2021届云南省玉溪一中高三上学期第一次月考理科数学试卷

2021年云南省玉溪一中高三上学期第一次月考理科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．知集合}1,0{=A ，}3,0,1{+-=a B ，且B A ?，则=a （ ）

A ．1

B ．0

C ．2-

D ．3-

2．设是虚数单位，复数在复平面内表示的点在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．对于非零向量,a b ， “0a b +=”是“//a b ”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为

A ．k ≥16

B ．k <8

C ．k <16

D ．k ≥8

5．82)x

二项展开式中的常数项为 （ ）

A ．56

B ．112

C ．-56

D ．-112

6．以下四个命题中：

①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40． ②线性回归直线方程a x b y

???+=恒过样本中心),(y x ③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2

(2,) (0)N σσ>．若ξ在(,1)-∞内取值的概率为0.1，则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4；

其中真命题的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7．已知a >b >0，且ab =1，若0

a 2+

b 22，q =log

c (a+√b )2，则p,q 的

大小关系是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 8．在等差数列}{n a 中，912132

a a =+，则数列}{n a 的前11项和=11S （ ） A ．24 B ．48 C ．66 D ．132

9．将函数)4tan(π

ω+=x y )0(>ω的图象向右平移6

π个单位长度后，与函数)6

tan(πω+=x y 的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．61 B ．41 C ．31 D ．2

1

10．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，PA =

，

则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 11．已知)(x f 为R 上的可导函数，且R x ∈?，均有)()(x f x f '>，则 （ ）

A ．)0()2015(2015f f e

<-，)0()2015(2015f e f > B ．)0()2015(2015f f e

<-，)0()2015(2015f e f < C ．)0()2015(2015f f e

>-，)0()2015(2015f e f > D ．)0()2015(2015

f f e >-，)0()2015(2015f e f < 12．双曲线122

22=-b

y a x （0>a ，0>b ）的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，

若AB F 1?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）

A ．221+

B ．224-

C ．225-

D ．223+

二、填空题

13．与直线013=-+y x 垂直的直线的倾斜角为________．

14．命题“”为假命题，则实数a 的取值范围为 ；

15．设不等式组00x y x y y π+≤??-≥??≥?

所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图象与x 轴

所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为 ．

16．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ?的最大值是 ．

三、解答题

17．（12分）ABC ?的内角C B A ,,及所对的边分别为c b a ,,，已知b a ≠，3=c ，B B A A B A cos sin 3cos sin 3cos cos 22-=-

（1）求角C 的大小；

（2）若5

4sin =A ，求ABC ?的面积． 18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．

（1）求证：AB PE ⊥；

（2）求二面角--A PB E 的大小．

19．（12分）2021年春节期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取了40名驾驶员进行调查，将他们在某段高速公路上的车速（km/t ）分成6段：[)65,60，[)70,65，[)75,70，[)80,75，[)85,80，[)90,85后得到如图４的频率分布直方图．问：

（1）该公司在调查取样中，用到的是什么抽样方法？

（2）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；

（3）若从车速在[)70,60中的车辆中任取2辆，求抽出的这两辆车中速度在[)70,65中的车辆数x 的分布列及其数学期望．

20．（12分）已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率为12

，它的一个短轴端点恰好是抛物线y x 382=的焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知)3,2(P ，)3,2(-Q 是椭圆上的两点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠，试问：直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．

21．（12分）设函数)1ln(2)1()(2

x x x f +-+=

（1）若关于x 的不等式0)(≥-m x f 在]1,0[-e 有实数解，求实数m 的取值范围；

（2）设1)()(g 2--=x x f x ，若关于x 的方程p x =)(g 至少有一个解，求p 的最小值．

（3）证明不等式：111ln(1)1()23n n N n

++<+++?+∈ 22．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程为{x =12t y =√32t +1

（t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2+cosθy =sinθ （θ为参数）．

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,π3)，判断点P 与直线l 的位置关系； （2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式

已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈．

（1）当3a =时，解不等式()0f x >；

（2）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：,31A B a ?∴+=，解得2a =-．故C 正确．

考点：集合间的关系．

2．A

【解析】

试题分析： ∵103?i =10(3+i)(3?i)(3+i)=3+i ，∴103?i =10(3+i)(3?i)(3+i)=3+i 在复平面内表示的点为(3,1)，在第一象限．

考点：1.复数的计算；2.复平面的概念.

3．A

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义结合平面向量的共线定理判断.

【详解】

若0a b +=，则a b =-，所以//a b ，

若//a b ，则0a b +=不一定成立，

所以“0a b +=”是“//a b ”的的充分不必要条件，

故选：A

【点睛】

本题主要考查逻辑条件的判断以及平面向量的共线定理的应用，属于基础题.

4．A

【详解】

运行程序：

S=0,k=1;

S=1,k=2;

S=3,k=4;

S=7,k=8;

S=15,k=16,此时退出循环，所以k ≥16，故选A.

点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.

5．B

【解析】

试题分析：展开式的通项为()848318822r

r r r r

r r T C C x x --+??=-=- ???，令8403r -=可得2r =．

所以展开式的常数项为()2

282112C -=．故B 正确． 考点：二项式．

6．C

【解析】 试题分析：①不正确，因为8002040

=，所以分段的间隔k 应为20； ②正确，根据公式??a

bx y =-可知点),(y x 必在直线a x b y ???+=上； ③正确，因为ζ服从正态分布2(2,) (0)N σσ>，所以()20.5P ζ<=， ()10.1P ζ<=，

()()()12210.4

P P P ζζζ∴<<=<-<=，由对称性可知()()23120.4P P ζζ<<=<<=．

综上可得真命题的个数为2，故C 正确．

考点：1统计；2回归直线方程；2正态分布．

7．B

【解析】

试题分析：∵a >b >0,∴

a 2+

b 22>√ab =1， ∵a >b >0,∴(√a+√b )2=a+b+2√ab

=1a+b+2<2√ab+2=14，∴a 2+b 22>(√a+√b )2， ∵0

考点：1基本不等式；2对数的单调性．

8．C

【解析】

试题分析：设公差为d ，()91211113811322

a a a d a d =

+?+=++，整理可得156a d +=，即66a =． ()111611*********

a a a S +?∴===．故C 正确． 考点：等差数列的通项公式，等差中项，前n 项和．

9．D

【解析】

试题分析：函数)4tan(π

ω+=x y )0(>ω的图象向右平移6

π个单位长度后得到函数tan 64y x ππω????=-+ ????

???即tan 46y x ππωω??=+- ???的图像． 因为此函数图像与函数)6tan(πω+

=x y 的图象重合，所以(),466k k Z ππωππ-=+∈，解得()16,2k k Z ω=+∈，0ω>，ω∴的最小值为12

．故D 正确． 考点：图像平移．

10．A

【解析】

试题分析：分析可知球心在PB 的中点．因为AC BC ⊥，1AC BC ==，所以AB =

所以PB ==R =245S R ππ==．故A 正确．

考点：三棱锥的外接球．

11．D

【解析】

试题分析：令()()x

f x F x e =，所以()()()()()2'''x x x x f x e f x e f x f x F x e e --==， ()()'f x f x >对于x R ∈恒成立，

所以在R 上()'0F x <恒成立．所以函数()F x 在R 上单调递减．

()()()()02015,20150F F F F ∴<-<，即

()()()()()()020152015002015201500,0f f f f f f e e e e

--∴=<<=， ()()()()2015201502015,20150f e f f e f ∴<-<．故D 正确．

考点：1用导数求函数的单调性；2用单调性比较大小．

12．C

【解析】

试题分析：由双曲线的定义可得12122,2AF AF a BF BF a -=-=，两式相加可得114AF BF AB a +-=，因为1AF AB =，所以14BF a =，代入122BF BF a -=可得22BF a =．

因为90A ∠=，14BF a =所以1AF

AB ==，)2221AF AB BF a =-=．

所以2222221212420c F F AF AF a ==+=-，所以22

25c e a ==-．故C 正确． 考点：双曲线的定义．

13．3

π 【解析】

试题分析：直线013=-+y x 的斜率k =

设所求直线的倾斜角为α()0απ≤<，所以tan k α==3πα=

． 考点：1直线垂直；2直线的倾斜角．

14．[－2√2，2√2]

【解析】

试题分析：由题可知?x ∈R ，2x 2?3ax +9≥0为真命题，

所以可得Δ=(?3a)2?4×2×9≤0，解得?2√2≤a ≤2√2．

考点：1命题；2一元二次不等式．

15．28

π

【解析】

试题分析：如图所示区域M 是OAB ?及其内部．202x x y x y y ππ

π

?=?+=?????-=??=??即,22B ππ?? ???，所以其面积为2

1224

πππ??=． 区域N 是图中阴影部分，面积为

()()00sin cos cos cos 02xdx x πππ=-=---=?． 所以所求概率为2

22

84P ππ==．

考点：1几何概型概率；2定积分的几何意义．

16．5

【解析】

试题分析：动直线0x my +=的斜率为1m -，且过点()0,0A ， 将30mx y m --+=变形为()31y m x -=-可知直线斜率为m ，且过定点()1,3B ． 因为11m m

-?=-所以可得直线0x my +=与直线30mx y m --+=垂直，即PA PB ⊥． 所以22222135222

PA PB

AB

PA PB ++?≤===，所以PA PB ?的最大值为5． 考点：1直线垂直；2重要不等式．

17．（1）3C π

=；（2）831825

【解析】

试题分析：（1）B B A A B A cos sin 3cos sin 3cos cos 22-=-用正弦和余弦的二倍角公式化简可得sin(2)sin(2)66B A ππ-=-，可得2266B A ππ

π-+-=，从而可求得C ．（2）用正弦定理可得a ．用两角和差公式可求得()sin sin B A C =+，由三角形面积公式可求得其面积．

试题解析：解：（1）由倍角公式，原等式可化为

cos 21cos 212222A B A B ++-= 即sin(2)sin(2)66

B A ππ-=-， ,a b A B ≠∴≠ 又

,(0,)A B π∈ 2266B A π

π

π∴-+-=，3C π

∴= 由正弦定理可求得85a =，a c <，3cos 5

A ∴=

4sin sin()10

B A

C +=+=

118sin 225

ABC S ac B ?∴== 考点：正弦定理．

18．(1)证明见解析；(2)60°.

【解析】

试题分析：

（1）连结PD ，由题意可得,PD AB ED AB ⊥⊥,则AB ⊥平面PDE ，AB PE ⊥；

（2）法一：，故二面角的A PB E --大小为60?；

法二：以D 为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE 的法向量(13,n =．平面P AB 的法向量为()20,1,0n =．据此计算可得二面角的A PB E --大小为60?.

试题解析：

（1）连结PD ，

P A=PB ，PD AB ．//DE BC ，BC AB ，DE AB ． 又

PD DE D ?=，AB 平面PDE ，PE ?平面PDE ， ∴AB PE ．

（2）法一：

平面P AB

平面ABC ，平面P AB 平面ABC=AB ，PD AB ，PD 平面ABC ． 则DE PD,又ED AB ，PD 平面AB=D ，DE 平面P AB,

过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF

PB ，∠DFE 为所求二面角的平面角， 则：DE=

32，DF

，则DE tan DFE DF ∠==A PB E --大小为60? 法二：

平面P AB 平面ABC ，平面P AB 平面ABC=AB ，PD AB ，PD 平面ABC ．

如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，

B (1，0，0)，P (0，0，)，E (0，32，0)， PB =(1，0，3-)，PE =(0，32

，3-）． 设平面PBE 的法向量()1,,n x y z =，

30,330,2x z y z ?-=??-=??令3z =，得()

13,2,3n =． DE ⊥平面P AB ，∴平面P AB 的法向量为()20,1,0n =．

设二面角的A PB E --大小为，由图知，1212121,2

n n cos cos n n n n θ?==

=?， 所以60,θ=?即二面角的A PB E --大小为60?.

19．（1）系统抽样；（2）众数与中位数的估计值均为5.77；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）因为每间隔50辆就抽取一辆，所以此抽样为系统抽样．（2）这40辆小型汽车车速的众数就是最高的小矩形底边的中点．中位数是时频率分布直方图左右两边面积相等的数．（3）根据=频数频率总数可求得车速在[

)60,65和[)65,70的车辆数分别为2，4．所以 x 的取值是0，1，2．根据古典概型概率分别求(0)P x =，(1)P x =

，(2)P x =的值．从而可求得其分布列，根据期望公式求其期望值．

试题解析：解：（1）系统抽样

（2）众数与中位数的估计值均为5.77（说明：一个答案得2分）

（3）由图可知，车速在[)65,60的车有2辆，在[)70,65的车有4辆，x 的取值是0，1，2

2024261(0)15C C P x C ===， 1124268(1)15C C P x C ===，0224266(2)15

C C P x C === x 的分布列如下：

?+=10ξE 3

41562158=?+ 考点：1统计；2频率分布直方图；3分布列，期望．

20．（1）1121622=+y x ；（2）直线AB 的斜率为定值12

． 【解析】

试题分析：（1）由抛物线方程可知其焦点为(．由题意可知b =．根据222,+c e a b c a

==可求得,a c 的值，从而可得椭圆方程．（2）由APQ ∠＝BPQ ∠可知，,PA PB 的斜率之和为0．设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -．可得直线,PA PB 的方程．分别与椭圆方程联立消去y 可得关于x 的一元二次方程．由韦达定理可得两根之和．根据斜率公式可证得AB k 为定值．

试题解析：解：（1）设C 方程为122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0），则32=b ． 由2

1=a c ，222c b a +=，得4=a 故椭圆C 的方程为1121622=+y x 当APQ ∠＝BPQ ∠时，,PA PB 的斜率之和为0，

设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，

PA 的直线方程为)2(3-=-x k y ， 代入1121622=+y x 中整理得()

()()2223+4832432480k x k k x k +-+--=， ()12

823234k k x k -+=+， 同理()22823234k k x k ++=+，2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k

--=+， 从而1212x x y y k AB --==2

14)(2121=--+x x k x x k ，即直线AB 的斜率为定值 考点：1椭圆的方程；2直线与圆锥曲线的位置关系问题．

21．（1）22m e ≤-；（2）0； （3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）求导数()'f x ，讨论导数的正负得函数的增减区间．根据单调性可求得函数

()f x 在[]0,1e -上的最值．只需()f x 的最大值大于等于m 即可．

（2）求导数()'g x ，论导数的正负得函数的增减区间．根据单调性可求得函数()g x 在()1,+-∞上的最小值．可将问题转化为()min p g x ≥．（3）因为()2(ln(1))0g x x x =-+≥在(1,)-+∞上恒成立．所以

可得x x ≤+)1ln(．令)(1x *N n n ∈=时可得n

n 1)11ln(<+，根据对数的运算性质用累加法可证得111ln(1)1()23n n N n ++<+++?+∈． 试题解析：解：（1）函数()f x 的定义域：(1,)-+∞

22()2(1)11x f x x x x

'=+-=++ 易知函数()f x 的单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞

0)(≥-m x f 在]1,0[-e 有实数解等价于max ()f x m ≥ ([0,1])x e ∈-

函数()f x 在区间(0,1)e -上单调递增，∴2max ()(1)2f x f e e =-=-

22m e ∴≤-

()2(ln(1))g x x x =-+ ，(1,)x ∈-+∞

2()1x g x x

'=+， 易知()g x 在(1,0)-上单调递减，(0,)+∞上单调递增

min ()(0)0g x g ∴==

因为方程p x =)(g 至少有一个解，所以0p ≥，所以min 0p =

（3）由（2）可知： 0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立

所以x x ≤+)1ln(，当且仅当0x =时等号成立 令)(1x *N n n ∈=

，则)1,0(∈x 代入上面不等式得：n

n 1)11ln(<+ 即n n n 11ln <+， 即 n

n n 1ln )1ln(<-+ 所以，11ln 2ln <-，212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，n

n n 1ln )1ln(<-+ 将以上n 个等式相加即可得到： n n 131211)1ln(++++<+

考点：用导数研究函数的性质．

22．（１）P 不在直线l 上；（２）最小值为

2√3?12，最大值为2√3+32． 【解析】

试题分析：（１）消去参数，将直线的参数方程化为普通方程，利用{x =ρcosθy =ρsinθ

，再将点P 的极坐标化为直角坐标，再判断点P 的坐标是否满足方程，进而判断点和直线的位置关系；（２）设点Q(2+cosθ,sinθ)，利用点到直线的距离公式表示点Q 到直线l 的距离d ，转化为三角函数的最值问题处理．

试题解析：（Ⅰ）将点P (4，π3)化为直角坐标，得P(2，2√3)，直线l 的普通方程为y =√3x +1，显然点P 不满足直线l 的方程，所以点P 不在直线l 上．

（Ⅱ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q(2+cosθ,sinθ)，点Q 到直线l ：y =√3x +1的距离为

d =√3+√3cosθ?sinθ+1|

√3+1=|2sin(π3?θ)+2√3+1|2，所以当sin(π3?θ)=?1时，d min =2√3?12， 当sin(π3?θ)=1时，d max =2√3+32．故点Q 到直线l 的距离的最小值为2√3?12，最大值为2√3+32

． 考点：１直线参数方程和普通方程的互化；2、极坐标和直角坐标的互化；3、点到直线的距离.

23．（1）5{|1}3

x x <<；（2）4a ≥．

【解析】

试题分析：（1）当3a =时，即|2||23|0x x --->，用找零点法将x 的范围分为33,2,222

x x x ≤<<≥三种情况去绝对值，将原绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解．（2）将()0f x <可化为|2|2x a x ->-，根据绝对值不等式公式将其展开，分别求解即可．

试题解析：解：（1）当3a =时，()0f x >即|2||23|0x x --->

等价于：3210x x ?≤???->?或322350

x x ?<?或210x x ≤??-+>? 解得312x <≤或3523

x <<或x ∈?

所以原不等式的解集为：5{|1}3x x <<

（2）()2|2|f x x x a =---

所以()0f x <可化为|2|2x a x ->- ① 即22x a x ->-或22x a x -<- ①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +< (,2)x ∈-∞， ∴a ∈?或4a ≥

4a ∴≥

考点：绝对值不等式．