最新上海市上海中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．“1k <-”是“方程22

1324

x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件

A ．充分非必要

B ．必要非充分

C ．充分必要

D ．既非充分又非

必要 【答案】B

【解析】先化简条件“方程22

1324

x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”

，结合k 的范围进行判定. 【详解】

因为方程22

1324

x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆，

所以3240k k +>+>，解得21k -<<-；

因为211k k -<<-?<-，反之不成立，所以“1k <-”是“方程22

1

324

x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.

2．双曲线2

2

1kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）

A ．

B

C ．

D ．

2

【答案】C

【解析】根据双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直可求k ，进而可求双曲线的离心率. 【详解】

由题意可知0k >，

因为双曲线221kx y -=的渐近线为y =，且一条渐近线与直线210x y ++=垂直，

12

=

，即14k =；

此时双曲线为2214

x y -=，224,5a c ==,. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确,,a b c 的关系式，或者

,,a b c 的值，侧重考查数学运算的核心素养.

3．给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，

2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ?=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；

④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B

【解析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得. 【详解】

对于①：设111222,z x y z x y i i =+=+，1212,,,x x y y 均为实数，由120z z -=可得

()()

112

2220x x y y -+-=，所以1212,x x y y ==，即12z z =，故①正确；

对于②：当11z =，2z i =时，满足1212z z z z +=-，但是120z z ?≠，故②不正确； 对于③：当0z =时，满足2

2z z =-，但是z 不是纯虚数，故③不正确；

对于④：设,,z x yi x y R =+∈，由z z =可得i =x y +0y =，故④

正确. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.

4．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，

2OA OB ?=u u u v u u u v

（其中O 为坐标原点）

，则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3

C

．

D

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：据题意得1(,0)4

F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则

22

1122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.

所以122y y =-两面积之和为

12211111224S x y x y y =

-+??22

1221121111112248

y y y y y y y y =-+??=-+?111218y y y =

++?11298y y =+112938

y y =+≥.

二、填空题

5．若复数()1231i z i +=-，则z =______.

【解析】先化简求解z ，然后再求解模长. 【详解】

因为()1231i z i +=-，所以()()()()3i 112i 3i 155i

1i 12i 12i 12i 5

z ---+====+++-，

所以z ==

. 【点睛】

本题主要考查复数的运算及模长，求解复数模长时一般是先把复数进行化简，然后结合模长的公式求解，侧重考查数学运算的核心素养. 6．抛物线2y x =的准线方程为________．

【答案】1

4

x =-

【解析】抛物线2

y x =的准线方程为14x =-；故填14

x =-. 7．椭圆2

2

36x y +=的焦距是______. 【答案】4

【解析】先把椭圆方程化为标准形式，结合,,a b c 的关系可求焦距. 【详解】

2

2

36x y +=可化为22

162

x y +=，所以226,2a b ==，

因为2224c a b =-=，所以2c =，焦距24c =. 故答案为：4. 【点睛】

本题主要考查利用椭圆的方程求解焦距，从给定的方程中求解,,a b c 是关键，侧重考查数学运算的核心素养.

8．已知复数a ，b 满足集合{}{}

2

,,1a b a b -=+，则ab =______.

【答案】1

【解析】根据集合相等的含义，分别求解复数,a b ，然后可求ab . 【详解】

因为1b b ≠+，{}{}

2

,,1a b a b -=+，所以2

1

a b b a

-=+??

=?， 即有210a a ++=

，解得12

212a i b ?=-+???

?=--??

或1

22

12a b ?=--

????=-+??

， 所以1ab =. 故答案为：1. 【点睛】

本题主要考查复数的运算，复数方程的根可以借助求根公式来进行，侧重考查数学运算的核心素养.

9．计算：239123410i i i i ++++???+=______. 【答案】56i +

【解析】先求解n i ，然后再根据复数的加法规则进行求解. 【详解】

因为2

3

4

9

i 1,i i,i 1,,i i =-=-==L ，

所以23912i 3i 4i 10i 12i 34i 10i =5+6i ++++???+=+--+???+.

故答案为：56i +. 【点睛】

本题主要考查复数的运算，明确4414243i 1,i i,i 1,i i n

n n n +++===-=-是求解的关键，侧

重考查数学运算的核心素养.

10．已知抛物线C ：2

4y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ

的取值范围是______. 【答案】[

)4,+∞

【解析】设出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得12y y +，然后把PQ 用

12y y +表示出来，结合表达式的特点求解范围.

【详解】

由题意可得焦点(1,0)F ，设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线:1l x ty =+，

联立241

y x x ty ?=?=+?得2440y ty --=，12124,4y y t y y +==-，

22112212()41441P y Q x x x x t y t ++=++===++++；

因为20t ≥，所以4PQ ≥. 故答案为：[

)4,+∞. 【点睛】

本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

11．已知P 为双曲线2

2

1x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.

【答案】(

-∞

【解析】把所求问题转化为求点P 到直线2y x =+的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】

双曲线2

2

1x y -=的渐近线方程为y x =±，而直线2y x =+与y x =平行，

平行线间的距离d =

=

由题意可知点P 到直线2y x =+

；

所以m ≤

故答案为：(

-∞. 【点睛】

本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.

12．平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．

过点)

M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.

【答案】

【解析】先求解机器人的运动轨迹，结合直线和曲线的位置关系可求. 【详解】

由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由1,2a c ==可得23b =，

所以机器人的运动轨迹方程为22

1(1)3

y x x -=≥；

直线3(y k x -=

，即(3y k x =+，

联立22

(313y k x y x ?=-+??-=??

得2222(3)6)3120k x k k x -+-+--=， 当230k -=时，

若k =

则此时直线(3y k x =-+=恰好是双曲线的渐近

线，符合题意；若k =.

当230k -≠时，由?<0

得22226)4(3312)0k k k -----<，

k <<

综上可得k

的取值范围是.

故答案为：. 【点睛】

本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系一般转化为方程解的情况，通过判别式及韦达定理进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.

13．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一

点，且123

F PF π

∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心

率为______． 【答案】

3 【解析】根据椭圆的定义与几何性质判断1F PQ ?为正三角形，且PQ x ⊥轴，设

2PF t =，可得1122,3PF t F F t ==，从而可得结果.

【详解】

因为1F 关于12F PF ∠的对称点Q 在椭圆C 上，

则1PF PQ =，160F PQ ∠=o

Q ，

1F PQ ∴?为正三角形，11F Q F P ∴=，

又1

212222,FQ F Q F P F P a F Q F P +=+=∴=Q ， 所以PQ x ⊥轴，

设2PF t =，则1122,3PF t F F t

=， 即2332323323c c t c t e a a t a t ?=??====?=??

，故答案为33.

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 14．已知一族双曲线2

2

:2019

n n

E x y -=

（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与n

E 在第一象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记

n n n A B C ?的面积为n a ，则1232019a a a a +++?+=__________.

【答案】

505

2

【解析】设点坐标()00,n A x y ，表示出n n n A B C V 的面积，得到n a 的通项，然后对其求前2019项的和. 【详解】 设()00,n A x y ， 双曲线2

2

:2019

n n

E x y -=

的渐近线为0,0x y x y +=-=，互相垂直. 点()00,n A x y 在两条渐近线上的射影为,n n B C

，则n n n n A B A C =

=

易知n n n A B C V

为直角三角形，22001=2420194n n n A B C x y n

S -==?V 即20194

n n

a =

?为等差数列，其前2019项的和为

()12019201912019201920195052019420194=222

a a S ?

?+? ?+?????

==

【点睛】

本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.

15．已知点P (0，1)，椭圆24

x +y 2

=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u v =2PB u u u v ，则当m =___________

时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5

【解析】分析:先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r

得

1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-

因为A ,B 在椭圆上,所以2222

1212,,44x x y m y m +=+=

222

2222243(23),()4424

x x m y m y ∴+-=∴+-=，

与22

224

x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值.

点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

16．已知椭圆C ：)

22

21

06x y m m

+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个

端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当

m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足

条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______. 【答案】①③

【解析】利用椭圆的定义先求解P 的轨迹，即可判定①正确，②不正确；结合轨迹方程进行验证，可得③正确，④不正确. 【详解】

由题意，点P 在椭圆C ：)

22

21

06x y m m

+=>>上，

所以1212PF PF PB PB +=+=

所以点P 也在以12,B B 为焦点的椭圆222

166y x m

+=-上， 所以点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆22

2

166y x m +=-的交点，共4个，故①正确，

②错误；

点P 靠近坐标轴时（0m →或m →

，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得2

3m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=， 22

163y x +=，两方程相加得

22

2222

x y +=?=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距

离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，所以OP ，④错误.

故答案为：①③.

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义及性质，椭圆有关的最值问题常常借助其几何性质进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

三、解答题

17．已知复数z 满足2

274z z i -=+，求z . 【答案】32z i =+或12z i =-+.

【解析】设出复数,,z a bi a b R =+∈，代入已知条件，利用复数相等的含义可求. 【详解】

设,,z a bi a b R =+∈，222

i,z z a a b b =-=+， 因为2

274z z i -=+，所以2

2

2(i)=7+4i a a b b +--，

2227a b a +-=且24b =，

解得2b =，1a =-或3，所以32z i =+或12z i =-+. 【点睛】

本题主要考查复数的相关概念及运算，待定系数法是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

18．已知复数()221

i

z i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；

（2）求1z -的取值范围.

【答案】（1）12m =-

；（2）1z -5

5

≥. 【解析】（1）先对复数进行化简，然后结合z 是纯虚数可求m 的值； （2）结合复数的模长公式，表示出1z -，利用二次函数的知识求解. 【详解】

（1）()()()()()

2i i 12i

2i 2i i 1i 1i 1z m m +=++

=++--+ ()()2i i i 121(1)i m m m =+-+=++-，

若复数z 是纯虚数，则210,10m m +=-≠，所以1

2

m =-

. （2）由（1）得21(1)i z m m =++-，12(1)i z m m -=+-，

22214(1)521z m m m m -=+-=-+，

因为2521y m m =-+是开口向上的抛物线，有最小值4

5

； 所以1z -25

≥. 【点睛】

本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.

19．假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5.

.

（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；

（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 13弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．

发生碰撞. 【答案】（1）2211612

x y +=；

（2）(22,22k ∈-. 【解析】（1）根据题意可得2,6a c a c -=+=，从而可求椭圆C 的标准方程； （2）根据与轨道中心O 13P 的坐标，进而设出直线方程，利用

直线与圆相离可求k 的取值范围. 【详解】

（1）由题意，2462a c a C a c c ?-==?????+==??

：22

11612x y +=；

（2）设()(),,0P x y x y >，联立22

11612

x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，

设直线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，

弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线320kx y k -+-=的距离大于圆半径1，

1>

，解得(k ∈-.

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程及直线与圆的位置关系，椭圆的方程的求解的关键是构建关于

,,a b c 的等量关系式，直线与圆的位置关系一般通过圆心到直线的距离与半径的关系求

解.

20．已知曲线C

的参数方程是2412x t y t t ?=+???

?=-??

（参数t R ∈）.

（1）曲线C 的普通方程；

（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.

【答案】（1）22

12

y x -=；

（2）22

240x x y y --+=. 【解析】（1

）先把24x t

=+

12t t =+，然后两式平方相减可得曲线C 的普通方程；

（2）设出点的坐标，代入方程，作差，结合中点公式和斜率公式可求. 【详解】 （1

）因为24x t

=

+

12t t =+，所以有22

2222

1121,144t t x t y t =+

+=+-，

两式相减可得2

2

22x y -=，即2

2

12

y x -=.

（2

）设1122(,),(,),(,)P x y Q x y M x y ，则222

2

121

21,122

y y x x -=-=，

两式相减得12121212()()()()02

y y y y x x x x -+-+-=，即121212122()x x y y y y x x +-=+-. 因为M 为PQ 的中点，所以12122,2x x x y y y +=+=，

因为,M A 均在直线上，所以12121

2

y y y x x x --=--，

整理可得2

2

240x x y y --+=，经检验知符合题意， 即线段PQ 中点M 的轨迹方程2

2

240x x y y --+=. 【点睛】

本题主要考查参数方程化为普通方程及轨迹方程的求解，参数方程化为普通的关键是消去参数，点差法是求解有关弦中点问题的首选方法，侧重考查数学运算的核心素养. 21．由半圆()2

2

10x y y +=≤和部分抛物线()()2

1

0,0y a x y a =-≥>合成的曲线C

称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .

（1）求a 的值；

（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，A ，

Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，

请说明理由.

【答案】（1）1a =;（2）存在实数12k =QBA PBA ∠=∠. 【解析】（1）通过点()2,3M 在曲线()()2

1

0,0y a x y a =-≥>上可求a 的值；

（2）根据题意得出1QB QA k k ?=，结合斜率公式即可求出k 的值. 【详解】

（1）由题意易知，点()2,3M 在曲线()()2

1

0,0y a x y a =-≥>上，所以

()2321a =-，

即1a =.

（2）假设存在，由题意可知QBA PBA ∠=∠，90APB ∠=?， 所以90QBA BAP ∠+∠=?，所以1QB QA k k ?=.

设()

2

00,1Q x x -，其中00x >，

22000000111,111

QB

QA x x k x k x x x --==-==++-， 所以2

011QB QA k k x ?=-=， 因为00,x >

所以0x =

所以1QA k k ==

+.

故存在实数实数1k =+QBA PBA ∠=∠. 【点睛】

本题主要考查直线和抛物线的位置关系，角度关系一般转化为斜率问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.

22．已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b +=>>

经过点1,2M ?? ? ???

，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆222

3

x y +=

相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；

（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足

OP OQ λ=u u u r u u u r

（O 是坐标原点）

，求实数λ的取值范围； （3）AT BT ?是否为定值，如果是，求AT BT ?的值；如果不是，求AT BT ?的取值范围.

【答案】（1）22

12x y +=;（2

）λ?∈?????

U ;（3）是定值，

23

AT BT ?=

. 【解析】（1

）把两点1,2M ??

? ???

，()0,1N -代入方程可得椭圆C 的方程；

（2）先根据直线和圆相切，求出223220m k --=，然后联立方程，结合韦达定理求出1212,x x y y ++，结合平行四边形性质和Q 在椭圆上可得实数λ的取值范围； （3）根据直线和圆相切可以表示出切点坐标，把AT BT ?转化为AT TB ?u u u r u u r

，结合向量运算及韦达定理可求. 【详解】

（1）因为椭圆C ：()22

2210x y a b a b +=>>

经过点1,2M ?? ? ???，()0,1N -， 所以222

1

21411a b b ?+=????=??

，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2

212x y +=.

（2）因为直线l ：y kx m =+与圆2

2

2

3x y +=

=， 即223220m k --=①.

由22

22

y kx m x y =+??+=?得()222

124220k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222

422

,1212km m x x x x k k

-+=-=++， ()()1212y y kx m kx m =++++()122x x m k =++2

212m

k =

+.

由向量加法的平行四边形法则，得OA OB OP +=u u u r u u u r

u u u r

，

因为,OP OQ λ=u u u r u u u r 所以OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r .

由题意易知0λ≠，

设00(,)Q x y ，则()()()112200,,,x y x y x y λ+=，

()()012

1211x x x y y y λλ?=+???

?=+??

，即(

)(

)

0202

412 212km x k m y k λλ-?

=?+???=?+?

.

因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以()

()

2

2

2

2

42221212km

m

k k λλ????

-????+=++?????

??

?

， 整理得()22

2

412m k λ

=+②

由>0?可得2212k m +>，所以2224m m λ>， 204λ<<，即20λ-<<或

02λ<<.

由①②可得22

28(1)3(12)k k λ+=+，令2

12t k

=+，则2811()322

t λ=+， 因为0,t ≥所以

24833λ<≤

，解得λ≤<

λ<≤，

综上可得,,3333λ??∈-

- ? ????

U . （3）由（2）知223220m k --=，

()()1212y y kx m kx m =++()2

2

1212k x x km x x m =+++22

2

212m k k -=+

设33(,)T x y ，则33y kx m =+，由T 为切点可知OT AB ⊥,所以330x ky +=， 解得321km

x k =-

+. ()()31312323,,AT BT AT TB x x y y x x y y ?=?=--?--u u u r u u r

()()31212121222333x x x y x x x y y y y y ++--+=--

22332

243222123

my kmx m k k --++=-+ 22

232222()22221123123

km

m km m kmx k k k ---+=-=-

++ 222242213333

m k =-=-=+. 所以AT BT ?是定值且定值为2

3

. 【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的定值问题，范围问题，范围问题一般是根据条件及曲线的几何性质构建参数满足的不等关系，通过求解不等式求得参数范围，侧重考查数学运算的核心素养.