维二阶齐次方程。
热力学中的热传导方程
(,,,)x y z p k k k q x y z t C x x y y z z t
????ρ???????+++=??????? (1.1.3) 为三维二阶非齐次线性方程。
在二维弹性力学问题中位移形式的平衡方程为
11123333122200x y u v u v C C C q x x y x x y u v u v C C C q x y x x x y ???
??????????++++=??? ? ????????
???????
?????
????????++++=?? ? ?????????
?????? (1.1.4) 这是二阶方程组，对于线弹性体材料常数11C 、22C 、12C 、33C 和位移u 、v 无关，则方程是线性的，否则是非线性的。下边方程则为非线性方程
2
2
(,,)u u f x y u x y ??
????+= ? ???????
(1.1.5) 二阶线性偏微分方程的一般形式可写为如下形式
22222(,)2(,)(,)(,)(,)
(,)(,)A x y B x y C x y D x y E x y x x y y x y F x y q x y ???????????++++??????+= (1.1.6)
依照二次曲线的分类法，有
2000B AC
?=-==??>?
椭圆型抛物型双曲型 (1.1.7)
不同类型的方程控制着不同的物理过程，它们的解的特征也有明显的不同。 §1.1.2 偏微分方程的定解问题
一个偏微分方程是否有解？为了寻找在某一特定条件下的解，就要考虑所给问题的边界条件和初始条件。使偏微分方程的解完全唯一确定且有界的边界条件和初始条件称为定解条件。若解函数本身及其导数在初始时刻和在边界上为零，分别称这为齐
次初始条件和齐次边值条件。偏微分方程同定解条件一起构成定解问题，可分为初值问题、边值问题和混合问题。 1、 初值问题
一无限长杆的热传导问题可用下述方程及初始条件来描述
22d c k t dx
θθρ?=? (0
t t x >-∞<<∞) (1.1.8)
t t θθ==
其中(,)x t θθ=，θ是0t t =时刻杆中温度分布，这是典型的初值问题。
一维波方程初值问题的定解描述为
22222
d u d u dt dx α= (0t t x >-∞<<∞) (1.1.9)
0t t u u ==
1
0t t u
v t =?=? 由上面两个例子可看出，偏微分方程中函数对时间的偏导数是一阶时，初始条件 是函数本身，而二阶偏导数时初始条件是函数本身及一阶偏导数，由此可知对于具有n 阶时间的偏导数必有n 个初值条件，未知函数对时间的最高偏导数的阶次应为n-1。 2 、边值问题
偏微分方程的解如果只同边界条件有关，此类问题则称之为边值问题。常见边值问题的边界条件有以下三种：
第一类边界条，一般可表示为
S ??= (1.1.10)
?为偏微分方程中的未知函数，?为边界条件S 上的已知函数，第一类边值问题
也称为Dirichlet 问题。
第二类边界条件。在边界上指定未知函数?沿边界外法线方向的偏导数，一般可 表示为
S
q n
?
?=? (1.1.11)
或 x y z S n n n q x
y z ????????++= ?????? (1.1.12)
其中q 是边界S 上的已知函数，x n 、y n 和z n 为S 的外法线方向余弦，这样构成的第二类边界问题Neumann 问题
第三类边界条件，此类边界条件也称之为混合边界条件。在S 上给定?和n
???的 线性组合，其一般形式为
n S
k k f n ????
?+= ???? (1.1.13)
其中220n k k +≠。显然，当0k =，可退化为第二类边界条件。当0n k =，即为第 一类边界条件。由第三类边界条件构成的边值问题称为第三类边界问题，也叫Robbin 问题。
一个问题的边界在其不同部分可采取不同类型的边界条件。 3、 初边值问题
定解问题不但包括初始条件，而且包括边界条件称为混合问题。例如一周边固 支的弹性方板的振动问题：
24
422440000
(0)
00t t x a y b w w
w t a x a b y b t
x y w w w v t w w α===±=±??????=+>-<<-<
=?
?
??
=?
??
??
=?
?
=?
??
初始条件边值条件 (1.1.14)
解的存在性要求定解条件必须提的适当。如果定解问题的解存在且唯一，并且 有稳定性，即当定解条件改变很小时，解的改变也很小，则这个定解问题的解就称为适定的，不适定的解显然没有实际意义。
§1.2采用有限差分法解定解问题
有限差分法是当定解问题找不到解析表达式时常用的一种数值方法，其主要思想是从微分方程出发利用差商代替微商，从而把微分方程简化为差分方程，通过解差分
方程得到近似解。利用有限差分法求解定解问题一般可分为如下步骤：
（1） 划分网格。这是将连续的求解区域离散成一些规则的便于计算差商的网格，常 用的平面网格有正方形、矩形和三角形等。对于正方形网格，节点坐标可表示为
x ih =，y jh = (,0,1,2,,)i j N =±±± (1.2.1)
其中h 为步长。
（2） 建立差分公式。例如对于二维定解问题，利用泰勒级数近似展开，并作适当的 忽略取项，可得到
[]1
(,)(,)x h y x y x h
????≈+-? []1
(,)(,)x y h x y y h
????≈+-? []22
21
(,)2(,)(,)x h y x y x h y x h ?????≈+-+-? []22
21
(,)2(,)(,)x y h x y x y h y h
?????≈+-+-? []221
(,)2(,)(,)x y h x y x h y x y h
?????≈+-+-?? (1.2.2) （3） 建立差分方程组，求解各点处的近似值。作差商作替代微商的运算后，可在第 一个内节点上就可以得到一个差分方程，边界点的值由边界条件近似确定。当定解域的几何形状比较复杂时，边界点的处理相当复杂，而且同一问题随着边界条件的改变，差分方程也要随之改变，程序也要作相应的变动，这正是有限差分法的缺点。 例1.1用有限差分法求解定解问题
22222222220(0)
0x y r
q x y r x y ???+=???++=<+
?=? (1.2.3)
解、这是一个有源q 的稳态场的定解问题，它属于椭圆型方程的第一类边值问题，在圆周边上0?=，为了数值计算的简单，作如图1.1的网格划分。由于对称性，反求解A 、B 、C 三点?值即可。
图1.1 求解区域的差分网格点
在节点A 、B 可用式(1.2.2)求其差商。
21,,1,22
2i j i j i j
x h ????-+-+?=? (1.2.4) 2,1,,1
22
2i j i j i j y h
????-+-+?=? (,0,1,2)i j =±± (1.2.5) 将(1.2.4)和(1.2.5)代入(1.2.3)式中，可得A 、B 节点的差分方程
1,,1,,1,,1
2
2
220i j i j i j
i j i j i j q h
h
??????-+-+-+-++
+= (1.2.6)
若0q =，则有
,1,1,,1,11()4
i j i j i j i j i j ?????-+-+=+++ (1.2.7)
上式表明：任一节点的,i j ?的值可用其周围四点的平均值确定，此种格式称之为五点格式。A 、B 两点均可采用此种格式。
我们现在处理C 点，因为C 点周围的四点出现不等距离，上述五点格式无法采用。必须导出适合于C 点的差分方程。设局部坐标系(,)ξη中，?可近似地表示为
22012345(,)a a a a a ?ξη?ξηξηξη=+++++ (1.2.8)
这样有 2322a ?ξ
?=? ，2422a ?
η?=?
对于C 点，有34220a a q ++= (1.2.9)
由上图可知
322
10102
3
0130(,)(,)mh h a mh a m h a h a h ξηξη??ξη???ξη?===-=?==++?
?==-+?? (1.2.10)
解上述联立方程有
103032
()
(1)m a m m h
????-+-=
+ (1.2.11)
对2、4作类似处理，也可得出
204042
()
(1)m a m m h
????-+-=
+ (1.2.12)
从而C 点的差分方程由(1.2.11)和(1.2.12)得
34220a a q ++=
从而A 、B 、C 有方程组
22
2
4424441
B A
C A B C B qh qh qh m m ????????
?-=-?+-=-???-=-+? (1.2.13) 从图中知
1m =， 解上述联立方程组可得：
2A qh ?= 234B qh ?= 21
2
C qh ?=
而此问题的精确解为：
222(,)(4)4
q x y x y h ?=-+- (1.2.14)
显然A 、B 和C 三点得到的数值解和解析解是一致的。由上述具体实例，可以看出有限差分法处理问题的大致步骤，如果结构较大，线性方程组的阶数较高，可编写程序采用计算机求解方程组。同时也可发现：
（1）当使用等距差分时，由于边界的非直线，需要修改临近边界上点的差分格式。 不同的点处的处理方法也不相同，边界形状越不规则，处理起来越复杂。对于大型复杂结构，这一缺点严重限制了其使用范围。
（2）对于同一结构，边界条件不同，处理方法也不一样，这样为设计统一的，通 用性强的计算机程序设置不可逾越的障碍。从后面的分析可以看到，有限单元法吸收了有限差分法的思想，用泛函代替了定解问题的微分方程，近似解的形式是建立在离散后的子区域或者单元上的，这样的单元划分远比有限差分法自由和灵活，这样可求解各种几何形状的定解问题，更适于设计规范化、统一化的大型求解程序，从而大大提高了对大型复杂工程结构问题的求解能力和效率。
§1.3变分问题的基本概念
§1.3.1 泛函的定义
泛函是一种广义的函数，通俗称之为“函数的函数”。下面从两个简单的问题引出有关泛函的概念。 例1.2 最速降线问题
1696年约翰.伯努利（John Bernoulli ）提出最速降线问题：设有不在同一铅垂线上的二点A 、B （如图1.3），在 A 、B 二点间联结着某一曲线，有一重物沿曲线从A 到B 受重力作用自由滑下。如不计摩擦阻力，从A 到B 自由滑下所需时间随这一曲线的形状不同而不同，但其中有一条使下滑所需时间最少。
图1.3 最速降线 解：A 、B 两点固定，A 点与坐标原点重合。
由能量定理：
21
2
mgy mv =
或者v = (1.3.1)
如以s 表示曲线，则有：
ds
v dt
=
= (1.3.2) 而
ds == (1.3.3)
x
y
)1
于是有：
ds dt v == (1.3.4) 从A 到B 积分，设总降落的时间为Π，即得：
1
T
x dt ∏=
=??
(1.3.5) 对于不同的曲线y(x), 则有不同的Π，即Π是y(x)的函数。 例1.3 压杆的总势能
如图1.4示，设压杆一端固定另一端简支，简支端受压力P 。当P 小于某一值时，直杆在轴向压缩，并无弯曲，当P 达到某一临界压力时，杆件失稳发生屈曲变形w (x )。 设杆的抗弯刚度为EI ，则弯曲内能为
2
01('')2
l U EI w dx =
? (1.3.6) 当弯曲后，压力P 左移
200112l
l dw dx dx dx ???
??== ?????
?? (1.3.7) 则压力P 作的功为
dx dx
dw p p W l 2
0}{21?=
?= (1.3.8) 总势能为
22
0011('')(')22
l l U W EI w dx p w dx ∏=-=
-?? (1.3.9) 对于不同的w (x )，则有不同的∏，可知[()]w x ∏=∏。
图1.4 压杆稳定问题 x
从上面两个例子可以看出，∏的值都随函数的改变而改变，因此他们不是一般的函数。可视为“函数的函数”这种广义上函数称之为泛函。在泛函中那些满足一定边界条件和某种连续性的函数称之为泛函的容许函数。类似于函数的定义，泛函的定义如下：如果对某函数集合中的每一个函数都有一个确定的∏值与之对应，那么则称∏是定义在这个函数集合上的泛函，记作
[()]y x ∏=∏ (1.3.10)
例如控制弹性位移场的总势能泛函：一连续弹性体V ，边界S 1上位移边界条件为
i i u u =。在S 2上力边界条件为ij j i n T σ=，V 内的体力为f ，那么总势能泛函为
2
21
[]2T T
T V S u u f dV u TdS σε??
∏=-- ???
?? (1.3.11)
其中(,,)T u u v w = ()T x
y
z T t t t = ()T x
y
z f f f f =
()T xx yy zz yz zx xy σσσσσσσ=
()T xx yy zz yz zx xy εεεεεεε=
σ和ε分别为应力和应变分量，通过弹性本构关系和几何关系，它们可以用位移表示，这样
[][(,,),(,,),(,,)]u u x y z v x y z w x y z ∏=∏ (1.3.12)
§1.3.2 泛函的变分
泛函的变分可以仿照函数的微分的方法求得，在定义泛函的集合中，如图 1.5示，当任一函数y (x )从y 1(x ) 变化到y 2(x )时，函数y(x)的变化为
12()()()y x y x y x ?=- (1.3.13)
y (x
图1.5 函数y (x )的变分
当()y x ?趋向无穷小时，称之为函数()y x 的变分，记作()y x δ。
泛函的变分可表述为：对于定义泛函的函数集合内的任一函数()y x 的变化
()y x ?，泛函都有一个相应的增量[()()][()]y x y x y x ?∏=∏+?-∏与之对应，当()
y x ?趋于无穷小时，泛函增量?∏的线性主部则称为泛函∏在函数()y x 处的变分，记作
δ∏。
根据泛函变分的定义，下述泛函的变分可求出。
2
1
[()](,,')x x y x F x y y dx ∏=? (1.3.14)
首先将∏写成增量形式
2
1
[(,,'')(,,')]x x F x y y y y F x y y dx ?∏=+?+?-? (1.3.15)
然后将上述被积函数中的第一项作泰勒展开，得
21
22222221'2'(')'2''x x F F F F F y y y y y y dx y y y y y y ??
????????∏=?+?+?+??+?+?? ???????????
?
(1.3.14) 当y ?趋于零时，取线性主部，则[()]y x ∏的变分为
2
1
''x x F F y y dx y y δδδ??
??∏=+ ?????
? (1.3.15)
上式称∏的一阶变分，而二阶变分记作2δ∏，即
21
2222
2222
2'(')'(')x x F F F y y y y dx y y y y δδδδδ?????∏=++????????
?
(1.3.16) 此外还有拉格朗日的泛函变分定义：泛函变分是[()()]y x y x εδ∏+对参数ε的导数在0ε=时的值，因为
[()()][()][(),()]
[(),()]max ()
y x y x y x L y x y x y x y x y x εδεδ?εδεδ∏+=∏++ (1.3.17)
而且线性项
[(),()][(),()]L y x y x L y x y x εδεδ= (1.3.18)
于是有
{}[()()][(),()][(),()]max ()[(),()max ()y x y x L y x y x y x y x y x y x y x y x εδδ?εδδεεεδδε
?
∏+=+??+? (1.3.19)
当0ε→时
0[()()][(),()]y x y x L y x y x εεδε
→?
∏+=? (1.3.20) 因为式(1.3.19)中，右侧第二项，当0ε→时[(),()]0y x y x ?εδ→，第三项也等于零，故可证明拉格朗日的泛函变分定义为
0[()()]y x y x εδεδε
→?
∏=
∏+? (1.3.21) 利用第二个定义也可求出上述(1.3.14)所示泛函变分，首先求
()y y εδε
?
∏+? 2121
()(,,'')(,,'')(,,'')'()('')x x x x y y F x y y y y dx
F x y y y y F x y y y y y y dx y y y y εδεδεδεε
εδεδεδεδδδεδεδ?
?∏+=++?????++?++=+???+?+??
?? (1.3.22)
当0ε→时
21
0[()]()''x x F F
y x y y y y dx y y εδεδδδε→?????∏=∏+=+ ??????
? (1.3.23)
结果和式(1.3.15)相同。
到此为止，我们仅给出了单自变量、单函数、一阶微分域下的泛函变分，根据其定义可以求出下列情况下泛函变分的表达式。
（1） 泛函的值只决定于一个函数，且该函数只有一个自变量
2
1
()[()](,,','',
,)x n x y x F x y y y y dx ∏=? (1.3.24)
其变分表达式为
2
1
()()
[()]''x n n x F F
F y x y y y dx y
y y δδδδ?????∏=+++
???????
? (1.3.25) （2） 泛函的值决定于一个函数，但这个函数具有多个自变量
[(,,)](,,,,,,)x y z V
x y z F x y z dV ?????'''∏=? (1.3.26)
其变分形式为
x y z V x y z F F F F
d d d d dV δ??????????????'''∏=+++??'''????????
? (1.3.27) （3） 泛函的值决定于多个函，并且这些函数具有多个自变量
[(,,),(,,),(,,)]
(,,,,,,,,,,,,,,)
x y z x y z x y z V
u x y z v x y z w x y z F x y z u v w u u u v v v w w w ∏'''''''''=? (1.3.28)
其变分形式为
x x x
V
x x x y y y z z z y y y z z z F F F F F F
u v w u v w u v w u v w F F F F F F
u v w u v w dV
u v w u v w δδδδδδδδδδδδδ???????'''∏=+++++
'''???????
???????''''''++++++?''''''???????
? (1.3.29)
由上可知，变分符号类似于函数的全微分算子，有如下性质：
22
1
1
(,,)(,.)x x x x F x y y dx F x y y dx δδδ''∏==??
而F F
F y y y y
δδδ??'=
+'??
()y y δδ''=
1212()δδδ∏+∏=∏+∏
121221()δδδ∏?∏=∏∏+∏∏
2
1221112()()δδδ∏∏=∏∏-∏∏
1()n n n δδ-∏=∏∏ §1.3.3 变分问题
泛函取极值的必要条件（但不是充分条件）是其一阶变分为零。下面给出简略的证明。
假设函数()y x 是定义泛函∏的函数集合中的一个函数，且在端点1x 和2x 满足
1
x x y a ==和2
x x y b ==。不防假设泛函∏在()y x 处有极小值，那么对于任一实变量ε，
必有
[()][()()]y x y x y x εδ∏≤∏+ (1.3.30)
若取泛函被积函数为(,,)F x y y '，则
2
1
[](,,)x x y y F x y y y y dx εδεδεδ''∏+=++? (1.3.31)
令()[]f y y εεδ=∏+，当0ε=时，则有
0()[()]()f y x f εεε==∏≤ (1.3.32)
这表明()f ε在0ε=有极小值，根据函数取有值的必要条件
0df d εε
== (1.3.33)
可以得到
21
00x x df d F F
y y dx d d y y εεδδε
ε==??∏??'==+= ?'????
? (1.3.34)
而21
x x F F
y y dx y y δδ????'+ ?'????
?为∏的一阶变分。
由此推出
0δ∏= (1.3.35)
这就证明了泛函取极小值的必要条件是其一阶变分为零。用同样的方法也可证明：泛函取极大值的必要条件也是0δ∏=。因此0δ∏=为泛函取极值的必要条件。 通过变分求泛函极值问题称为变分问题。
§1.4 欧拉方程、定解问题与变分问题
§1.4.1 欧拉方程
在给出欧拉方程之前，先介绍一个变法中经常使用的定理：变分法的基本预备定理。（参考文献[1]）
如果函数()F x 在线段12(,)x x 上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数)(x η，有
21
()()0x x F x x dx η=?
(1.4.1)
则在线段12(,)x x 上有
()0F x = (1.4.2)
()x η的一般条件为：
（1）一阶或若干阶可微分； （2）在线段12(,)x x 的端点处为0； （3）()x ηε<或()x η及()x ηε'<等。
利用分部积分可以把泛函∏取极值的必要条件(1.3.35)表示为
2
221
1121
0x x x x x x x x F F F F
y y dx ydx y y y y y d F ydx dx y δδδδδδ??????'∏=+=+ ?''????????
?-= ?'???
?
??
(1.4.3)
然后利用条件1
2
0x x x x y y δδ====，上式变为
21
0x x F d F ydx y dx y δ??
????-=?? ?'?????
??
(1.4.4) 利用上述变分法的预备定理，则有
0F d F
y dx y
??-='?? (1.4.5)
或
2220F F F F
y y y x y y y y y
????'''---='''??????? (1.4.6) 这就是变分法中著名的欧拉—拉格朗日方程。 例1.5 求单位横截面的弹性杆总势能泛函21
212x x u E qu dx x ??
???∏=-?? ????????
?
，在条件1
2
0x x x x u u ====情况下的变分问题。
解：由0δ∏=得
21
0x x u E u q u dx x δδ???
'-= ????
?
(1.4.7) 将上式分部积分后，并利用边界条件可得
21
0x x u E q udx x x δ????-+= ?????
?
(1.4.8) 利用变分法预备定理则有
0u E q x x ????
+= ?????
(1.4.9) 此结果则为变分问题的欧拉方程。
它也可从欧拉方程(1.4.5)或(1.4.6)直接求得。此时
2
12u F E qu x ???
=- ????，()()y x u x =
则可得到同样结果。
(1.4.9)则为弹性杆的平衡微分方程和边界条件一起构成定解问题。
12
0x x x x u
E q x x u u ==???+=????
?==? (1.4.10) 由此可见：此问题的泛函变分问题与定解问题是等价的。
上述例题的边界条件是位移在1x 和2x 处为零，这种问题称为不动边界问题或固定边界的变分问题，相应的边界条件在变分问题中称为第一类边界条件，或基本边界条件。
还有另一类变分问题，其中的一个或两个点能够移动，此时必须附加其补充端点条件。
研究一泛函2
1(,,)x x F x y y dx '∏=?，如图1.5示。A 11(,)x y 固定，B 22(,)x y 可移动。
图1.5 边界待定可变的端点（x 2，y 2）
∏的变分来源于2x 的变分2x δ和()y x 的变分y δ，即
222
1
1
(,,)(,,)x x x x x F x y y y y dx F x y y dx δδδ+'''?∏=++-?? (1.4.11)
它可写成为
),222y y δ+
x
222
2
1
2
1
(,,)(,,)(,,)x x x x x x x F x y y y y dx F x y y y y dx
F x y y dx
δδδδδ+''''?∏=+++++'-?
?? (1.4.12)
由于A 点不动，而B 点是待定可动的，从()y x 中选择可以变到通过另一点
2222(,)x x y y δδ++的函数。(1.4.12)式中右端第一项可以用中值定理化简，即
222
2
1
2(,,)x x x x x x F x y y y y dx F x δθδδδδ+=+''++=?
(1.4.13)
其中01θ<<
认为F 满足一定的连续条件，有
2
2
2
1(,,)x x x x x F F x y y θδε=+='=+ (1.4.14)
当20x δ→，20y δ→时，10ε→因此
222
1
212(,,)(,,)x x x x x F x y y y y dx F x y y x x δδδδεδ+='''++=+? (1.4.15)
当2x δ，2y δ很小时
222
1
2(,,)(,,)x x x x x F x y y y y dx F x y y x δδδδ+='''++=?
(1.4.16)
而(1.4.12)式右边其它两项采用泰勒级数展开及分部积分后，当y δ，y δ'很小时，
可以写为
212
2
21
11[(,,)(,,)]x x x
x x x x x F x y y y y F x y y dx
F F F F d F y y dx y ydx y y y y dx y δδδδδδ'''++-??
???????????'=+=+-?? ?????'''????????????
??
?
? (1.4.17) 因为()y x 在1x 处不变，故有10y δ=，于是
2
212
x x x x x x F F
y y y y δδ==????=??''???? (1.4.18) 此处应注意的是2
x x y δ=和图1.5上的2y δ是不同的。利用图1.6，可以看到
图1.6
2
x x y BD δ== 2y FC δ= (1.4.19)
但是 22()EC y x x δ'= BD FC EC =- 故有2
222()x x y y y x dx δδ='=-
这样从(1.4.17)、(1.4.18)和(1.4.19)式得
21
21
2
222[(,,)(,,)][()]x x x x x x F x y y y y F x y y dx
F d F F
ydx y y x x y dx y y δδδδδ='''++-???????'=-+-?? ?
''???????
?
?
(1.4.20) 将(1.4.16)和(1.4.20)代入(1.4.12)中，当2x δ、2y δ、y δ很小时，则有
2
1
22
22x x
x x x x
F d F F F ydx y F y x y
dx y y y δδδδ==??????
????'∏=-
++-?
? ? ?'''??????????? (1.4.21) 在一般情况下，2x 和2y 不是独立的，如B 点沿曲线运动时，曲线为22()y f x = 于是有222()y f x x δδ'=，由(1.4.21)给出
2
1
220x x
x x F d F F
F ydx F y f x y
dx y y y δδδ=????????????''∏=-
+-+=?
??? ? ?'''???????????
?? (1.4.22) 从上式可以看出，()y x 满足欧拉方程还不足以使δ∏达到零。端点2x x =上还应满足补充条件
()0F F
F y f x y y
??'
'-+='?? 2()x x = (1.4.23) 这样定解问题成为
y 2+δy 2) y 2+δy 2212y x
y
0F d F y dx y ??-='
?? (1.4.24) 1
0x x u == (1.4.25)
2()0()F F F y f x x x y y
??'
'-+=='?? (1.4.26) 这样泛函可动边界条件的变分问题与定解问题 (1.4.24) -(1.4.26) 等价。由于条件(1.4.26)在变分问题中自然满足，因此在变分问题中将这类边界条件称为自然边界条件，这个条件是定解问题中的第二类边界条件。 §1.4.2 含有约束条件的变分问题
还有一类求泛函极值问题，是要求在某种约束条件下进行，其基本思想同函数求极值类似，也可使用拉格朗日乘子法来完成。所不同的是这里的乘子λ一般是函数。事实上，上述的泛函变分问题的基本边界条件本身就是一种约束条件，因此这类变分问题属于存在约束条件的变分问题，即在指定的边界条件上极值函数必须满足变分为零的条件。在数值求解的情况下，这种条件需要加以处理，可以利用拉格朗日乘子法将这个附加约束条件解除，从而将一个有约束的变分问题变成一个无条件的变分问题，下面用一个简单的例子说明这个过程。
例1.5 现有单位截面弹性杆，在一端位移已知1
x x u u ==，另一端施加轴向力，求其变
分问题。
这个问题相当于求在条件1
x x u u ==和u
E
q x
?=?下的总势能函数 22
1
21
[()]()2
x x x x u x E u dx qu ='∏=-?
的变分问题，这是一个条件变分，约束条件为
1
x x u u ==，而在2x x =处仍为自然边界条件，这在变分中自然满足。为了解除1x 处的约束，将1
x x u u ==乘以λ，然后加到泛函[()]u x ∏上，形成一个新的泛函
221
1
21
[(),]()()2
x x x x x x u x E u dx qu u u λλ*=='∏=-+-?
(1.4.27)
由0δ*∏=可得
2
21
1
2
1
1
()0x x x x x x x x x x u u E udx uE u u u q u x x x
δδδλλδδ===???-++-+-=????
(1.4.28)
经整理后上式变为
21
1
21()0x x x x x x x x u u u E udx uE E q u E u u x x x x δδδλδλ===????????-+-+-+-= ? ????????
??
(1.4.29)
由预备定理及在1x 和2x 处u δ的任意性，及1x x =有处δλ的任意性，以上变分等式成立必须有
0u
E x x
??=?? (1.4.30) 1
x x u u == (1.4.31)
2
x x u E
q x =?=? (1.4.32)
1
x x u E x
λ=?=? (1.4.33)
上面最后一式给出了拉格朗日乘子法应满足的关系。在物理上相当于在1x x =处施加了一个压力λ，从而使之产生位移u ，这样就实现了原泛函解决约束条件的目的。这种方法在有限元中处理第一类边界是条件时得到了应用。
用拉格朗日乘子法解除定解问题的约束条件可引起如下问题：（1）增加了原泛函待求函数的个数，增加了计算量；（2）在数值解法中有时会出奇异的系数矩阵。采用罚函数法替代拉格朗日盛子法也是一种选择。
§1.5变分问题的近似解法—里兹法
由上节知，变分问题和相应的微分方程的定解问题是等价的，两者可以互相转化。然而，工程中的决大部分问题是很难去从微分方程出发找到它的解析解的。虽然上面介绍可采用有限差分法求其近似解，但在边界条件复杂时，运算也是相当困难的。早在上世纪初，里兹就提出了直接从变分问题解其近似解的方法，这不仅为求解微分方程的定解问题开辟了一条可行的近似解道路，而且被广泛地应用于弹性力学的数值分析中，里兹为有限单元法提供了理论。
用里兹法求解变分问题的步骤为： 1、选择泛函的容许函数，取容许函数
01()()()()n
i i i u x u x u x a x ?=≈=+∑ (1.5.1)
有限元理论基础
有限元理论基础
有限元理论基础 2.1 数值模拟技术 2.1.1数值模拟技术简介 在工程技术领域中许多力学问题和场问题，实质上就是在一定的边界条件下求解一些微分方程。对于少数简单问题，人们可以通过建立它们的微分方程与边界约束求出该问题的解析解。但是对于比较复杂的数学方程问题以及不规则的边界条件通过激吻戏法往往难以求解，而需要借助各种数值模拟方法活的相应的工程数值解，这就是所谓的数值模拟技术。 在实际工程领域中，用数值模拟技术可以对复杂的工程结构进行受力和响应分析，这样可以在设计或者加工前预知实体结构工作状态下的大概情况。 目前在工程实际应用中，常用的数值求解方法有：有限单元法、有限差分法、边界元等但从实用性和使用范围来说，有限单元法则是随着计算机技术的发展而被广泛应用的一种行之有效的数值计算方法。 2.2.2 有限元法 有限元法是一种基于能量原理的数值计算
方法，是解决工程实际问题的一种有效的数值计 算工具。它是里茨法的另一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论。 限元法是处理连续的结构体离散或有限个单元集合，也就是将连续的求解域离散为一定数量的单元集合体。且每个单元都具有一定的节点，相邻单元通过节点相互连续，同时使用等效节点力代替作用于单元上的力和选定场函数的节点值作为基本未知量。并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律：进而利用力学中的某些变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解后，可利用解出的节点值和设定的插值函数确定整个单元集体上的场函数。有限元求解问题中的单元分析：t t t a k F= 式中：:t F单元节点作用力。 t K:单元刚度矩阵。 t a：单元节点位移。 通过单元分析确定单元刚度矩阵，建立单元节点作用力和单元为伊关系。有限元求解问题时建立 的结构整体平衡方程：P KU=
有限元理论方法
关于有限元分析法及其应用举例 摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词：有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；
有限元分析理论基础
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
有限元分析理论基础
有限元分析概念 有限元法:把求解区域瞧作由许多小的在节点处相互连接的单元(子域)所构成,其模型给出基本方程的分片(子域)近似解,由于单元(子域)可以被分割成各种形状与大小不同的尺寸,所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性与复杂的边界条件 有限元模型:它就是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。 有限元分析:就是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何与载荷工况)进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素,即单元,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元就是以理想弹性体为研究对象的,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应力与应变也就是线性关系,线弹性问题可归结为求解线性方程问题,所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法,也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别: 1)非线性问题的方程就是非线性的,一般需要迭代求解; 2)非线性问题不能采用叠加原理; 3)非线性问题不总有一致解,有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类:
1)材料非线性问题 材料的应力与应变就是非线性的,但应力与应变却很微小,此时应变与位移呈线性关系,这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系,所以,一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据,有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟,尽管这些模型总有她们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有:非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2)几何非线性问题 几何非线性问题就是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时,应变与位移的关系就是非线性关系。研究这类问题一般都就是假定材料的应力与应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题,橡胶部件形成过程为大应变问题。 3)非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中,接触与摩擦的作用不可忽视,接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题,如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。 有限元理论基础
法律 ---第一章---法律的基本概念
第一节法律的基本概念 一、法律的基本概念 （一）法或法律的定义： 法的定义：法是反映统治阶级意志的，由国家制定或认可并以国家强制力保证实施的行为规范总和。 “法律”，通常那广义和狭义两种含义以上使用。 广义的“法律”通“法”同义。 狭义的法律，是指拥有立法权的国家机关依照法定程序和颁布的规范性文件。 在我国，由全国人大和全国人大常委会制定和颁布的规范性文件，称为法律。 （二）法的特征 法的特征：指区别于其他社会规范所持有的属性。 特征：1、法是由国家制定或认可的规范。制定或认可是国家创造法的两种形式。 2、法是有国家强制力保证实施的规范。 3、法是制定人们权利和义务的规范。 4、法具有普遍约束力的规范。 （三）法的本质 法的本质：指法的质的规定性，是法的内在、基本的物质精神因素的总和，是法存在的基础和发展变化的决定力量。
要点：1、法是统治阶级意志的体现。 2、法的内容是统治阶级的物质生活条件所决定的。经济基础对法具有决定作用。 二、法律价值和法律理念 （一）法律的价值 首先：法具有服务性价值，它确认和保护、发展对统治阶级有利的社会关系和社会秩序，它确立规则，使资源得到合理的分配。其次：法本身还具有权利和义务相一致的价值、相对稳定相的价值、是国家权力运用公开化的价值等。只有当法律符合或能够满足人们的需要时，法律才有价值可言。 （二）法律的理念 法律的理念是对法律的本质、精神、基本原则和运行机制的理性认识和价值取向上的意识形态，它基于某种基本的法律制度而产生。 依法治国是社会主义法治的核心内容，执法为民是社会主义法治的本质要求，公平公正是社会主义法治的价值追求，服务大局是社会主义法治的重要使命。 三、法律的形式和体系 （一）法律的形式 国家机关制定的各种规范性文件是法律的主要形式。 规范性文件：国家机关在其权限范围内，按照法定程序制定和颁
有限元理论与方法-第3讲
讲 授 内 容 备 注 第3讲(第3周) 3. θ i i U u , 为例， 作用于杆单元的节点力是[U ij V ij ]T ，而作用于节点i 的节点力是[-U ij -V ij ]T 。将节点脱离出来，受力分析如图1-4b 所示，在水平和垂直方向的节点受力平衡方程为 ? ?? =---=---00ip im ij i ip im ij i V V V Y U U U X （1-2-15） 由式（1-2-14）知道杆单元ij 在节点i 的节点力为 j ij i ii ij ij ij V U δK δK F +=? ?? ???= （1-2-16） 其它单元施于节点i 的节点力同样可以写出，一起代入式（1-2-15），得到 i p ip m im j ij i e ii P δK δK δK δK =+++?? ? ??∑ （1-2-17） 每个节点都有一对平衡方程如上，对于全部节点i =1,2,…,N 的结构，得到2N 阶线性方程组，即结构的 节点平衡方程组 P δK = （1-2-18） 其中 T 21],...,,[N δδδδ= T 21],...,,[N P P P P = 式中，δ为全部节点位移组成的列阵；P 为全部节点荷载组成的列阵；K 为结构的整体刚度矩阵。 4.总体刚度矩阵的合成 由单元刚度矩阵合成结构的整体刚度矩阵通常采用两种方法，一种为编码法，一种为大域变换矩阵法，前者对自由度较少的结构简单明了，后者特别适合计算机编程运算。下面重点阐述后者。 结构总体刚度矩阵[K ]与单元刚度矩阵[K ]e 之间的关系为 () e e e e G K G K ∑=T （1-2-19）
有限元理论与方法
第一章 绪论 有限元发展过程： 有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书内容提供了有限元法的理论基础。美国的、 、 和等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。 有限元法的基本思路： 有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。 这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。 有限元分析中可采取三种方法： 位移法——取节点位移作为基本未知数 力 法——取节点力作为基本未知数 混合法—— 有限元法分析过程： 1、结构离散化（单元划分） 2、选择位移模式 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。 {}[]{}e u N δ= (1) 3、分析单元的力学特性 （1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{} e εδ=B {}ε为单元内任一点的应变列阵 (2) 非线性有限元 线性有限元 几何非线性 材料非线性 有限元
第1章基本概念和基本规律
第一篇电阻电路
第一章基本概念和基本规律 1.1电路和电路模型 ?电路（electric circuit）是由电气器件互连而成 的电的通路。 ?模型（model）是任何客观事物的理想化表示，是对客观事物的主要性能和变化规律的一种抽象。 ?电路理论（circuit theory）为了定量研究电路的电气性能，将组成实际电路的电气器件在一定条件下按其主要电磁性质加以理想化，从而得到一系列理想化元件，如电阻元件、电容元件和电感元件等。
?由于没有任何一种实际器件只呈现一种电磁性质，而能把其它电磁性质排除在外，所以器件建模是有条件的，一种近似表示只有在一定的条件下适用，条件变了，电路模型的形式也要作相应的改变。 ?电路分析（circuit analysis ），就是对由理想元件组成的电路模型的分析。虽然分析结果仅是实际电路的近似值，但它是判断实际电路电气性能和指导电路设计的重要依据。 如：不同工作频率下的电阻模型 R R C L
?当实际电路的尺寸远小于其使用时的最高工作频率所对应的波长时，可以无须考虑电磁量的空间分布，相应的电路元件称为集中参数元件。由集中参数元件组成的电路，称为实际电路的集中参数电路模型或简称为集中参数电路。描述电路的方程一般是代数方程或常微分方程。 ?如果电路中的电磁量是时间和空间的函数，使得描述电路的方程是以时间和空间为自变量的代数方程或偏微分方程，则这样的电路模型称为分布参数电路。 电路集中化条件：实际电路的各向尺寸d远小于电路工作频率所对应的电磁波波长λ，即d
例1.1.1我国电力用电的频率是50Hz ，则该频率对应的波长8 /(310/50)km 6000km c f λ==?=可见，对以此为工作频率的实验室设备来说，其尺寸远小于这一波长，因此它能满足集中化条件。而对于数量级为103km 的远距离输电线来说，则不满足集中化条件，不能按集中参数电路处理。 例1.1.3对无线电接收机的天线来说，如果所接收到信号频率为400MHz ，则对应的波长为 8 6 /[310/(40010]m 0.75m )c f λ==??=因此，即使天线的长度只有0.1m ，也不能把天线视为集中参数元件。
有限元方法理论及其应用
有限元方法理论及其应用
1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不 限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 将一维杆单元分成三段加以推导，并应用驻值条件0p D ?∏=?，我们得到节点的平衡 方程[K]{D}{R}=，即： 12 2341100112106012112600118u u AE cL u L u -?? ???? ?? ????--??????= ??????--??????????-???? ?? 我对此提出了几点疑问： 1) 为什么边界条件u 1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2) 为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3) 为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u 1=0之后就能解出一个唯一的近似解？ 4) 为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u 1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u 1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u 1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出了四个，显然这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。
第1章物流基本概念
第一章基本概念 实物配送：是包含于销售之中的物质资料和服务于从生产地到消费地流动过程中伴 随的种种活动，简称，叫做“P．D．”。 物流定义：1981年，日本综合研究所编著的《物流手册》，对“物流”的表述是，“物 质资料从供给者向需要者的物理性移动，是创造时间性、场所性价值的经济活动。从物流的范畴来看，物流包括：包装、装卸、保管、库存管理、流通加工、运输、配送等诸种活动”。 1986年，美国物流协会对物流的定义是，“以适合于顾客的要求为目的，对原材料、在制品、制成品及其关联的信息，从生产业地点到消费地点之间的流通与保管，为求有成本-效率的最佳效果而进行计划、执行、控制”。 我国《物流术语》中物流的定义是：“以最小的总费用，按用户要求，将物质资料（注：包括原材料、半成品、产成品、商品等）从供给地向需要地转移的过程。主要包括运输、储存、包装、装卸、配送、流通加工、信息处理等活动。 1996年台湾物流协会拟定的物流定义是：“物流是一种物的实体流通活动的行为，在流通过程中，透过管理程序有效结合运输、仓储、装卸、包装、流通加工、资讯等相关物流机能性活动以创造价值，满足顾客及社会性需求”。 商业后勤（Business Logistics）是指包括原材料的流通、产品分配、运输、购买与库存控制、储存、用户服务等业务活动”，其领域统包括原材料物流、生产物流和销售物流。 综合物流管理：要求在组织物流工作时，注意把物流作为一个完整的系统进行综合管理，协调好各个环节之间的联系，达到低成本、高效率的目标。 商品流通是指以货币为媒介的商品交换过程。 社会间隔，指生产者与消费者不同。 场所间隔，指生产的场所与消费的场所不同。 时间间隔，指生产的时期与消费的时期不同。 商流：使商品所有权进行转移，解决所有权更迭问题的活动是商流。商流的研究内容是商品交换的全过程，具体包括商品的订货、签订合同、供销衔接、计价结算和商品信息活动。 物流是实物从供给方向需求方的转移，这种转移既要通过运输或搬运来解决空间位置的变化，又要通过储存保管来调节双方在时间节奏方面的差别。物流过程包括商品的运输、存储、装卸、流通加工、包装和物流信息活动。 商流与物流的区别：如表所示， 商流物流 （商业流通的简称）（实物流通的简称） 商品的买卖活动 解决生产者和消费者之间的分离； 实现商品所有权的转移； 实现商品的价值； 包括商品的订货、签订合同、供销衔接、计价结算和商流信息等活动 商品的物流活动 解决生产和消费之间的时空分离； 实现商品空间位置的转移，并克服商品在生产和消费间的时间差异； 实现商品的使用价值 包括商品的运输、存储、装卸、流通加
第1章 随机过程的基本概念
第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)21(0+ =k t 即 πω)2 1 (10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0c o s 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 当 0c o s 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0c o s 2c o s 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0c o s 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然?? ?=?????=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,2 1*2,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 再求F （x ,1） 显然?? ?-=?? ?=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1(1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ?? ?-=?? ?=出现反面出现正面 出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1( X X ?????≥<≤<=??? ?? 11 102 1 00 21,x x x x F 第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。（508元） 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。（0.1，1/12=0.083， 1/14=0.071） (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i （0.1 0.1 0.1）。 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 （1120 1145） 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。（794元） 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 （11956） (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 （12 285） 6．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。（20544） 7．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。（0.075） 8．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6 t t δ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。（144ln1.01=1.43） 9. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。（e 3/5=1.822） 10. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（B ）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 11、已知0时刻在基金A 中投资一元到T 时刻的累积值为1.5t+1，在基金B 中投资一元到3t 时刻的累积值为2931t t -+ ，假设在T 时刻基金B 的利息强度为基金A 的利息强度的两倍，则0时刻在基金B 中投资10000元，求在7T 时刻的累积值。（570000元） 12、 已知21 t t δ=+，求第10年的(2)d 。(0.1818) 有限元法的理论基础 有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。 1.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。 虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。 2.最小势能原理 最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。 2.2有限元法求解问题的基本步骤 弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。 2.2.1问题的分类 求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。 2.2.2建模 在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。 2.2.3连续体离散化 连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元可以是四面体、长方体和六面体等。为合理有效地表示连续体，需要适当选择单元的类型、数目、大小和排列方式。 离散化的模型与原来模型区别在于，单元之间只通过节点相互连接、相互作用，而无其他连接。因此这种连接要满足变形协调条件。离散化是将一个无限多自由度的连续体转化为一个有限多自由度的离散体过程，因此必然引起误差。主要有两类：建模误差和离散化误差。 第一章 绪论 有限元发展过程： 有限元法在西起源于收音机和导弹的结构设计，发表这面文章最早而且最有影响的是西德J.H.Argyrb 教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上多有关这面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书容提供了有限元法的理论基础。美国的M.T.Turner 、 R.W.cloagh 、 H.C.martin 和L.J.Topp 等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的法，并说明了如利用计算机进行分析。美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。 有限元法的基本思路： 有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立程，综合后作整体分析。 非线性有限元 线性有限元 几何非线性 材料非线性 有限元 这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。 有限元分析中可采取三种法： 位移法——取节点位移作为基本未知数 力 法——取节点力作为基本未知数 混合法—— 有限元法分析过程： 1、结构离散化（单元划分） 2、选择位移模式 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。 {}[]{}e u N δ= (1) 3、分析单元的力学特性 （1）利用几程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{}e εδ=B {}ε为单元任一点的应变列阵 (2) （2）利用物理程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式 {}[][]{}[]{}e D D δδε=B = (3) {}δ是单元任一点的应力列阵 []D 是材料的弹性矩阵 （3）利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度程（平衡程） []{}{}e e K R δ= 《利息理论》复习提纲 第一章利息的基本概念 第一节利息度量 一. 实际利率 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。 利息金额In=A(n)-A(n-1) 对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则in=In/A(n-1)； 例题：1.1.1 二．单利和复利 考虑投资一单位本金， （1）如果其在t时刻的积累函数为a(t)=1+i*t，则称这样产生的利息为单利； a(n)a(n1) i 实际利率i n 1i(n1) a(n1) t （2）如果其在t时刻的积累函数为a(t)=(1+i)，则称这样产生的利息为复利。 实际利率i n i 例题：1.1.3 三..实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。 等价的利率i、贴现率d和贴现因子（折现因子）v之间关系如下： i d i) i ,d(1 i,d 1 d 1i v1d,d iv,v 1,idid 1i 例题：1.1.6 四．名义利率与名义贴现率 用i(m)表示每一度量期支付m次利息的名义利率，这里的m可以不是整数也可以小于1。所谓名义利率，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际利率为i(m)/m。 与i(m)等价的实际利率i之间的关系：1i(1i(m)/m)m。 名义贴现率d(m)，1d(1d(m)/m)m。 名义利率与名义贴现率之间的关系：i (m ) (m)()m ()m m d i d 。 m m m 例题：1.1.9 五．利息强度 定义利息强度（利息力）为t A(t) a(t)， A(t ) a(t) t s d s 。 a(t)e0 一个常用的关系式如下：i (m) m 1iv 1 (1d) 1 d (p) p e。 [1 ] [1 ] m p 例题：1.1.12 要求：i,d,i(m),d(p), ，之间的计算。 习题：1、2、3、4、15、16、19、24。 第二节利息问题求解 一. 价值等式例题：1.2.1 二. 投资期的确定 计算利息的基本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/基础天数。 三. 未知时间问题 72律：利率为i时，使得积累值是本金的2倍所需的时间大致是72/i。 例题：1.2.4 四. 未知利率问题 1．线性插值法 2．迭代法例题：1.2.7 重点：价值等式；利用线性插值法求利率。 习题：37、40、46。 第二章年金 第一节年金的标准型 一. 期末付年金 现值为a n v v2v n1 v n 1 v n i 终值为s n 1 (1 i)(1i)2(1 i)n2(1i)n1(1i)n 1 a n与s n的关系： i （1）(1 i)n a n s 有限元理论基础 2.1 数值模拟技术 2.1.1数值模拟技术简介 在工程技术领域中许多力学问题和场问题，实质上就是在一定的边界条件下求解一些微分方程。对于少数简单问题，人们可以通过建立它们的微分方程与边界约束求出该问题的解析解。但是对于比较复杂的数学方程问题以及不规则的边界条件通过激吻戏法往往难以求解，而需要借助各种数值模拟方法活的相应的工程数值解，这就是所谓的数值模拟技术。 在实际工程领域中，用数值模拟技术可以对复杂的工程结构进行受力和响应分析，这样可以在设计或者加工前预知实体结构工作状态下的大概情况。 目前在工程实际应用中，常用的数值求解方法有：有限单元法、有限差分法、边界元等但从实用性和使用范围来说，有限单元法则是随着计算机技术的发展而被广泛应用的一种行之有效的数值计算方法。 2.2.2 有限元法 有限元法是一种基于能量原理的数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有效的数值计算工具。它是里茨法的另一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论。 限元法是处理连续的结构体离散或有限个单元集合，也就是将连续的求解域离散为一定数量的单元集合体。且每个单元都具有一定的节点，相邻单元通过节点相互连续，同时使用等效节点力代替作用于单元上的力和选定场函数的节点值作为基本未知量。并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律：进而利用力学中的某些变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解后，可利用解出的节点值和设定的插值函数确定整个单元集体上的场函数。 有限元求解问题中的单元分析：t t t a k F = 式中：:t F 单元节点作用力。 t K :单元刚度矩阵。 t a ：单元节点位移。 通过单元分析确定单元刚度矩阵，建立单元节点作用力和单元为伊关系。有限元求解问题时建立的结构整体平衡方程：P KU = 式中：P —结构整体等效点力载荷 K —结构总体刚度矩阵 U —结构节点位移阵列 单元内力的计算：t DBa =σ 式中：D —弹性矩阵 P —应变矩阵 整个结构的有限元分析就是一句上述方程而进行的具体的有限元求解过程如图 第一章一些基本概念 讲课之前问问大家EXCELL用得怎么样？会使用公式编辑吗？ 调出上标、下标：工具→自定义→命令→格式→右边找到X2、X2拖出来 调出公式编辑器：工具→自定义→命令→插入→右边找到公式编辑器，拖出来 SPSS是“社会科学统计软件包”(Statistical Package for the Social Science)的简称,是一种集成化的计算机数据处理应用软件。SPSS是世界上公认的三大数据分析软件之一(SAS、SPSS和SYSTAT)。 §1.1 统计是什么？ ?统计是人类思维的一个归纳过程 ?站在一个路口，看到每过去20辆小轿车时，也有100辆自行车通过，而且平均每10个轿车载有12个人，于是，你认为小汽车和自行车在这个路口的运载能力为24:100 ?这是一个典型的统计思维过程 ?一般来说，统计先从现实世界收集数据（信息），如观测路口的交通，然后，根据数据作出判断，称为模型。模型是从数据产生的，模型也需要根据新的信息来改进。 ?不存在完美的模型，模型的最终结局都是被更能够说明现实世界的新模型所取代。统计学可以应用于几乎所有的领域: 精算，农业，动物学，人类学，考古学，审计学，晶体学，人口统计学，牙医学，生态学，经济计量学，教育学，选举预测和策划，工程，流行病学，金融，水产渔业研究，遗传学，地理学，地质学，历史研究，人类遗传学，水文学，工业，法律，语言学，文学，劳动力计划，管理科学，市场营销学，医学诊断，气象学，军事科学，核材料安全管理，眼科学，制药学，物理学，政治学，心理学，心理物理学，质量控制，宗教研究，社会学，调查抽样，分类学，气象改善，博彩等。 ?一句话， ?统计学（statistics）是用以收集数据，分析数据和由数据得出结论的一组概念、原则和方法。 ?以归纳为主要思维方式的统计，不是以演绎为主的数学。 ?统计可应用于各个不同学科，在有些学科已经有其特有的方法和特点；如生物统计(biostatistics)、经济计量学(econometrics)以及目前很热门的生物信息(bioinformation)和数据挖掘(Data Mining)的方法主体都是统计。 §1.2 现实中的随机性和规律性，概率和机会 ?从中学起，我们就知道物理学的许多定律，例如v=v0+at; F=ma等等 ?但是在许多领域，很难用如此确定的公式或论述来描述一些现象。 ?一些现象既有规律性又有随机性(randomness) ?肺癌患者中（主动或被动）吸烟的比例较大，这体现了规律性 ?而绝非每个吸烟的人都会患肺癌，这体现了随机性 ?再如，一般来说，白种人身材比黄种人要高些，这就是规律性 ?但对于具体的一个白人和一个黄种人，就很难说谁高谁矮了，这体现随机性 ?什么是概率(probability)？新闻中最常见的是“降水概率” ?从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。 ?概率是在0和1之间（也可能是0或1）的一个数，描述某事件发生的机会。 ?有些概率是无法精确推断的。比如你明天感冒的概率 第1章导论 Chapter 1 Introduction 1.1 物流的基本概念 The Concepts of Logistics ?关于物流的概念 物流现象伴随社会商品交换出现。 物流的英文名称Logistics原意是军事后勤保障。1905年美军少校琼西·贝克（Chauncey B.Baiker）在《军队和军需物品运输》一书中称：“那个与军队的移动与供应相关的战争的艺术的分支就叫‘物流’。”如：the General Logistics Department of PLA 二次大战中，美军及其盟军的大量军事后勤保障实践大大丰富了物流学的理论和方法，促进了20世纪60-70年代世界经济的发展，奠定了其作为一门独立学科的地位。 1956年10月，日本派了一个12人的考察团赴美进行流通技术实地考察，接触到物流的概念，回国后结合国内的情况，提出了“物的流通”的概念，得到理论界和实业界的广泛认同，并形成自身独特的管理经验和方法。 我国从上世纪70-80年代从日本引进“物流”这个概念。 ?与物流有关的名称 ?物流的定义 1.2 物流学的发展历史和研究内容 History and Components ?时间跨度上的三个阶段 ?技术发展上的六个阶段 ?在社会经济中的重要作用 ?研究领域和内容 1.3 物流系统的分类 The Classification of Logistics Systems ?三种分类方法 ?生产物流的分类 1.4 物流装备与技术 The Equipment and Technology of Logistics ?物流技术的概念 ?作用与地位 ?技术领域 ?发展现状与趋势 第2章仓储装备与技术 Chapter 2 The Equipment and Technology of Warehouse 2.1 仓储概论 The Introduction of Warehouse ?仓储的基本概念 仓储——利用仓库来储存和保管货物。 仓库——是储存、保管物品的建筑物和场地的总称，如库房、货棚、货场等。 作用——仓库是物流系统的一个中心环节，是物流网络的节点。 仓库的功能——储存和保管 调节供需 调节货物的运输能力 流通,配送,加工 信息传递 产品生命周期支持 ?仓库的分类利息的基本概念练习题
有限元法的理论基础
有限元理论与方法
《利息理论》复习提纲
有限元理论基础
第一章 一些基本概念
物流的基本概念第1章导论