四川省乐山市高2020届高2017级高三第三次调查研究考试文科数学试题及参考答案解析

乐山市高中2020届第三次调查研究考试

文科数学

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}1,0,1,2M =-,{}1,2,3N =,则M N ?=( ). A.{}1,2 B.{}1,0,1,2,3-

C.{}2,0,1,2,3-

D.

1,0,1,2

【参考答案】B 【试题解析】

直接利用并集运算法则计算可得到答案. 【详细解答】由题得{}1,0,1,2,3M N ?=-, 故选:B .

本题考查了并集运算,属于基础题.

2.已知复数z 1,z 2在复平面内对应的点分别为(2,－1),(0,－1),则1

2

z z ＝

A.1＋2i

B.1－2i

C.－2＋i

D.－2－i

【参考答案】A 【试题解析】

分析:由点的坐标写出对应复数,再由复数除法法则计算． 【详细解答】:由题意12z i =-,2z i =-,∴122(2)12z i i i i z i

-==-=+-． 故选A ．

点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分. 3.已知函数()f x 是奇函数,且0x >时,()2

π1sin 2

f x x x =+,则()2f -=( ). A.2

B.2-

C.3

D.3-

【参考答案】D 【试题解析】

根据奇函数的性质()()f x f x -=-计算可得；

【详细解答】解:因为()f x 是奇函数,所以()

()π122sin 4322f f ??

-=-=-+?=-????

, 故选:D.

本题考查奇函数

的性质的应用,属于基础题.

4.已知a =34

4log 21b =, 2.9

13c ??= ???

,则a 、b 、c 的

大小关系是( ). A.a b c >> B.a c b >>

C.b c a >>

D.c a b >>

【参考答案】B 【试题解析】

根据指数函数、对数函数的性质分别求出a 、b 、c 的范围,即可比较大小； 【详细解答】解:由题得14

661a =

=>=,3

34

4

4

log log 10

21

b =<=

,

2.9

110133c ??

??

<=<= ?

?

??

??

,故有a

c b >>, 故选:B.

本题考查对数函数、指数函数的性质的应用,属于基础题.

5.已知向量a 与向量()4,6m =平行,()5,1b =-,且14a b ?=,则a =( ) A.()4,6

B.()4,6--

C.1313?? ? ???

D.,1313??

-- ? ???

【参考答案】B 【试题解析】

设(),a x y =,根据题意得出关于x 、y 的方程组,解出这两个未知数的值,即可得出向量a 的坐标. 【详细解答】设(),a x y =,且()4,6m =,()5,1b =-, 由//a m 得64x y =,即32x y =,①,由514a b x y ?=-+=,②,

所以32514x y x y =??-+=?,解得46x y =-??=-?

,因此,()4,6a =--.

故选:B.

本题考查向量坐标的求解,涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中等题.

6.支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式,某市通过随机询问100名居民(男女居民各50名)喜欢支付宝支付还是微信支付,得到如下的22?列联表:

附表及公式:()()()()()

2

2

n ad cb K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++

()2P K k >

0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

则下列结论正确的是( ).

A.在犯错的概率不超过001的前提下,认为“支付方式与性别有关”

B.在犯错的概率超过001的前提下,认为“支付方式与性别有关”

C.有0099.9以上的把握认为“支付方式与性别有关”

D.有0099.9以上的把握认为“支付方式与性别无关” 【参考答案】C 【试题解析】

本题首先可以根据题意得出40a =、10b =、25c =以及25d =,然后将其带入

()

()()()()

2

2

n ad cb K a b c d a c b d -=++++中,最后通过计算并与表中数据进行对比即可得出结果.

【详细解答】由22?列联表得到40a =,10b =,25c =,25d =,

代入()()()()()

2

2

n ad cb K a b c d a c b d -=++++,

解得()2

210010002509.8950506535

K ?-=≈???, 因为6.6359.8910.828<<,

所以有0099.9以上的把握认为“支付方式与性别有关”, 故选:C.

本题主要考查独立性检验的应用,能否明确a 、b 、c 、d 所对应的数字是解决本题的关键,考查计算能力,是简单题.

7.秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入2x =,2n =,依次输入a 为1,2,4,则输出的S 的值为( ).

A.4

B.10

C.11

D.12

【参考答案】D 【试题解析】

模拟程序运行,观察变量值的变化,判断循环条件后可得结论．

【详细解答】输入1a =时,0211s =?+=,011k =+=,此时12k =>不成立；

输入2a =时,1224s =?+=,112k =+=,此时22k =>不成立； 输入4a =时,42412s =?+=,213k =+=,此时32k =>成立； 输出的S 的值为12, 故选:D.

本题考查程序框图,考查循环结构,解题时可模拟程序运行,观察程序中变量值的变化,得出结论．

8.函数32sin ()x

x x

g x e

-=的图象大致为( ) A. B.

C. D.

【参考答案】B 【试题解析】

确定函数的奇偶性排除,再求一些特殊的函数值,根据其正负排除一些选项．

【详细解答】由32sin ()()x

x x

f x f x e

-+-==-,知()f x 为奇函数,排除D ；12sin1(1)0f e -=<,排除C ；32

273

2sin

38202f e -??=> ???

,排除A ． 故选:B

本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质,特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．

9.如图,在三棱锥A BCD -中,90ABC ABD CBD ∠=∠=∠=?,1AB BC BD ===,则其外接球的体积为( ).

A.3π

B.

2π2

C.

3π2

D.

π2

【参考答案】C 【试题解析】

由已知可得三棱锥A BCD -在正方体中,借助正方体的体对角线即为外接球的直径即可求得结果. 【详细解答】将三棱锥A BCD -放入棱长为1的正方体中, 则其外接球即为正方体的外接球,球半径为3R =

, 所以外接球的体积为343π3V R ==. 故选:C.

本题主要考查几何体的结构特征以及外接球问题,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于基础题. 10.数列{}n a 中,已知对任意*n ∈N ,1231n n a a a ++

+=-,则22

2

12

n a a a +++=( )

A.91

2

n -

B.912n +

C.922n -

D.922

n +

【参考答案】A 【试题解析】

利用数列的前n 项和与通项的关系求解可得123n n a -=?,进而得到{}

2

n a 为等比数列,首项2

14a =,公比为

29q =,再利用等比数列的求和公式求解即可.

【详细解答】1231n n a a a +++=- ①

当2n ,112131n n a a a --++

+=- ②

①-②得(

)(

)1

1313

123(2)n

n n n a n --=---=?,又11312a =-=符合123n n a -=?.

{}n a ∴为等比数列,首项12a =,公比为3q =,

{}2

n a ∴为等比数列,首项214a =,公比为29q =,

故()2

221

2

4199119

2

n n n

a a a --++

+=

=

-. 故选:A

本题主要考查了数列的前n 项和与通项的关系以及等比数列的求和公式,属于中档题.

11.已知点P 是双曲线()222:10x C y a a -=>上的动点,点M 为圆22

:1O

x y +=上的动点,且

0OM PM ?=,

若PM

则双曲线C 的离心率为( ).

【参考答案】C 【试题解析】

由OM PM ⊥,由此得出2

2

2

OM PM

OP +=,由于OM 为定值,则PM 取最小值时,则OP 取最小

值,根据双曲线的性质得出点P 在为双曲线的顶点时,OP 取最小值a ,再由勾股定理以及离心率公式求解即可.

【详细解答】因为0OM PM ?=,所以OM PM ⊥,即2

2

2

OM PM OP +=,且1OM =

若PM 取最小值,

则OP 取最小值

由双曲线的性质可知,当点P 在为双曲线的顶点时,OP 取最小值a

此时2

221a

+

=,此时2a =,c =所以2

e = 故选:C

本题主要考查了求双曲线的离心率,涉及了向量数量积公式的应用,属于中档题. 12.已知点,024A π??

???

在函数()cos(2)f x x ω?=+(0>ω,且*ω∈N ,0?π<<)的图像上,直线6x π=

是函数()f x 的图像的一条对称轴．若()f x 在区间,63ππ??

???

内单调,则?=( )

A.

6

π B.

3

π C.

23

π D.

56

π 【参考答案】B 【试题解析】

根据点,024A π??

???

和6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴,可得62484T πππ-=≥,则有2ω,再根据()f x 在区间,63ππ??

???内单调,可得362

T

ππ-

,则有3ω,从而23ω,又*ω∈N ,所以2ω=或3,然后根据0?π<<讨论求解.

【详细解答】由题意知,

6

24

8

4T π

π

π

-

=

≥

,即12428

ππω?,解得2ω, 又因为()f x 在区间,63ππ??

???

内单调,所以362

T

ππ-

, 即

12226

ππ

ω?,解得3ω． 所以2

3ω,又*ω∈N ,所以2ω=或3

当2ω=时,cos 4024π

???

?

+= ??

?

得,()3k k π?π=+∈Z , 又0?π<<,所以3

π

?=,此时,直线6

x π

=

是函数()f x 的图象的一条对称轴．且()f x 在区间,63ππ??

???

内单调,所以,3

π

?=

．

当3ω=时,cos 6024π

???

?

+= ??

?

得,,()4k k π?π=+∈Z ,

又0?π<<,所以4

π

?=

,此时,cos 616

42

π

π?

?

?

+

=-≠± ??

?,所以直线6x π=不是函数()f x 的图象的一条对称轴．所以2ω=,3

π

?=.

故选:B ．

本题主要考查三角函数的图象和性质,还考查了分类讨论思想和运算求解的能力,属于中档题. 二、填空题:

13.已知函数()3

21f x x x =+-,则函数()f x 在()()

1,1f 处的切线方程为______.

【参考答案】530x y --= 【试题解析】

首先求导()2

32'=+f x x ,得到斜率()15k f '==,根据()12f =得到切点坐标,再利用点斜式即可写出

切线方程.

【详细解答】因为()3

21f x x x =+-,()2

32'=+f x x ,

则()15k f '==,

又因为()11212f =+-=,所以切点为()1,2 故切线方程为()251y x -=-,即530x y --=. 故答案为:530x y --=

本题主要考查导数的几何意义中的切线问题,属于简单题.

14.小王老师2018年的家庭总收入为8万元,各种用途占比统计如图①所示,2019年收入的各种用途占比统计如图②所示.已知2019年的就医费用比2018年增加0.7万元,则小王2019年的家庭总收入为______.

【参考答案】10万元 【试题解析】

由已知,根据2018年小王的就医费用的比例可得出小王2018年的就医费用,从而可得出2019年小王的就医费用,继而得出小王2019年生的家庭总收入.

【详细解答】由已知得,2018年小王的就医费用为810?％0.8=万元, 则2019年小王的就医费用为0.80.7 1.5+=(万元),

所以小王2019年生的家庭总收入为1.5

1015%

=(万元). 故答案为:10万元.

本题考查统计图的识别和应用,关键在于能根据统计图得出所反映的信息,属于基础题.

15.已知椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ,A 、B 分别为C 的右顶点和上顶点,直线FB 与直

线x a =的交点为M ,若2BM FB =,且AFM △,则椭圆的标准方程为______.

【参考答案】22143

x y +=

【试题解析】

依题意可得2BM FB =,且//OB AM (O 为坐标原点),所以

1

3

OF OB AF AM ==,从而得到

2a c =,3AM b =,b =,再根据AFM △的面积计算可得；

【详细解答】解:由2BM FB =,且//OB AM (O 为坐标原点),

得1

3

OF OB AF AM ==,所以2a c =,3AM b =,b =,

又因为()1322

AFM S a c b =

+?=

△,解得1c =,

所以2a =,b =故椭圆的标准方程为22

143x y +=.

故答案为:22

143

x y +=

本题考查求椭圆的标准方程,数形结合思想,属于基础题.

16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()21n n n a S a -=.有以下结论:

①数列{}

2

n S 是等差数列；②2n a n <11n n a a +<.

其中所有正确命题的序号是______. 【参考答案】①②③ 【试题解析】

由条件求得22

11n n S S --=,可判断①,由①得n a ,可判断②；由n a 判断③,可得答案．

【详细解答】对于①,由条件知,当2n ≥时,1n n n a S S -=-,所以对任意正整数n ,有

()()22

1111n n n n n n S S S S S S ---=-+=-,

又1n =时,求得2

11S =,所以{}

2

n S 是等差数列,故①正确； 对于②,由①可得,2

n S n =,所以=n S n 或n ,

所以,当n S n 时,112n n n a S S n n n -=-=-< 当n S n =-,1102n n n a S S n n n -=--<故②正确；

对于③仅需考虑n a ,1n a +同号的情况即可,可设n a ,1n a +均为正,(否则将数列各项同时变为相反数,仍满足条件),

由②得=n S ,1n S +=,

此时=n a 1n a +=,

从而1n n a a +=

<

1<

=,故③正确；

综上,正确的序号①②③. 故答案为:①②③.

本题考查数列递推式,不等式的证明,属于难度题．

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据需求作答. (一)必考题

17.在ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-. (1)求角B 的值；

(2)若7a c +=,b =求ABC 的面积.

【参考答案】(1)π

3

B =(2)【试题解析】

(1)由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-,利用平方关系得到222sin sin sin sin sin B C A A C -=-,再由正弦定理将角转化为边,得到222a c b ac +-=,然后利用余弦定理求得角B .

(2)结合(1)及7a c +=,b =由余弦定理求得ac ,再由1

sin 2

ABC S ac B =求解. 【详细解答】(1)因为222cos cos sin sin sin C B A A C -=-, 所以222sin sin sin sin sin B C A A C -=-,

由正弦定理得222b c a ac -=-,即222a c b ac +-=,

所以2221

cos 22

a c

b B a

c +-==,

因为0πB <<, 所以π3

B =

.

(2)由(1)得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-, 即2213a c ac +-=,

所以()2

313a c ac +-=,即12ac =, 所以113sin 1233222

ABC S ac B =

=??=. 本题主要考查平方关系,正弦定理和余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.

18.为了治理空气污染,某市设9个监测站用于监测空气质量指数()AQI ,其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站,并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量.

(1)若某日播报的AQI 为119,已知轻度污染区AQI 平均值为70,中度污染区AQI 平均值为115,求重试污染区AQI 平均值；

(2)如图是2018年11月份30天的AQI 的频率分布直方图,11月份仅有1天AQI 在[)140150

,内.

①某校参照官方公布的AQI ,如果周日AQI 小于150就组织学生参加户外活动,以统计数据中的频率为概率,求该校学生周日能参加户外活动的概率；

②环卫部门从11月份AQI 不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究,求抽取的这两天中AQI 值都在

[)170,200的概率.

【参考答案】(1)157；(2)①815；②10

21

. 【试题解析】

(1)设重度污染区AQI 平均值为x ,根据题意可得出关于x 的方程,进而可求得x 的值；

(2)①计算出11月份30天中AQI 不小于150的天数,进而可求得该校学生周日能参加户外活动的概率； ②由题意可知,AQI 在[)170,200上的有5天,编号分别设为a 、b 、c 、d 、e ,AQI 在[)200,230上的有2天,编号设为m 、n ,列出所有的基本事件,并确定事件“抽取的这两天中AQI 值都在[)170,200”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得结果.

【详细解答】(1)设重度污染区AQI 平均值为x ,则119970211543x ?=?+?+,解得157x =； (2)①AQI 在[)140,170上的有

8

30308900

??=天, AQI 在[)170,200上的有

5

30305900??=天, AQI 在[)200,230上的有2

30302900??=天,

所以11月份AQI 不小于150天的共852114++-=天. 即能参加户外活动的概率为14813015

P =-

=； ②由①AQI 在[)170,200上的有5天,编号分别设为a 、b 、c 、d 、e ,

AQI 在[)200,230上的有2天,编号设为m 、n ,

从7天中抽取两天有:(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),a m 、(),a n 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),b m 、

(),b n 、(),c d 、(),c e 、(),c m 、(),c n 、(),d e 、(),d m 、(),d n 、(),e m 、(),e n 、(),m n ,共21种.

满足条件的有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),c d 、(),c e 、(),d e ,共10种, 所以满足条件的概率为10

21

P =

. 本题考查利用平均数求参数,同时也考查了频率分布直方图中频率的计算以及利用古典概型的概率公式求事件的概率,考查计算能力,属于中等题.

19.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,AB BC ⊥,1222AA AB BC ===,M ,N ,D 分别为

AB ,1BB ,1CC 的中点,E 为线段MN 上的动点.

(1)证明://CE 平面1ADB ；

(2)若将直三棱柱111ABC A B C -沿平面1ADB 截开,求四棱锥1A BCDB -的表面积. 【参考答案】(1)证明见解析；(2)26

3++【试题解析】

(1)连接CM ,CN ,可证四边形1NCDB 为平行四边形,从而得到1//NC DB ,再可得1//MN AB ,即可得到平面//MCN 平面1ADB ,从而得证；

(2)连接BD 即可证明AB ⊥平面11BCC B ,得到AB BD ⊥,再根据面积公式求出锥体的表面积即可； 【详细解答】解:(1)证明:连接CM ,CN ,因为N ,D 分别为1BB ,1CC 中点, 所以1112NB BB =

,111

2

C D CC =, 又因为11//BB CC ,11BB CC =, 所以1//NB CD ,1NB CD =, 所以四边形1NCDB 为平行四边形, 所以1//NC DB , 又M 为AB 中点, 所以1//MN AB ,

又CM CN C ?=,111AB DB B ?=, 所以平面//MCN 平面1ADB , 又CE ?平面MCN , 所以//CE 平面1ADB .

(2)连接BD ,因为AB BC ⊥,1B B AB ⊥,1BC BB B =,BC ?平面11BCC B ,1BB ?平面11BCC B ,

所以AB ⊥平面11BCC B , 所以AB BD ⊥,

11122ABC S ?=

=△,12112ABB S ?==△,122

22

ACD S ?==△,1(12)1322BCDB S +?==梯形, 在1ADB ?中,3AD =

,15AB =,12DB =,

所以222

11AD DB AB +=,

所以1AD DB ⊥,1

236

22

ADB S ?==

△, 所以四棱锥1A BCDB -的表面积123626

1322222

S +=

++++=+

.

本题考查面面平行,线面平行的证明,锥体的表面积的计算,属于中档题.

20.已知曲线C 上的点到点()1,0F 的距离比到直线:20l x +=的距离小1,O 为坐标原点. (1)过点F 且倾斜角为45的直线与曲线C 交于M 、N 两点,求MON △的面积；

(2)设P 为曲线C 上任意一点,点()2,0N ,是否存在垂直于x 轴的直线l ,使得l 被以PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在,求出l 的方程和定值；若不存在,说明理由. 【参考答案】(1)2(2)直线l 存在,其方程为1x =,定值为2. 【试题解析】

(1)利用抛物线的定义可求得曲线C 的方程,由题意可得直线MN 的方程为1y x =-,设点()11,M x y 、

()22,N x y ,将直线MN 的方程与抛物线C 的方程联立,列出韦达定理,利用三角形的面积公式可求得

MON △的面积；

(2)假设满足条件的直线l 存在,其方程为x a =,并设点()00,P x y ,求出以PN 为直径的圆的方程,将

x a =代入圆的方程,求出弦长的表达式,进而可求得a 的值,由此可求得直线l 的方程.

【详细解答】(1)依题意得,曲线C 上的点到点()1,0F 的距离与到直线:1l x =-的距离相等, 所以曲线C 的方程为:2

4y x =.

过点F 且倾斜角为45的直线方程为1y x =-,

设()11,M x y ,()22,N x y ,联立241

y x y x ?=?=-?,得2

440y y --=,

则124y y +=,124y y ?=-,则1212MAN S y y =

-==△

(2)假设满足条件的直线l 存在,其方程为x a =,设点()00,P x y , 则以PN 为直径的圆的方程为()()()0020x x x y y y --+-=,

将直线x a =代入,得()()2

0020y y y a a x -+--=,

则()()()()2

000424120y a a x a x a a ?=---=-+->????,

设直线l 与以PN 为直径的圆的交点为()3,A a y 、()4,B a y , 则340y y y +=,()()3402y y a a x ?=--,

于是有34AB y y =-=

=当10a -=,即1a =时,2AB =为定值. 故满足条件直线l 存在,其方程为1x =.

本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程,同时也考查了抛物线中定值问题的求解,考查计算能力,属于中等题.

21.已知函数()2

ln 2f x x x x =+-.

(1)讨论函数()f x 的单调性；

(2)判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数.若函数()g x 所有零点均在区间

[]()m n m n ∈∈Z Z ，，内,求n m -的最小值.

【参考答案】(1)函数()f x 的单调增区间为? ??,单调减区间为?

+∞????

(2)()g x 存在两个零点,详见解析； n m -的最小值为3 【试题解析】

(1)求出导函数()'

f x ,由()0f x '>确定增区间,由()0f x '<确定减区间；

(2)求出导函数()'g x ,分类讨论()'g x 的正负,确定()g x 的单调性,再根据零点存在定理确定零点存在的区

间．首先确定(0,1)上有一个零点,然后确定(1,)2

π

,(,3)2

π

,(2,3),(3,)+∞上有否零点,从而可得n m -的

最小值．

【详细解答】解:(1)()2

ln 2f x x x x =+-的定义域为()0,∞+,

()21221

22x x f x x x x

-++'=+-=

,

令()0f x '=,得1x =

,2x =(舍).

当10,2x ??∈ ? ???时,()0f x '>,当1,2??+∞ ? ???

时,()0f x '<,

所以()f x 在10,

2??+ ? ???上单调递增,在12??

++∞ ? ???

上单调递减,

因此,函数()f x 的单调增区间为? ??,单调减区间为?

+∞????

.

(2)()2

ln 2cos g x x x x x =+--,

当()0,1x ∈时,()1

22sin g x x x x

'=

+-+, 因为()1

22f x x x

'=

+-单调递减,

所以()12201g x '>+-+=,()g x 在()0,∞+上单调递增,

又()1cos101g =->,11111ln cos 0442164g ??

=+--< ?

??

, 所以存在唯一()10,1x ∈,使得()10g x =. 当1,

2x π??

∈????

,()122sin g x x x x '=+-+,()2

12cos 0x x g x =--+'<', 所以()g x '单调递减, 又π2

2π102π

g ??'=+-+>

???, 所以()0g x '>,()g x 在1,

2x π??

∈????

上单调递增. 因为()1cos101g =->,所以()0g x >,故不存在零点. 当,32x π??

∈??

??

时,()122sin g x x x x '=+-+,()212cos 0x x g x =--+'<',

所以()g x '单调递减, 又02g π??

'>

???

,()1224sin 202g '=+-+<, 所以存在0,22x π??

∈??

??

,使得()00g x '=. 当0π,2

x x ??∈????

时,()0g x '>,()g x 单调递增, 当()0,3x x ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减.

又2πππln π0224g ??

=+-

> ???

,()2ln 2cos20g =->,()3ln 369cos30g =+--<, 所以存在唯一()22,3x ∈,使得()20g x =.

当[

)3,x ∈+∞时,()2

2

12130g x x x x x x <-+-+=-+≤,故不存在零点.

综上,()g x 存在两个零点1x ,2x ,且()10,1x ∈,()02,3x ∈, 因此n m -的最小值为3.

本题考查用导数研究函数的单调性,用导数研究函数的零点．解题关键是掌握导数与单调性的关系．本题对学生分析问题解决问题的能力,转化与化归能力要求较高,本题属于难题． (二)选考题

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22cos ,

2sin ,

x y αα=+??=?(α为参数).以O 为极点x ,轴的正

半轴为极轴,建立极坐标系Ox . (1)求曲线C 的极坐标方程；

(2)已知,A B 是曲线C 上任意两点,且4

AOB π

∠=,求OAB ?面积的最大值.

【参考答案】(1)4cos ρθ=；(2)2+. 【试题解析】

(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为:()2

224x y -+=,再根据cos ,sin x y ρθρθ==转化为极坐标方程即可．

(2)利用极坐标系,设()1020,,,4A B πρθρθ?

?+ ??

?其中1200,0,22ππρρθ>>-<<,利用极径的几何意义、

三角形面积公式和三角函数的性质,可得答案．

【详细解答】解:(1)消去参数α,得到曲线C 的标准方程为:()2

224x y -+=,

()()22

cos 2sin 4ρθρθ∴-+= ∴()

222sin cos 4cos 44ρθθρθ+-+= ∴24cos 0ρρθ-=

故曲线的极坐标方程为4cos ρθ=．

(2)极坐标系Ox 中,不妨设()1020,,,4A B πρθρθ??

+

??

?

,其中1200,0,2

2

π

π

ρρθ>>-

<<

.

由(1)知: 10204cos ,4cos 4πρθρθ??

==+

??

?

OAB ?面积,12001sin cos 244S ππρρθθ?

?=

=+ ??

?