简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题
例1画出不等式组
?
?
?
?
?
≤
+
-
≤
-
+
≤
-
+
-
.0
3
3
4
2
y
x
y
x
y
x
，
，
表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．
解：把0
=
x，0
=
y代入2
-
+
-y
x中得0
2
0<
-
+
-
∴不等式0
2≤
-
+
-y
x表示直线0
2=
-
+
-y
x下方的区域（包括边界），
即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．
说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．
例2 画出3
3
2≤
<
-y
x表示的区域，并求所有的正整数解),(y x．
分析：原不等式等价于
?
?
?
≤
-
>
.3
,3
2
y
x
y
而求正整数解则意味着x，y
有限制条件，即求
?
?
?
?
?
?
?
≤
-
>
∈
∈
>
>
.3
,3
2
,
,
,0
,0
y
x
y
z
y
z
x
y
x
．
解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知3
3
2≤
<
-y
x表示的区域如下图：
对于3
3
2≤
<
-y
x的正整数解，先画出不等式组．
?
?
?
?
?
?
?
≤
-
>
∈
∈
>
>
.3
,3
2
,
,
,0
,0
y
x
y
z
y
z
x
y
x
所表示的平面区域，如图所示．
容易求得，在其区域的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域找出符合题设要求的整数点来．
例3求不等式组
??
?
?
?
+
-
≤
-
+
≥
1
1
1
x
y
x
y
所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够
对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．
解：不等式1
1-
+
≥x
y可化为)1
(-
≥
≥x
x
y或)1
(2-
<
-
-
≥x
x
y；
不等式1+
-
≤x
y可化为)0
(1≥
+
-
≤x
x
y或)0
(1<
+
≤x
x
y．在平面直角坐标系作出四条射线
)1
(-
≥
=x
x
y
AB：，)1
(2-
<
-
-
=x
x
y
AC：
)0
(1≥
+
-
=x
x
y
DE：，)0
(1<
+
=x
x
y
DF：
则不等式组所表示的平面区域如图
由于AB与AC、DE与DF互相垂直，
所以平面区域是一个矩形．
根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为2
2
和
2
2
3
．
所以其面积为
2
3
．
例4 若x、y满足条件
?
?
?
?
?
≤
+
-
≥
+
-
≤
-
+
.0
10
4
10
2
3
12
2
y
x
y
x
y
x
，
，
求y
x
z2
+
=的最大值和最小值．
分析：画出可行域，平移直线找最优解．
解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示． 作直线z y x l =+2:，即z x y 2
12
1+-=，它表示斜率为2
1-，纵截距为2
z 的平行直线系，当它在可行域滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =?+=z ∴ 2222min =?+-=z
说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．
例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形
部的平面区域．
分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形部区域应怎样表示。
解：直线AB 的斜率为：1)
3(10
4=---=
AB k ，其方程为3+=x y ． 可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ．
ABC ?的部在不等式03>+-y x 所表示平面区域，同时在不等式
062>++y x 所表示的平面区域，同时又在不等式022<+-y x 所表示的
平面区域（如图）．
所以已知三角形部的平面区域可由不等式组
?
?
?
?
?
<
+
-
>
+
+
>
+
-
2
2
,0
6
2
,0
3
y
x
y
x
y
x
表示．说明：用不等式组可以用来平面的一定区域，注意三角形区域部不包括边界线．
例6已知0
5≥
-
+y
x，0
10≤
-
+y
x．求2
2y
x+的最大、最小值．分析：令2
2y
x
z+
=，目标函数是非线性的．而()22
2
2
2y
x
y
x
z+
=
+
=
可看做区域的点到原点距离的平方．问题转化为点到直线的距离问题．
解：由
?
?
?
≤
-
+
≥
-
+
,0
10
,0
5
y
x
y
x
得可行域(如图所示)为()22
2
2
2y
x
y
x
z+
=
+
=，而)0,0(到0
5=
-
+y
x，0
10=
-
+y
x的距离分别为
2
5
和
2
10
．
所以z的最大、最小值分别是50和
2
25
．
说明：题目中的目标函数是非线性的．解决的方法类似于线性规划问题．可做出图，利用图进行直观的分析．
例7设y
x
z5
7+
=式中的变量x、y满足下列条件
?
?
?
?
?
∈
∈
≤
-
-
≤
-
+
.*
*,
,0
2
3
,0
20
3
4
N
y
N
x
y
x
y
x
求z 的最大值．
分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的*
N
y
x∈
、，故只是可行域的整数点，然后作出与直线0
5
7=
+y
x平等的直线再进行观察．
解：作出直线0
20
3
4
1
=
-
+y
x
l：和直线0
2
3
2
=
-
-y
x
l：，得可行域如图所示．
解方程组
?
?
?
=
-
-
=
-
+
2
3
20
3
4
y
x
y
x
得交点)
5
4
,
5
22
(A．
又作直线0
5
7=
+y
x
l：，平等移动过点A时，y
x5
7+取最大值，然而点A不是整数点，故对应的z值不是最优解，此时过点A的直线为5
4
34
5
7=
+y
x，应考虑可行域中距离直线
5
4
34
5
7=
+y
x最近的整点，即)4,2(B，有34
4
5
2
7
)
(
=
?
+
?
=
B
z，应注意不是找距点A最近的整点，如点)1,4(C为可行域中距A最近的整点，但33
1
5
4
7
)
(
=
?
+
?
=
C
z，它小于)
(B
z，故z的最大值为34．
说明：解决这类题的关键是在可行域找准整点．若将线性目标函数改为非线性目标函数呢？
例8 设2
2y
x
z+
=，式中的变量x、y满足
?
?
?
?
?
≥
≤
+
-
≤
-
.1
,
25
5
3
,3
4
x
y
x
y
x
试求z的最大值、最小值．
分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数2
2y
x
z+
=应理解为可行域中的点与坐标原点的距离的平方．解：作出直线0
3
4
1
=
+
-y
x
l：，0
25
5
3
2
=
-
+y
x
l：，1
3
=
x
l：得到如图所示的可行域．
由
?
?
?
=
-
+
=
+
-
25
5
3
3
4
y
x
y
x
得)2,5(A
由
?
?
?
=
=
+
-
1
3
4
x
y
x
得)1,1(C
由
?
?
?
=
=
-
+
1
25
5
3
x
y
x
得)
5
22
,1(B．
由图可知：当)
,
(y
x为点)1,1(C时，z取最小值为2；当)
,
(y
x为点)2,5(A时，z取最大值29．
说明：若将该题中的目标函数改为
y
x
z=，如何来求z的最大值、最小值呢？请自己探求．（将目标函数理解为点)
,
(y
x与点)0,0(边线的斜率）
例9设0≥x，0≥y，0≥z；z
y
x
p2
3+
+
-
=，z
y
x
q4
2+
-
=，1
=
+
+z
y
x，用图表示出点)
,
(q
p的围．
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题但因为测试新人教B版 1.(文)(2010·北京东城区)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是() A．(－∞，1)B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(0,1) [答案] B [解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方?－2－2t＋4<0，∴t>1. [点评]可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0?点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0?点P在直线下方． 由题意－2(－2－2t＋4)>0，∴t>1. (理)(2010·惠州市模拟)若2m＋2n<4，则点(m，n)必在() A．直线x＋y－2＝0的左下方 B．直线x＋y－2＝0的右上方 C．直线x＋2y－2＝0的右上方 D．直线x＋2y－2＝0的左下方 [答案] A [解析]∵2m＋2n≥22m＋n，由条件2m＋2n<4知， 22m＋n<4，∴m＋n<2，即m＋n－2<0，故选A. 2．(2010·四川广元市质检)在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为() A．95B．91 C．88D．75 [答案] B [解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；
y ＝1时，0≤x≤13；y ＝2时，0≤x≤12； y ＝3时，0≤x≤10；y ＝4时，0≤x≤9； y ＝5时，0≤x≤7；y ＝6时，0≤x≤6； y ＝7时，0≤x≤4；y ＝8时，0≤x≤3； y ＝9时，0≤x≤1，y ＝10时，x ＝0. ∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个． 3．(2011·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件???? ? x≥1，x ＋y －4≤0， x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( ) A ．－4 B ．0 C.4 3 D ．4 [答案] D [解析] 该线性约束条件所代表的平面区域如上图，易解得A(1,3)，B(1，5 3)，C(2,2)，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.
2019届人教B版(文科数学) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 单元测试
一、填空题 1．若x ，y 满足不等式组???? ? x ＋y －3≤0，x －y ＋3≥0， y ≥－1， 则 ＝3x ＋y 的最大值为 【解析】将 ＝3x ＋y 化为y ＝－3x ＋ ，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y ＝－3x ＋ 经过点D 时， 取得最大值．联立? ?? ?? x ＋y －3＝0， y ＝－1，得D (4，－1)，此时 max ＝4×3－1＝11， 2．已知x ，y 满足约束条件???? ? x ≥2，x ＋y ≤4， －2x ＋y ＋c ≥0， 目标函数 ＝6x ＋2y 的最小值是10，则 的最大值是 即D (3,1)，将点D 的坐标代入目标函数 ＝6x ＋2y ，得 max ＝6×3＋2＝20.
3．若x ，y 满足???? ? x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0， y ≥0， 且 ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 4．若x ，y 满足约束条件??? ?? 3x －y ≥0， x ＋y －4≤0， y ≥12x 2 ， 则 ＝y －x 的取值范围为 【解析】作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋ ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0 的交点(1,3)时， 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2 相切时， 取得最小值，由????? z ＝y －x ，y ＝12x 2 ，消去y 得 x 2－2x －2 ＝0，由Δ＝4＋8 ＝0，得 ＝－1 2 ，故－12 ≤ ≤2. 5．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域???? ? x －2≤0，x ＋y ≥0， x －3y ＋4≥0 中 的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝ 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，
简单的线性规划 习题含答案
线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
高二数学简单线性规划知识点
高二数学简单线性规划知识点 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学简单线性规划知识点》的内容，具体内容：数学这一学科知识积累的越多，掌握的就会越熟练，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。归纳1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-... 数学这一学科知识积累的越多，掌握的就会越熟练，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 归纳 1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo简单线性规划(1)-可行域 上的最优解2y 问题1：x 有无最大(小)值? 问题2：y 有无最大(小)值? 问题3：2x+y 有无最大(小)值? 2.作出下列不等式组的所表示的平面区域3二.提出问题 把上面两个问题综合起来: 设z=2x+y,求满足 时,求z的最大值和最小值.4y 直线L越往右平移,t随之增大. 以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.
可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。 思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值?5线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足 下列条件： 求z的最大值与最小值。 目标函数 (线性目标函数)线性约束条件 象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件 Z=2x+y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数6线性规划 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解; 可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域; 最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)7 线性目标函数 线性约束条件 线性规划问题 任何一个满足不等式组的(x,y)可行解可行域所有的最优解 目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。8线性规划
数学：3.3.2《简单的线性规划》测试题(新人教必修5).
实用文档 3. 3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 第1题. 已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+?? +??? ≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ） Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 答案：Ｄ 第2题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ） Ａ．10 220 x y x y +-?? -+?≥≥ Ｂ．10220x y x y +-??-+? ≤≤ Ｃ．10 220 x y x y +-??-+?≥≤ Ｄ．10 22x y x y +-?? -+? ≤≥0 答案：Ａ 第3题. 已知点1(00)P ， ，231 (11)03P P ?? ??? ，，，，则在3210x y +-≥表示的平面区域内的点是（ ） x y 1 1- 2- O
实用文档 Ａ．1P ，2P Ｂ．1P ，3P Ｃ．2P ，3P Ｄ．2P 答案：Ｃ 第4题. 若222x y x y ?? ??+? ≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ） Ａ．[26]， Ｂ．[25]， Ｃ．[36]， Ｄ．[35]， 答案：Ａ 第5题. 设a 是正数，则同时满足下列条件： 22 a x a ≤≤；22a y a ≤≤；x y a +≥； x a y +≥；y a x +≥的不等式组表示的平面区域是一个凸 边形． 答案：六 第6题. 原点(00)O ，与点集{()|2102250}A x y x y y x x y =+-++-，≥，≤，≤所表 示的平面区域的位置关系是 ，点(11) M ，与集合A 的位置关系是 ． 答案：O 在区域外，M 在区域内
简单的线性规划练习-附答案详解
简单的线性规划练习 附答案详解 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1) 2.若2m ＋2n <4，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 3．不等式组???? ? x ≥0x ＋3y ≥4 3x ＋y ≤4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3 4 4.不等式组???? ? x ＋y ≥22x －y ≤4 x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2 B ．6 2 C ．6 D ．3 5.设变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤x x ＋y ≥2 y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6.已知A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1 D ．3,1 7.在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A ．95 B ．91
C ．88 D ．75 8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元 9.已知实数x ，y 满足???? ? x －y ＋6≥0x ＋y ≥0 x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥1 B ．a ≤－1 C ．－1≤a ≤1 D ．a ≥1或a ≤－1 10.已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0 x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数 z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 11.当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,1) 12.已知x 、y 满足不等式组???? ? y ≥x x ＋y ≤2 x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )
线性规划知识复习、题型总结
线性规划 基础知识： 一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=0 2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<0 3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>0 2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不． 包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二：利用规律： 1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）， 当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）; 2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下） 当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。 四、线性规划的有关概念： ①线性约束条件： ②线性目标函数： ③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解： 典型例题一--------画区域 1. 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域． 分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解：直线AB 的斜率为：1) 3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ． 可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ． ABC ?的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表示的平面区域内（如图）． 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组?? ???<+->++>+-022, 062,03y x y x y x 表示． 说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线． 2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 解：原不等式等价于???≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求??? ??? ?≤->∈∈>>.3, 32, ,,0,0y x y z y z x y x ．
高中数学(人教版A版必修五)配套单元检测：第3章：3.3.2 简单的线性规划问题(二)
3．3.2 简单的线性规划问题(二) 课时目标 1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型． 1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解； 根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)． 2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小． 一、选择题 1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( ) A.????? a 1x ＋a 2y ≥c 1， b 1 x ＋b 2 y ≥c 2 ，x ≥0，y ≥0 B.????? a 1x ＋b 1y ≤c 1， a 2 x ＋b 2 y ≤c 2 ， x ≥0， y ≥0 C.????? a 1x ＋a 2y ≤c 1， b 1 x ＋b 2 y ≤c 2 ，x ≥0，y ≥0 D.????? a 1x ＋a 2y ＝c 1， b 1 x ＋b 2 y ＝c 2 ， x ≥0， y ≥0 2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( ) A.14 B.35 C ．4 D.53 3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对
简单的线性规划问题附答案
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ， 当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，
可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
6.2 简单的线性规划(课时测试)-2017届高三数学(文)一轮复习(解析版)
高三一轮复习 6.2 简单的线性规划（检测教师版） 时间:50分钟 总分：70分 班级： 姓名： 一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分） 1．在坐标平面上，不等式组1 31 y x y x ≥-??? ≤-+??所表示的平面区域内整数点个数为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．4 【答案】D 【解析】整数点为(1,2),(0,1),(0,0),(0,1)---． 2．【大兴区2016届高三第二学期期中】已知变量 x y ,满足约束条件230, 330,10,x y x y y -+≥?? -+≤??-≤? 若目标函数z y ax =- 仅． 在点(3,0)-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 A ．(3,5) B ．1 (,)2 +∞ C ．(1,2) - D ．1(,1)3 【答案】B 【解析】如图：只需使12 AC a k >= ． 3．不等式组???? ?y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为 ( ) A ．1 B.1 2 C.13 D.14 【答案】D 【解析】作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由?????y ＝－x ＋2，y ＝x －1， 得y D ＝1 2， 所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝1 4 .
4． (北京市海淀区2016届高三第一学期期末数学)若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥?? +-≤??≥? 则2||z y x =-的最大值为 ( ) A.8- B.4- C.1 D.2 【答案】D 【解析】作可行域： A(-2，0)，B(4，0)，C(1，3)，D （0，2） 由图知：目标函数过点D 时，目标函数值最大，为 5． (北京市丰台区2016届高三第一学期期中)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为不等式组???? ?y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0所 表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为 ( ) A ．2 B.1 C.1 2 D.13 【答案】B 【解析】 作出可行域如图所示，
《简单的线性规划》知识点及题型归总
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、考点、热点回顾 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． (2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称意义 约束条件由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数关于x，y的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3．重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线． (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证． 知识拓展 1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 (1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； (2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 二、典型例题 例1、（1）分别画出不等式x+2y-4＞0和y≥x+3所表示的平面区域；
简单的线性规划、曲线和方程
高考能力测试步步高数学基础训练24 基础训练24 简单的线性规划、曲线和方程 ●训练指要 会画二元一次不等式表示的平面区域，理解曲线与方程的含义.并会应用曲线与方程的关系解题. 一、选择题 1. 不等式x -2y +6＞0表示的平面区域在直线x -2y +6=0的 A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 2.方程x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0的图象是 A.y 轴或圆 B.两点(0，1)与(0，－1) C.y 轴或直线y ＝±1 D.非上述答案 3.在直角坐标系内，满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是 二、填空题 4.直线3x +y -3=0上位于x 轴下方的一点P 到直线x -y -1=0的距离为32，则P 点坐标是_________. 5.不等式组?? ???<-+>++>--0620440223y x y x y x 的整数解共有_________组. 三、解答题 6.画出方程2|x -3|+y -6=0所表示的图形，如果它与x 轴围成封闭的图形，求出它的面积. 7.在由三条直线x -y +2=0,x +y -4=0,x +2y +1=0围成的三角形内求一点，使其到三直线的距离相等. 8.判断方程y 2(y 2-1)=x 2(x 2-1)所表示的曲线C ，并回答下列问题： (1)若点M (m ,2)与N (2 3，n )在曲线C 上，求m 、n 的值. (2)若直线x =a 与曲线C 有四个不同的交点，求实数a 的取值范围. 高考能力测试步步高数学基础训练24答案
一、1.B 2.B 3.B 二、4.(2 9,25 -) 5.6 三、6.图略，封闭图形面积是18. 7.(1，3 23108-) 提示：设三角形内一点P (x ,y )到三直线的距离相等，则 5|12|2|4|2 | 2|++=-+=+-y x y x y x .利用P 在直线上方或下方去绝对值后即可求得P (1,3 23108-). 8.(1)m =±;2 321 ,2±=±=n n 或 (2)a ∈(－1,－22)∪(－22,0)∪(0, 22)∪(2 2，1). 提示：(1)略 (2)已知方程化为(x +y )(x －y )(x 2+y 2－1)=0，它表示两相交直线和一个圆，数形结合可 求得a 的取值范围.
二元一次方程简单的线性规划要点
§3.3.1二元一次不等式（组）与 平面区域（1） 1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力. 一、课前准备 复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________ 复习2：解下列不等式： （1）210x -+>； （2）22320 41590 x x x x ?+-≥??-+>?? . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，30 40x x +>??-
并思考： 当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？ 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<. 因此，在平面直角坐标系中，不等式6x y -<表示直线x-y=6左上 方的平面区域；如图: 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图: 直线叫做这两个区域的边界 结论： 1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号. ※ 典型例题 例1画出不等式44x y +<表示的平面区域. 分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出． 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点. 变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域. 例2用平面区域表示不等式组312 2y x x y <-+??
2020年高考数学课时53简单的线性规划单元滚动精准测试卷文
课时53简单的线性规划 模拟训练（分值：60分 建议用 时：30分钟） 1. （2020 ?浙江衢州质量检测,5分）不等式（x — 2y + 1）（ x + y — 3） < 0在坐标平面内表示 【答案】C 【解析】S+F — 3UQ fjr- 1WQ 』 应十厂3 wo i 卄尹fa 结合图形可知选： 2. （ 2020 ?北京崇文一模,5分）6. （2020年山东潍坊一模）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每 吨甲产品要用 A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1吨、B 原料3吨?销售每吨甲产品可 获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润 3万元，该 企业在某个生产周期内甲 产品至少生产1吨，乙产品 至少生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最 大利润时甲产品的产量应是 （ ） A. 1吨 B . 2吨 11 C. 3吨 D.—吨 3 【答案】A 【解析】设该企业在这个生产周期内生产 x 吨甲产品，生产 y 吨乙产品，x 、y 满足的条件为 3x + y w 13, 2x + 3y w 18, x > 1, 所获得的利润z = x + 3y ,作出如图所示的可行域: 16 A （1 , 3）时所获利润最大，此时甲产品的产 作直线I 。： x + 3y = 0,平移直线I 。，显然，当直线经过点 的区域（用阴影部分表示
量为1吨.
x —y+ 5>0 3. (2020 ?宁波二模,5分)不等式组y > a 0W x<3 表示的平面区域是一个二角形，则a的范围是 A. a<5 C. 5w a v 8 B . a>8 D . a v 5 或a>8 【答案】C 阖斤】如朋示的交助（心 的交点为〔3￡儿衣& x —K 0, 4. ( 2020 ?金华模拟,5分)2.已知点P(x, y)满足2x+ 3y —5<0, 4x+ 3y —1 > 0, 2 点Qx, y)在圆(x + 2) + （y+ 2）2= 1上，则| PQ的最大值与最小值为（） A. 6,3 C. 5,3 【答案】B 【解析】可行域如图阴影部分，设|PQ = d,则由图中圆心q —2, —2）到直线4x + 3y— 1 = 0的距离最小，则到点A距离最大. 2x+ 3y —5= 0, 由4x+ 3y —1= 0,得风—2'3). 二d max= | CA + 1 = 5+ 1 = 6 ,
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题 【知识概述】 线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题. 解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点 1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题； 2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节 （1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）； （2）求目标函数的最值. （3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型： ①0 b>时，截距最大（小），z的值最大（小）； ②0 b>时，截距最大（小），z的值最小（大）； 【学前诊断】 1.[难度] 易 满足线性约束条件 23, 23, 0, x y x y x y +≤ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? 的目标函数z x y =+的最大值是（） A.1 B.3 2 C.2 D.3 2.[难度] 易 设变量,x y满足约束条件 0, 0, 220, x x y x y ≥ ? ? -≥ ? ?--≤ ? 则32 z x y =-的最大值为( ) A.0 B.2 C.4 D.6
3. [难度] 中 设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥??≤??+≤? 下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取 值范围为（ ） A ．(1,1 B ．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【经典例题】 例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为( ) A.5 B.4 C.1 D.8 例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥??--≤??≥≥? ，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小 值为8，则a b +的最小值为____________. 例4. 在约束条件下0,0,,24, x y x y s x y ≥??≥??+≤??+≤?当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )
简单的线性规划测试
简单的线性规划测试 (时间：100分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )
人教版高中数学【必修五】[知识点整理及重点题型梳理]_简单的线性规划问题_提高
人教版高中数学必修五 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】 简单的线性规划问题 【学习目标】 1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念； 2. 掌握线性规划问题的图解法. 3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力. 【要点梳理】 要点一：线性规划的有关概念： 线性约束条件： 如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． 线性目标函数： 关于x 、y 的一次式(,)z f x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． 线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解、可行域和最优解： 在线性规划问题中， ①满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解； ②由所有可行解组成的集合叫做可行域； ③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题. 要点二:线性规划的应用 1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清. 2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.