欧拉方程的求解
欧拉方程的求解
1.引言
在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.
几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位
以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.
在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.
但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.
2.几类欧拉方程的求解
定义1形状为
()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1）
的方程称为欧拉方程.（其中1a ，2a ，
，1n a -，n a 为常数）
2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）
二阶齐次欧拉方程：2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）
我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得
212()0K K K K K x a Kx a x -++=
或
212[(1)]0K K a K a x +-+=,
消去K x ，有212(1)0K a K a +-+=.（3）
定义2以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.
由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.
于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论： 定理1方程（2）的通解为
(i)1112ln K K y c x c x x =+,（12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=,(12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）
（其中1c 、2c 为任意常数）
证明（i ）若特征方程（3）有两个相等的实根:12K K =，则 1
1K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21
()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=, 约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得
22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.
由于1K 是特征方程（3）的二重根，
因此
21112(1)0K a K a +-+=
或
112(1)0K a +-=,
于是，得
20x u ux '''+=
或
0xu u '''+=,
即()0xu ''=,
故12()ln u x c x c =+.
不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解
12ln K y x x =,
所以，方程（2）的通解为
1112ln K K y c x c x x =+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根:12K K ≠，则 11K x y =，2
2K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x
-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为
12
12K K x c x y c +=. （其中1c ，2c 为任意常数）
（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解， 利用欧拉公式，有
()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+， ()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,
显然，
12cos(ln )2
y y x x αβ+= 和
12sin(ln )2y y x x i
αβ-=
是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为
12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.
解该欧拉方程的特征方程为
(1)10K K K --+=，
即2(1)0K -=,
其根为：121K K ==,
所以原方程的通解为
12(ln )y c c x x =+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.
解 该欧拉方程的特征方程为
2(11)80K K +---=，
即2280K K --=,
其根为：12K =-，24K =，
所以原方程的通解为
4122c y c x x
=+. （其中1c ，2c 为任意常数）
例3求方程的通解2350x y xy y '''++=.
解该欧拉方程的特征方程为
(1)350K K K -++=，
即2250K K ++=,
其根为：1,212K i =-±,
所以原方程的通解为
121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x
=+. （其中1c ，2c 为任意常数）
2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）
二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）
（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）
为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设
1121a K K =--，212a K K =,（5）
则方程（4）变为
212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，
即
212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''',（6）
根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程
212(1)0K a K a +-+=（3）
的两个根.
具体求解方法：
定理2若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为
212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=??.（7）
证明因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，