内蒙古呼和浩特铁路局包头职工子弟第五中学2018届高三第一次月考数学(文)试题Word版含答案

2017-2018学年高三（上）第一次月考数学试卷文

总分：150分时长：120分钟

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）

A.{}

B.{2}

C.{1}

D.?

2.已知集合A={y|y=log3x，x＞1}，B={y|y=，x＞1}，则A∩B=（）

A. B.{y|0＜y＜1} C. D.?

3.已知cosx=，则cos2x=（）

A.-

B.

C.-

D.

4.将函数y=sin2x的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得函数的图象，则φ的值为（）

A. B. C. D.

5.设x∈R，则“x2+x-2＞0”是“1＜x＜3”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.下列说法正确的是（）

A.命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”

B.“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件

C.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件

D.命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题

7.设则（）

A. B. C. D.

8.设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）

A.f（x）是偶函数

B.f（x）最小正周期为π

C.f（x）图象关于点（-，0）对称

D.f（x）在区间[，]上是增函数

9.已知命题p1：?x∈R，使得x2+x+1＜0；p2：?x∈[1，2]，使得x2-1≥0．以下命题是真命题的为（）

A.?p1∧?p2

B.p1∨?p2

C.?p1∧p2

D.p1∧p2

10.若f（x）是偶函数且在（0，+∞）上减函数，又f（-3）=1，则不等式f（x）＜1的解集为（）

A.{x|x＞3或-3＜x＜0}

B.{x|x＜-3或0＜x＜3}

C.{x|x＜-3或x＞3}

D.{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}

11.设是定义在R上的周期为的函数，当x∈[－2，1)时，

，则＝

A.0

B.1

C.

D.

12.如图所示为函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，

0≤φ≤π）的部分图象，那么f（-3）=（）

A.-

B.0

C.-1

D.1

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cos B= ______ ．

14.由命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞），则实数a＝．

15.函数f（x）=cos2x+sinx+1的最小值为______ ，最大值为______ ．

16.已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f （2），且f（-1）=2，则f（2013）等于______ ．

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在△ABC中，∠A=60°，c=a．

（1）求sin C的值；

（2）若a=7，求△ABC的面积．

18.已知函数f（x）=2ax2+4x-3-a，a∈R．

（1）当a=1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值；

（2）如果函数f（x）在R上有两个不同的零点，求a的取值范围．

19.已知函数f（x）=ax2-（1）=1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在（1，2）处的切线方程．

20.已知函数f（x）=sin2x-cos2x-2sinxcosx（x∈R）．

（Ⅰ）求f（）的值．

（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

21. 已知函数f(x)=lnx+a(1-x).

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.

22.已知定义域为R的函数是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t）＋f(2t2－k）<0恒成立，求k 的取值范围．

文数答案和解析

【答案】

1.C

2.A

3.D

4.B

5.B

6.B

7.C

8.D

9.C 10.C 11.D 12.B 13. 14.115.-1；16.217.解：（1）∠A=60°，c=a，

由正弦定理可得sin C=sin A=×=，

（2）a=7，则c=3，

∴C＜A，

由（1）可得cos C=，

∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=×+×=，

∴S△ABC=acsin B=×7×3×=6．

18.解：（1）当a=1时，f（x）=2x2+4x-4=2（x+1）2-6．

因为x∈[-1，1]时，函数为增函数，

所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=2．

（2）∵如果函数f（x）在R上有两个不同的零点，

∴，即

∴a＜-2或-1＜a＜0或a＞0，

∴a的取值范围是（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，+∞）．

19.（本题满分12分）

解：（1），依题意有①，②

由①②解有

所以f（x）的解析式是

（2）f（x）在（1，2）处的切线的斜率k=f′（1）=1，所以有y-2=x-1，即x-y+1=0故所求切线的方程为x-y+1=0．

20.解：∵函数f（x）=sin2x-cos2x-2sinxcosx=-sin2x-cos2x=2sin（2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，

（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，

即f（x）的最小正周期为π，

由2x+∈[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：

x∈[-+kπ，-+kπ]，k∈Z，

故f（x）的单调递增区间为[-+kπ，-+kπ]，k∈Z．

21. (Ⅰ)见解析；(Ⅱ)(0,1).

22.（1）a＝2，b＝1.（2）

【解析】

1. 解：当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，

∴B={1，4，}，

∴A∩B={1}．

故选：C．

将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的交集即可．

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2. 解：因为y=log3x在定义域上是增函数，且x＞1，

所以y＞0，则集合A={y|y＞0}，

因为y=在定义域上是增函数，且x＞1，

所以0＜y＜，则集合B={y|0＜y＜}，

则A∩B={y|0＜y＜}，

故选：A．

根据对数函数、指数函数的单调性分别求出集合A、B，再由交集的运算求出A∩B．

本题考查交集及其运算，以及对数函数、指数函数的单调性，属于基础题．

3. 解：∵cosx=，则cos2x=2×-1=．

故选：D．

利用倍角公式即可得出．

本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4. 解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（0≤φ＜π）个单位后，得函数y=sin2（x+φ）=sin （2x+2φ）的图象，

而已知得到的是函数=sin（2x+）的图象．

结合0≤φ＜π可得2φ=，解得φ=，

故选：B．

根据y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，变换后得到的是函数y=sin（2x+2φ）的图象，而已

知得到的是函数的图象，可得2φ=，由此求得φ的值．

本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5. 解：解不等式x2+x-2＞0得：x＞1或x＜-2，

∴x＞1或x＜-2是1＜x＜3的必要不充分条件，

故选：B．

先求出不等式的解集，再根据充分必要条件的定义判断即可．

本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题

6. 解：A、根据命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”是特称命题，其否定为全称命题，可得否定是：“?x∈R，x2+2x+3≥0”，故不正确；

B、根据对数函数的单调性，可知正确；

C、“p∧q为真命题”，则p，q均为真，“p∨q为真命题”，则p，q至少一个为真，故“p∧q 为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故不正确；

D、原命题为真，则￢p是假命题．

故选：B

对四个选项，进行判断，即可得出结论．

本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，涉及知识点．

7. 本题考查利用指对数运算比较大小因为，所以a

函数综合

8. 解：A．由于f（-x）=|sin（-2x+）|=|sin（2x-）|≠f（x），故A错；

B．由于f（x+）=|sin[2（x）+]|=|sin（2x++π）|=|sin（2x+）|=f（x），

故f（x）最小正周期为，故B错；

C．函数f（x）=|sin（2x+）|的图象

可看作由函数f（x）=|sin2x|的图象平移可得，

而函数f（x）=|sin2x|的图象无对称中心，如

图，

故C错；

D．由于函数f（x）=|sin2x|的增区间

是，k∈Z，故函数f（x）的增区间为

，k∈Z，k=1时即为[，]，故D正确．

故选D．

应用函数的奇偶性定义，结合诱导公式，即可判断A；由周期函数的定义，结合诱导公式即可判断B；根据

函数f（x）=|sin2x|的图象无对称中心，再由图象平移，即可判断C；由函数f（x）=|sin2x|的增区间，得到函数f（x）的增区间，即可判断D．

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查函数的周期性、奇偶性、单调性和对称性，属于中档题．

9. 解：由x2+x+1=恒成立可知命题p1：?x∈R，使得x2+x+1＜0为假命题，￢p1为真

p2：由?x∈[1，2]，使得x2-1≥0为真命题，￢p2为假命题

根据复合命题的真假关系可得，￢p1∧￢p2为假命题；p1∨￢p2为假命题；￢p1∧p2为真命题；p1∧p2为假命题

故选C

由x2+x+1=恒成立可知命题p1：?x∈R，使得x2+x+1＜0为假命题，￢p1为真；p2：由?x∈[1，2]，使得x2-1≥0为真命题，￢p2为假命题

根据复合命题的真假关系可判断

本题主要考察了p或q，p且q，非p等复合命题的真假判断，解题的关键是准确判断命题p，q的真假关系．

10. 解：∵f（x）是偶函数，f（-3）=1，∴f（3）=1∵f（x）＜1∴f（|x|）＜f（3）

∵f（x）在（0，+∞）上减函数，

∴|x|＞3∴x|x＜-3或x＞3∴不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜-3或x＞3}

故选C．

利用f（x）是偶函数，f（-3）=1，不等式转化为f（|x|）＜f（3），再利用函数的单调性，即可求得结论．

本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．11. 试题分析：本题考查函数的周期性和分段函数，首先由已知周期为3，即可得出：

，故选D.

考点：函数及其表示周期性和对称性

12. 解：由图象可知，A=2.T=3-（-1）=4，T=8，

则ω==，

∴函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）．

由f（-1）=2，得2sin（φ-）=2，

∴φ-=2k，k∈Z．

又0≤φ≤π，

∴φ=．

则f（x）=2sin（x+）．

∴f（-3）=2sin（-3×+）=2sin0=0．

故选：B．

由图象得到振幅A，半周期，然后求出ω，再由f（-1）=2求φ的值，则解析式可求，从而求得f（-3）的值．

本题考查了由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，解决此类问题的方法是先由图象看出振幅和周期，由周期求出ω，然后利用五点作图的某一点求φ，是中档题．

13. 解：由正弦定理可得 =，∴sin B=，再由b＜a，可得B为锐角，

∴cos B==，

故答案为：．

由正弦定理可求得sin B=，再由b＜a，可得B为锐角，cos B=，运算求得结果．

本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sin B=，以及B为锐角，是解题的关键．

14. 由题意得命题“x∈ R，x2＋2x＋m> 0” 是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞），从而实数a的值为1.

考点：命题的否定

15. 解：f（x）=cos2x+sinx+1=1-2sin2x+sinx+1=-2sin2x+sinx+2=-2（sinx-）2+；

sinx=时，f（x）max=；

当sinx=-1时，f（x）min=-1；

故答案为：-1；．

将已知解析式化为一个角的三角函数的解析式，把函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数

公式化简，配方后得到关于sinx的二次函数，由x取任意实数，得到sinx∈[-1，1]，利用二次函数的性质即可求出函数的最大值及最小值．然后还原成为关于t的二次函数求最值．

此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及二次函数在闭区间上的最值，其中利用二倍角的余弦公式把函数解析式化为关于sinx的二次函数是解本题的关键．16. 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），

∴当x=-2时，有f（2）=f（2）+2f（2），即f（2）=0，

∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，

∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1），

∵f（-1）=2，

∴f（-1）=f（1）=2，

即f（2013）=2，

故答案为：2根据条件求出f（2）的值，根据函数的周期性即可得到结论．

本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性得到函数的周期性是解决本题的关键．17.

（1）根据正弦定理即可求出答案，

（2）根据同角的三角函数的关系求出cos C，再根据两角和正弦公式求出sin B，根据面积公式计算即可．

本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题

18.

（1）当a=1时，f（x）=2x2+4x-4，分析x∈[-1，1]时的单调性，可得函数f（x）在[-1，1]上的最大值；

（2）如果函数f（x）在R上有两个不同的零点，则，解得a的取值范围．

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．

19.

（1）求出函数的导数，利用已知条件列出方程，求解即可．

（2）求出切线的斜率，然后求解切线方程．

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．

20.

利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，