导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算

知识点一：函数的平均变化率

（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。

若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。

注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；

②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数

没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限

存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。

即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。

注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在

附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。

若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。

即：。

(2)导数的几何意义：

函数在点x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。

注意：

①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。

②，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；,切线与轴平行。

(3)曲线的切线方程

如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：

。

4．瞬时速度：

物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。

如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体t到t+△t这段时间内，当△t→0时平均速度的极限，即。

如果把函数看作是物体的位移公式），导数表示运动物体在时刻的瞬时速度。

规律方法指导

1．如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出和

②作商：对所求得的差作商，即。

注意：

（1），式子中、的值可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零。若函数为常数函数时，。

（2）在式子中，与是相对应的“增量”，即在时，。

（3）在式子中，当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。

2．如何求函数在一点处的导数

（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。

①计算函数的增量：；

②求平均变化率：；

③取极限得导数：。

（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。

3．导数的几何意义

①设函数在点的导数是，则表示曲线在点（）处的切线的斜率。

②设是位移关于时间的函数，则表示物体在时刻的瞬时速度；

③设是速度关于时间的函数，则表示物体在时刻的加速度；

4．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤

①求出在处的导数；

②利用直线方程的点斜式得切线方程为。

类型一：求函数的平均变化率

1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.

思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.

举一反三：

【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。

【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001].

【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.

类型二：利用定义求导数

2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。

举一反三：

【变式1】已知函数

（1）求函数在x=4处的导数.

（2）求曲线上一点处的切线方程。

【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.

思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.

举一反三：

【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：

（1）平行于直线y=4x―5；

（2）垂直于直线2x―6y+5=0；

（3）与x轴成135°的倾斜角。

知识点三：常见基本函数的导数公式

（1）（C为常数），

（2）（n为有理数），

（3），

（4），

（5），

（6），

（7），

（8），

知识点四：函数四则运算求导法则

设，均可导

（1）和差的导数：

（2）积的导数：

（3）商的导数：（）

知识点五：复合函数的求导法则

或即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。

规律方法指导

1．求复合函数的导数的一般步骤

①适当选定中间变量，正确分解复合关系；

②分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；

③把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。

整个过程可简记为分解——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

类型一：利用公式及运算法则求导数

1、求下列函数的导数：

（1）；（2）（3）；（4）y=2x3―3x2+5x＋4

举一反三：

【变式】求下列函数的导数：

（1）；（2）（3）y=6x3―4x2+9x―6

2、求下列各函数的导函数

（1）；（2）y=x2sinx; （3）y=；（4）y=

举一反三：

【变式1】函数在处的导数等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式2】下列函数的导数

（1）；（2）

【变式3】求下列函数的导数.

（1）；（2）；（3）.

类型四：复合函数的求导

3、求下列函数导数.

（1）；（2）；（3）；（4）.

举一反三：

【变式1】求下列函数的导数：

（1）；（2）（3）y=ln（x＋）；（4）

类型五：求曲线的切线方程

4、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.