河南省2010年对口升学数学试题及答案

河南省2010年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试

数学试题卷

一、选择题（每小题2分，共20分。每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上）

1．设集合2{|22,A y y x x x ==++∈R }，集合{|(2)(3)0}B y y y =-+≤，则集合A B 等于（ ）

A ．[1,2]

B ．[3,1]-

C ．[3,)-+∞

D ．[2,)+∞

2．设A 、B 是集合，“A B ?”是“A B B = ”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．函数2

lg(56)y x x =-++的定义域是（ ）

A ．(,6)(1+-∞-∞ ，）

B ．(,1)(6+-∞-∞ ，）

C ．(6,1)-

D ．(1,6)-

4．等差数列{}n a 的通项公式是32n a n =-+，则公差d 是（ ）

A ．4-

B ．3-

C ． 3

D ．4

5．已知1

sin 3

α=且tan 0α<，则cot α的值是（ ）

A

．-

B

．4

-

C

．4

D

．6．垂直于平面α的两条不重合直线一定（ ）

A ．平行

B ．垂直

C ．相交

D ．异面

7．向量(1,2)a -

与向量(,2)b m 垂直，则m 的值是（ ）

A ．4-

B ．1-

C ．1

D ．4

8．方程为324kx y k -=+的曲线经过点(2,1)P -，则k 的值是（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

9．将6人分成甲、乙、丙三组，一组1人，一组2人，一组3人，共有分法（ ）

A ．240种

B ．300种

C ．360种

D ．420种

10．同时掷两枚均匀骰子，出现数字和大于10的概率是（ ）

A ．

1

6

B ．

112

C ．

118

D ．

124

二、判断题（每小题1分，共10分。在答题卡的括号内正确的打“√”，错误的打“×”）

11．集合2{10}x -=有4个子集. （ ） 12．若A 是B 的必要条件，则B 是A 的充分条件. （ ） 13．函数1lg

1x

y x

-=+是奇函数. （ ） 14

．函数cos y x x =-的最小正周期是2π. （ ）

15．若

sin 0tan α

α

>，则α是第一象限角. （ ） 16．若等差数列{}n a 的公差是0，则{}n a 一定也是等比数列. （ ） 17．若双曲线的两条渐近线确定，则双曲线唯一确定. （ ） 18．过直线外一点有无数条直线与该直线平行. （ ） 19．若||1a = ，则a

是单位向量. （ ） 20．椭圆的焦点越接近对称中心，椭圆就越接近于圆. （ ）

三、填空题（每小题2分，共20分)

21．若集合2

{|(2)10,x x m x m +++=∈R }{|0}x x >=? ，则m 的取值范围是_____.

22．设2

(sin )tan f x x =，则()f x =_____.

23

．设sin 5

α=则44sin cos αα-的值是_____.

24．函数()lg(lg 2)f x x =-的定义域是_____. 25．函数35,[0,1]y x x =+∈的反函数是_____. 26．函数2341y x x =--+的单调递减区间是_____. 27．数列11111

,,,,,23456

-

-- 的一个通项公式是_____. 28．抛物线230x y -=的焦点坐标是_____.

29

．向量|||3,a b a == 与b

的夹角是4

π，则a b ?= ____.

30

．n

的二项式系数的和是256，则展开式中的常数项是_____（用数字作答）. 四、计算题（每小题6分，共18分）

31．设函数()f x 在(,)-∞+∞上有定义，且对任何,x y 有

()()()f x y f x f y x y ?=?--，求()f x .

32．求点(4,5)A 关于直线3y x =+的对称点的坐标.

33．甲袋中有大小相同的3个白球和4个红球，乙袋中有大小相同的4个白球和4个红球，现从两个袋中各取出2个球，求4个球都是红球的概率.

五、证明题（每小题6分，共12分）

34．菱形ABCD 在平面α上，PA α⊥， 求证：PC BD ⊥.

35．求证：函数sin tan cos cot x x

y x x

+=+在定义域内恒大于零.

六、综合题（每小题10分，共20分）

36．已知1a ≥，n a 是()n

a x +展开式中x 的系数(n ∈N *).

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设123=++++ n n S a a a a ，求n S .

37．在ABC ?中， 用,,a b c 表示,,A B C ∠∠∠所对的边，已知2

2

2

b c a bc +=+. （1）求A ∠；

（2）求证：若3

sin sin 4

B C =，则ABC ?是等边三角形.

34题图

河南省2010年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题2分，共20分）

1．A

2．C 3．D 4．B 5． A 6．A 7．D 8．B 9．C 10．B 二、判断题（每小题1分，共10分）

11．× 12．√

13．√ 14．√ 15．× 16．×

17．× 18．× 19．√

20．√

三、填空题（每小题2分, 共20分)

21．(4,)-+∞

22．2

2

1x x

- 23．35

-

24.(100,)+∞

25．5

,[5,8]3

x y x -=

∈

26．2

[,)3

-

+∞

27．(1)1

n

n a n -=+

28．3(,0)4

29．12

30．70

说明：区间可以用集合表述. 四、计算题（每小题6分，共18分）

31．解：由已知，令0y =，得:(0)(0)()f f f x x =-.

……（1分）

令0x y ==得2

(0)(0)(0)0f f f =?=或(0)1f =,

若(0)0f =则得0x -=与题意不合，所以(0)1f =. ……（4分）

于是()1f x x =+,检验有()()()f xy f x f y x y =--. 所以()1f x x =+即为所求.

………………（6分）

32．解:设点B 是点(4,5)A 关于直线3y x =+的对称点,

则3y x =+是线段AB 的垂直平分线, …………………………（1分）

易得直线AB 的方程9y x =-+.

…………………………（2分）

9y x =-+与3y x =+的交点是(3,6),

……………………（5分）

由中点公式

45

3,622

x y ++==，得B 点的坐标(2,7).

……（6分）

33．解：用,A B 表示“从甲袋中取出的两个球都是红球”和“从乙袋中取出的两

个球都是红球”两个事件.

……………………………………（2分）

24272()7C P A C ==，24283

()14

C P B C ==.

……………………（4分）

,A B 是相互独立事件，所以所求概率是

3

()()()49

P A B P A P B ?=?=. ………………………………（6分）

五、证明题（每小题6分，共12分）

34．证明：如图，连接AC . ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥.

…（2分）

PA α⊥，所以BD PA ⊥, BD ∴⊥平面PAC .

…………………………………………（5分）

又因为PC 在平面PAC 上， 所以PC BD ⊥.

……………………………………………………（6分）

35．证明：要使函数有意义，则,2

k x k π

≠

∈Z . 所以2

2

sin 0,cos 0,1sin 0,1cos 0x x x x >>+>+>.

……（3分）

y =sin sin cos cos cos sin x

x x x x x

+

+

22sin (cos 1)0cos (sin 1)x x x x +=>+.

………………（6分）

说明：34题可以不画图. 六、综合题（每小题10分, 共20分）

34题图

36．解：（1）由二项式定理得1r n r r

r n T C a x -+=,

……………………（2分）

令1r =得1,n n a na n -=∈N *. ………………………………（3分） （2）若1a =，则(1)

,2

n n n n a n S +==

.

…………………………（5分）

若1a >，则21123n n S a a na -=++++ ,

………………（6分）

2323n n aS a a a na =++++ .

两式相减得1(1)1n

n n a a S na a

--=

--.

……………………（9分）

21(1)1n n

n a na S a a

-∴=-

--. ……………………………………（10分）

37．解：（1）由余弦定理得：

222221

cos 222

b c a a bc a A bc bc +-+-===，

……………………（2分）

所以3

A π

∠=

. ………………………………………………（4分）

（2）由（1）得2

3

B C π∠+∠=

, …………………………（5分）

2

sin sin sin sin()3

B C B B π=-

21

2sin 2

B B =

+ …………………………（7分）

2112(12sin )44B B =

--+

112cos244B B =-+ 113sin(2)2644

B π=

-+=.

……………………（9分）

sin(2)126

6

2

3

B B B π

π

π

π

∴-

=?-

=

?=

.

于是3

A B C π

∠=∠=∠=

，所以ABC ?是等边三角形. ……（10分）