群论的发展历史及基础知识

第一章群论的发展历史及基础知识

1.1群论的发展历史

早在古巴比伦时期，人们就能用根式求解一元二次方程的解，并随着时间的推移，可以对一些特殊的一元三次方程做出求解，但是一直无法找出一般的解法。直到十六世纪初，意大利人才解决了一元三次方程的一般解法。然后意大利人似乎不满足于一元三次方程，也是在十六世纪初，意大利人费尔拉里又求解出一元四次方程的根是由系数的函数开四次方所得。

1770年前后，法国数学家拉格朗日提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，虽然他一度认为四次以上代数方程不可能有根式解，但是其思维方法和研究根的置换方法给后人以启发，相继的，鲁菲尼和高斯在一元n次方程的一般解做出研究。

随着时间的推移，1824年到1826年期间，挪威数学家阿贝尔着手考察可用根式求解的方程具有何种共性，并且严格证明了，如果一个方程可以用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可以表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理证明了著名的阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数的求解。并且解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，这类方程后来被称为阿贝尔方程。

虽然阿贝尔解决了构造任意次数可解的问题的方法，但是却没能给出已知方程是否可以用根式求解的问题。

这时，群的发明者伽罗华继承阿贝尔的事业，然而这位英年早逝的才子只是在他死后留下的遗书中为以后的数学发展做出贡献。在他的遗书中，他提出了群的概念，用群的方法彻底解决了根式求解方程的问题，并且发展出一套关于群和域的理论。正是这套理论为此后的数学发展提供了重要的工具——群论，对近世代数的形成和发展产生了巨大的影响。

伴随着群论的发展，作为其他学科重要工具的数学，自然而然的群论成为其他学科，包括物理、化学、生物等学科，重要的研究工具，并且为这些学科的发展起到了不可磨灭的推动作用。

1.2 群论基础

群的定义：设G是一个非空集合，如果再G上定义一个代数运算，成为乘

法，记作ab（或称为加法，记作a+b），当G满足以下条件时

1.（结合律）对于G中任意元素a，b，c有

a（b c）=（a b）c；

2.（左单位元）在G存在一个元素e，它对G中任意一个元素a都有

ea = a；

3.（逆元）对于G中任意元素a，都存在一个元素b，使得

ab=e；

则G称为一个群。其中e为其单位元。

我们在证明一个集合是否为群时，都要满足这三个条件，结合律、左单位元存在性、逆元存在性。

群的一些简单性质

1.如果ab=e，则ba=e.

2.如果对多有的a∈G有ea=a，那么也有ae=a，对所有的a∈G.

3.G中有唯一的元素e具有性质ea=ae=a(对所有的a∈G).

4.对于群G中任一元素a有唯一元素b使ab=ba=e.

5.对于群G任意元素a，b，方程ax=b在G中有唯一解.

R对知道了群的定义和一些简单性质之后，我们可以得出全体非零的实数*

R对于通常的乘法；全体整数Z、全体有理数Q、于通常的乘法；全体正实数+

全体实数R、全体复数C对通常的加法都构成一个群。

除了数域外，我们也可以得出，若V是数域P上的一个线性空间，V的全体可逆线性变换也对于变换的乘法构成一个群。