三种常用的T检验
独立样本的T检验 (independent-samples T T est) 对于相互独立的两个来自正态总体的样本,利用独立样本的T 检验来检验这两个样本的均值和方差是否来源于同一总体。在SPSS 中,独立样本的T检验由“Independent-Sample T Test”过程来完成。 例:双语教师的英语水平有高低之分,他们(她们)所教的学生对双语教学的态度是否有显著差异? 例题分析: ——研究目的:寻找差异 ——自变量:双语教师的英语水平(ordinal data等级变量),有两个水平:;level1低水平,level2 高水平 ——因变量:学生的双语教学态度(interval data等距变量) SPSS操作步骤 ·Analyze→Compare Means→Independent Samples T Test ·Click the 双语教学态度to the column of “Test V ariable(s)” and the 教师英语水平分组to the column of “Grouping variable” ·Click the button of “Define Groups…” and put the group numbers “1” and “3” into Group 1 and Group 2, and “Continue” back, then “OK”.
结果在论文中的呈现方式 独立样本T检验结果显示,双语教师的英语水平不同,其所教学生对双语教学的态度有显著差异(t=-3,249, df=72, p<0.05)。双语教师英语水平较低所教的学生,他们对双语教学态度的得分也显著低于英语水平较高的双语教师所教的学生(MD=-0.65)。这可能是因为…… 练习:文科生和理科生对双语教学的态度是否有显著差异? 配对样本T检验(Paired-samples T Test) 配对样本T检验,用于检验两个相关的样本(配对资料)是否来自具有相同均值的总体。 例:本次调查中,学生对自己英语能力水平和英语知识水平的评价之间是否有显著差异? 例题分析: ——研究目的:寻找差异 ——自变量:学生的评价对象(norminal data定类数据),有两个水平:level1对自身英语能力水平的评价,level2对自身英语知识水平的评价。 ——因变量:学生自身英语能力和知识的评价分数
线性变换例题 (3)
【例9.15】已知系统具有如下形式 u y y y y 66116')2()3(=+++ 试求此系统对角形式的状态方程。 解 令 y x =1,'2y x =,) 2(3y x = 即 21x x =& 32x x =& u x x x x 661163213+---=& 写成矩阵—向量形式 u x x x x x x ?? ?? ??????+????????????????????---=????? ?????6006116100010321321&&& (9.76) []?? ?? ? ?????=321001x x x y 可以看出A 阵为友矩阵,且A 的特征值为 321321-=-=-=λλλ,, 即 321λλλ≠≠ 。 这时我们选转换矩阵P 形式为 ??????? ???? ?????=---11211 2 22 2 121 111 n n n n n n P λλλλλλλλλΛ M ΛM M ΛΛΛ n 为相同的阶数,这里n =3。 本题中 ???? ??????---=921321111 P 令x=Pz 将上式代入(9.42)式,得: Bu APz z P +=& CPz y Bu P APz P z =+=--11& 系统可写为
????????????????????---??????????---??????????---=??????????32132194132111161161000105.05.111435.05.23z z z z z z &&&u ???????????????? ????---+6005.05.111435.05.23 u z z z z z z ???? ??????-+????????????????????---=????? ?????363300020001321321&&& 输出方程为 [][]?? ?? ? ?????=????????????????????---=321321111921321111001z z z z z z y
第七章 线性变换练习题参考答案
第七章 线性变换练习题参考答案 一、填空题 1.设123,,εεε是线性空间 V 的一组基,V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则 σ在基321,,εεε下的矩阵B =1,T AT -而可逆矩阵T =001010100?? ? ? ??? 满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ?? ? ? ??? . 2.设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵,定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-={}|0,n A P ξξξ=∈,()1dim (0)σ-=n r -,()dim ()n P σ=r . 3.复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于1n ii i a =∑ ,而全体特征值的积等于 ||A . 4.设σ是n 维线性空间V 的线性变换,且σ在任一基下的矩阵都相同,则σ为__数乘__变换 . 5.数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间,它与n n P ?同构. 6.设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ,()f x 为任一多项式,则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7.设???? ??=2231A ,则向量??? ? ??11是A 的属于特征值 4 的特征向量. 8.若????? ? ?--=100001011A 与1010101k B k ?? ?=-- ? ???相似,则k = -1/2 . 9.设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ,则=||A 3 .
第七章 线性变换 习题答案
第七章 线性变换 3.在[]P x 中,()()f x f x '=A ,()()f x xf x =B ,证明: -=A B BA =E . 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可. 证明 任取()[]f x P x ∈,则有 ()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B (())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E , 于是-=A B BA =E . 4.设,A B 是线性变换,如果-=A B BA =E ,证明: 1 ,1k k k k k --=>A B BA A . 『解题提示』利用数学归纳法进行证明. 证明 当2k =时,由于-=A B BA =E ,可得 22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A , 因此结论成立. 假设当k s =时结论成立,即1 s s s s --=A B BA A .那么,当1k s =+时,有 1 1 ()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+A B BA A A B BA A B BA A A A A , 即对1k s =+结论也成立.从而,根据数学归纳法原理,对一切1>k 结论都成立. 『特别提醒』由0 =A E 可知,结论对1k =也成立. 5.证明:可逆映射是双射. 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可. 证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换.对于任意的,V ∈αβ,如果=αβA A ,那么,用1 -A 作用左右两边,得到1 1 ()()--===ααββA A A A ,因此A 是单射;另外,对于任意的V ∈β,存在 1V -=∈αβA ,使得1()-==αββA A A ,即A 是满射.于是A 是双射. 『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构.
教育统计学t检验练习
教育统计学t检验练习内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)
实验报告实验名称:t 检验成绩: 实验日期: 2011年10月31日实验报告日期:2011年11 月日 林虹 一、实验目的 (1)掌握单一样本t检验。 (2)掌握相关样本t检验 (3)掌握独立样本t检验 二、实验设备 (1)微机 (2)SPSS for Windows 统计软件包 三、实验内容: 1.某市统一考试的数学平均成绩为75分,某校一个班的成绩见表4-1。问该班的 成绩与全市平均成绩的差异显着吗 表4-1 学生的数学成绩 12345678910111213141516 编 号 成96977560926483769097829887568960 号 68747055858656716577566092548780 成 绩
2.某物理教师在教学中发现,在课堂物理教学中采用“先讲规则(物理的定理或 法则),再举例题讲解规则的具体应用”与采用“先讲例题,再概括出解题规则”这两种教学方法的教学效果似乎不同。为了验证他的这个经验性发现是否属实,他选择了两个近似相等的班级进行教学实验。进行教学实验时的教学内容、教学时间和教学地点等无关变量他都做了严格的控制,分别采用“例-规” 法与“规-例”法对两个班的学生进行物理教学,然后,两个班的被试都进行同样的物理知识测验。测验成绩按“5分制”进行评定。两组被试的测验成绩见数据文件data4-02。请用SPSS,通过适当的统计分析方法,检验这两种教学方法的教学效果是否存在实质性差别。 3.某幼儿园分别在儿童入园时和入园一年后对他们进行了“比奈智力测验”,测 验结果见数据文件data4-03。请问,儿童入园一年后的智商有明显的变化吗(例题) 4.某心理学工作者以大学生为被试,以“正性”和“负性”两种面部表情模式的 照片为实验材料,测量被试对“正性”和“负性”面部表情识别的时间,测验结果见数据文件data4-04。请用SPSS中适当的统计分析方法检验两种面部表情模式对大学生识别面部表情的时间是否存在明显的影响。 5.某小学教师分别采用“集中学习”与“分散学习”两种方式教两个小学二年级 班级的学生学习相同的汉字,两个班学生的学习成绩见data4-05。请问哪种学习方式效果更好 6.某省语文高考平均成绩为78分,某学校的成绩见data4-06。请问该校考生的 平均成绩与全省平均成绩之间的差异显着吗 **
高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵 习题7、1 习题7、1、1判别下列变换就是否线性变换? (1)设就是线性空间中得一个固定向量, (Ⅰ),, 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(Ⅱ),; 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(2)在中, (Ⅰ), 解:不就是得线性变换。因对于,有,,所以。(Ⅱ); 解:就是得线性变换。设,其中,,则有 , 。 (3)在中, (Ⅰ), 解:就是得线性变换:设,则 , ,。
(Ⅱ),其中就是中得固定数; 解:就是得线性变换:设,则 , ,。 (4)把复数域瞧作复数域上得线性空间,,其中就是得共轭复数; 解:不就是线性变换。因为取,时,有,,即。 (5)在中,设与就是其中得两个固定得矩阵,,。 解:就是得线性变换。对,,有 , 。 习题7、1、2在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换。证明(表示恒等变换), , ; 并说明就是否成立。
证明:在中任取一个向量,则根据,及得定义可知:,,;, ,;,,,即,故。 因为, ,所以。 因为, ,所以。 因为, ,所以。 习题7、1、3在中,,,证明。 证明:在中任取一多项式,有 。所以。 习题7、1、4设,就是上得线性变换。若,证明 。 证明:用数学归纳法证明。当时,有 命题成立。假设等式对成立,即。下面证明等式对也成立。因有
,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立。 习题7、1、5证明(1)若就是上得可逆线性变换,则得逆变换唯一;(2)若,就是上得可逆线性变换,则也就是可逆线性变换,且 。 证明:(1)设都就是得逆变换,则有,。进而。即得逆变换唯一。 (2)因,都就是上得可逆线性变换,则有 ,同理有 由定义知就是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得。 习题7、1、6设就是上得线性变换,向量,且,,,都不就是零向量,但。证明,,,线性无关。 证明:设,依次用可得 ,得,而,故;同理有:,得,即得;依次类推可得,即得,进而得。 有定义知,,,线性无关。 习题7、1、7设就是上得线性变换,证明就是可逆线性变换得充要条件为既就是单射线性变换又就是满射线性变换,即就是一一变换。
线性变换的核与像
线性变换的核与像 设是向量空间V的一个线性变换,称 为的核,记为或称 为的像(或值域),记为或. 可证得与都是V的子空间. 称为的秩,称 为的零度. 结论1 设是F上维向量空间V的线性变换,是V的一个基,关于此基的矩阵是A,则 (i); (ii)秩A; (iii)+. 结论2 设是F上向量空间的线性变换,则 是满射;(ii)是单射. 结论3 设是维向量空间V的线性变换,则 是单射是满射. 结论4 设是V的线性变换,则 (i); (ii); (iii) 例1 设, 试证明,存在一个正整数k,使得 . 且对一切正整数t,均有. 证明:1) 这时是单射,且是满射,故可逆,从而均可逆,即有 因而结论成立. 2) 由结论4得,
由于不超过n的正整数只有n个,因此由上式知,必存在正整数,使 ,当然有 即. 下面用数学归纳法来证明,对一切正整数t,有 当时,结论已证. 设,且显然. 反之 ,由归纳假设 ,因此,即,这 说明,所以,即有 . 由例1立得 推论设, 试证明,存在一个正整数k,使 ,且对一切正整数t,均有 例2 设皆为F上向量空间V的线性变换,且 (i) (ii) 证明:(i) ()显然. ()故,使. . 因而 上述过程中的与对调,即得 (ii) ()显然. (), 因而 ,由于,因此,故 =0, ∴ ∴ 将上述过程中的与对调,即得
例3 设, 证明下述条件诸款彼此等价:(i); (ii) 证明:(i)(ii): 且,使 , 由知, 故. 即有 (i)(ii): 由知,是直 和.. 所以 ,使 , 而是中任取的一向量,故. 至于是显 然的.因此 注:与(i) 等价的条件还有“” 与(ii) 等价的条件有“”及 当时,有. 反之,当时,未必有 比如设, 为基,选择V的一个线性变换,使 ,, j=2,3,…,n. 这能办到. 显然,但,而,即有. 例4 设, ,W是V的子空间. 证明 . 证当W是V的零子空间时,结论显然成立 下设dim 1) 令则f为线性映射,
第七章线性变换.
第七章线性变换 计划课时:24 学时.(P 307—334) §7.1 线性变换的定义及性质( 2 学时) 教学目的及要求:理解线性变换的定义,掌握线性变换的性质 教学重点、难点:线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义(P307) 注意:向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换,反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1 (P309) 定理7.1.2 (P309) 推论7.1.3 (P310) 注意: 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法,且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等,推论7.1.3 (P310)告诉我们,只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业:习题七P330 1 ,2, 3. §7.2 线性变换的运算( 4 学时) 教学目的及要求:掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点:线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授: 一. 加法运算 定义 1 (P310) 注意:+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义 2 (P311) 显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 (1). 乘法运算 定义 3 (P311-312)
注意:线性变换的乘法适合结合律,但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂 四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读 内容). 作业:P330 习题七4, 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求:理解线性变换关于一个基的矩阵的定义,掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论,掌握L(V)与M(F)的同构理 论。 教学重点、难点: 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论,线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授: 一.线性变换关于基的矩阵 定义 ( P316) 。 注意:取定n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,有唯一确定的n阶矩阵与 它对应. 例 1 ( P316 ) 注意:一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构 定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意:1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点,在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ,所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法,而且给出了求 逆变换的方法。 四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 (P321). 作业:P331 习题七6,9,12,17.