不定积分公式大全

Ch4、不定积分

§1、不定积分的概念与性质

1、 原函数与不定积分

定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。

① 连续函数一定有原函数；

② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''

x f x F C x F ==+

③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上，由[]0)()()()()()('2'1'

11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21

故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。

定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。

显然C x F dx x f +=?)()(

例1、 求下列函数的不定积分

①?+=C kx kdx

②??????-=+-≠++=+1

ln 11

11

μμμμμ

C x C x dx x

2、 基本积分表（共24个基本积分公式）

3、 不定积分的性质

①[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx

x f k dx x kf

例2、 求下列不定积分

①?

?

+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11

)2(22

②?

?+=++-=

=+--C x C x dx x x

dx 21

)21(1

1)21(21

③?+-=???

?

??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ④()()()C x e e x dx dx e dx x e x

x

x x +-=-=??? ?

?-???ln 21ln 2121ππππ

⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2

⑥????++-=+=+=C x x xdx xdx dx x

x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2

2222222

⑦()

??+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 22

⑧???++-=??? ?

?++-=++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 3111111113222424

§2、不定积分的换元法

一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a

dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=

+??1

,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===???)5cos(5

1

sin 51555sin 515sin

②()()()()??+--=+-+?

-=---=-+C x C x x d x dx x 8177

72116

12117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222C

a x a a x a x d a x a dx +??

? ??=+=+??

④()()

)23(arcsin 12

2

2

C

a x a x a x d x

a dx +??

?

??=-=-?

?

2、()()n

n n n n n dx dx x dx x f n

dx x x f ==

--??11,1即 例2、求不定积分

①(

)()

()

()

C x C x x d x dx x x +--=+-+?-=---=-+??2

32

12

12

212

2

12

2

13

1

11

121112

1

1

②()

C e x d e dx e x x x x +-=--=---??33

33

23

131 ③??????

?

???? ??-=+???

??-=??? ??-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④??

???

? ??=+==x d dx x C

x x d x dx x

x 21sin 2cos 2cos

3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 1

2x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx x

x x ==-===

,,arcsin 11

,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a x

x d dx x x d dx x x d xdx x ±±=±=-=+=

例3、 求不定积分

①???+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C

x C x x x

d dx x x xdx

②???+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot C

x C x x x

d dx x x xdx

③()()()???++=++=++=)18(tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec C x x x x x x d dx x x x x x xdx ④()()()???+-=--=--=)19(cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc C x x x

x x x d dx x x x x x xdx

⑤()??+==C x x

x d dx x x ln ln ln ln ln 1

⑥()

()()?

?++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()

()

??++=++=+C e e

e d dx e e x x

x

x x 1ln 111 ⑧()

()

??++-=+-+=+C e x e

e e e dx x

x x x x 1ln 111 ⑨()??+=+=+C e e de dx e e x

x x x x arctan 1122 ⑩()

C e x d e dx e x

x x x x +-=+--=++-

+-

+-

??2

122

12

12

11

例4、求不定积分

①?

?????

?

??++---=??? ??+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122 )22)(21(ln 21C a

x a

x a ++-=

②dx x x dx x x x dx x x x ?????

? ??

++-=+--+=+--2

222

213113112 ()

()

C x x x x

dx x x d x +-+-=+-++-=??arctan 31ln 211311212

2

22 ③()

()????+--+-+-=+---=+--4

1352522152622215242

2222x dx

x x x x d dx x x x dx x x x ()

C x x x +--+-=

21arctan 2352ln 212 ④()C x x x xd x dx x xdx +-=?-=-=???2sin 41

2122cos 21212122cos 1sin 2

⑤()??+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 4

1

8cos 1612sin 8sin 213cos 5sin

⑥????+====C x x x d x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot

⑦C x x x

x d xdx dx x x x dx +-=+=-=+????cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 122

2 ⑧()?

????? ??+??? ?

?

+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +???? ????? ?

?

+-??? ??+=4cot 4csc ln 21

ππ

二、 第二类换元法 1、三角代换

例1、dx x a ?-22

解：令)cos (sin t a t a x 或=，则

tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-

原式=()??????

?

??+=+=?t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22

C a

x a a x a a x a C t a t a +-???+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=

2222

1

arcsin 21 例2、()()

C a

x

a x a x d x a dx +=-=-?

?

arcsin 12

2

2

解：令t a x sin =

原式=??+=+==C a

x

C t dt t a tdt a arcsin cos cos

例3、?

+2

2

x

a dx

解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+

原式=()??+???

? ??++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdt

a 222ln tan sec ln sec sec sec ()

)24(ln 22C a x x +++=

例4、?

+4

2

x x dx

解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+

原式=()??+???

? ??++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdt

a 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、?

-2

2

a

x dx

解：令)csc (sec t a t a x 或=，则

tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-

原式=()??+???

? ?

?-+=++==c a

a x a x C t t tdt t a tdt

t a 2

2ln tan sec ln sec tan tan sec ()

)25(ln 22C a x x +-+=

例6、?

-dx x

x 9

2 解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()

()?

??+-=-==?C t t t tdt tdt t t

t

tan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322 C x x C x x +--=+???

? ??--=3arccos 393arccos 39322 小结：)(x f 中含有???

??

??-+-2

2222

2a x a x x a 可考虑用代换???

??===t a x t a x t a x sec tan sin

2、无理代换

例7、?

++3

1

1x dx

解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则

原式=()???+???

? ??++-=??? ??

++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222 ()()

C x x x +++++-+=

333

211ln 31312

3 例8、(

)

?

+3

1x

x dx

解：令dt t dx t x t x 5666,,===则

原式=()

()???+-=??

? ??

+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235 ()

C x x +-=66arctan 6

例9、?+dx x

x

x 11

解：令

()

2221

2,11,1--=-==+t tdt

dx t x t x x 则

原式=()()???+??? ??+-+-=??? ??-+-=--=???

? ?

?--

-C t t t dt t dt t t t tdt

t t 11ln 212111212121222222 C x x x

x x x +++-+-+-=11ln 12

例10、?

+x

e

dx 1

解：令()

1

2,1ln ,12

2-=

-==+t tdt

dx t x t e x 则 原式??+++-+=++-?=-=-?=C e e C t t t dt dt t t t x x 1

11

1ln 11ln 2121212122

4、 倒代换

例11、()

?

+4

6

x x dx

解：令()

2

676,4111,1t

dt

dx t t x x t x -=+=+=则 原式()

()

C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=??

4ln 24114ln 2411

41424141666

6666 ()

C x x ++-=4ln 24

1

ln 416

§3、分部积分法

分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'

=''+'=',

()??

?'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故??-=VdU UV UdV

（前后相乘）（前后交换）

例1、?xdx x cos

??++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、?dx xe x

??+-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x

例3、?xdx ln ??+-=?-=-=C x x x dx x

x x x x xd x x ln 1

ln ln ln

或解：令t e x t x ==,ln

原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==??ln 例4、?xdx arcsin

(

)

???+-+=--+

=--=-=C x x x x

x d x x dx

x

x x x x xd x x 2

22

2

1arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin

或解：令t x t x sin ,arcsin ==

原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==??21arcsin cos sin sin sin sin 例5、?xdx e x sin

()?????--=+-=-=-==xdx

e x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde x

x

x

x

x

x

x x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin

故()C x x e xdx e x

x +-=?cos sin 2

1sin 例6、?

dx x

x

2

cos C x x x xdx x x x xd +-=-==??sec ln tan tan tan tan 例7、()

?++dx x x 21ln

()()

()C

x x x x dx

x

x x x x dx x

x x x

x x x x ++-

++

=+-++=++++?

-++=??

22

2

22

2

2

11ln 11ln 1111ln

§4、两种典型积分

一、有理函数的积分

有理函数0

11

10

111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。

例1、将6532+-+x x x 化为部分分式，并计算?+-+dx x x x 6

53

2 解：

()()()()()()32233

23236532--+-+=

-+-=--+=+-+x x B A x B A x B x A x x x x x x ??

?=-=??

?-=+=+6

5

3

231

B A B A B A 故???

+-+--=-+--=+-+C x x x dx

x dx dx x x x )3ln(6)2ln(536256

532 或解：()

???+-++-+-=+-+-=6

5211656521651152212222x x dx

x x x x d dx x x x I

()

???

? ??---++-=dx x x x x 213121165ln 212 ()

C x x x x +--++-=2

3ln 21165ln 212 例2、???

???

?

??----=-+--=-dx x x x dx x x x x x x dx 222)1(1)1(1)1(1)1( C x x x dx x x x +---=???

? ??-----=?11

1ln )1(11112 例3、C x x x x x x d dx x x x dx x x +-=+??? ?

?-??? ??-=++=++???21arctan 212111111122

2242 例4、(

)(

)

????

?

?

??+--++=+--+=+???

?

dx x x x dx x x x dx x x x x dx 2

2

22224

2

2

41111112111121

1 C x x x x x x x x x x d x x x x d +?????? ??++-+--=??????

? ??-??? ??+??? ??+-+??? ??-??? ??-=??2121ln 22121arctan 2121211211212

2 C x x x x x x +???

?

??++-+--=2121ln 2121arctan 221222

二、三角函数有理式的积分

对三角函数有理式积分()?=dx x x R I cos ,sin ，令u x x

u arctan 2,2

tan ==则，

du u dx u u x u u x 222212

,11cos ,12sin +=+-=+=，故?+???? ??+-+=du u u u u u R I 22221211,12，三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。

例5、?+x

dx

cos 53

解：令u x x

u arctan 2,2

tan ==则，du u dx u u x 2

2212,11cos +=+-= 原式C x x

C u u u

du du u u u +-+=+-+?=-=++-+=??2tan 22tan

2ln 4122ln 221412115

31222

2 例6、?

+-5

cos sin 2x x dx

解：令u x x

u arctan 2,2

tan ==则， du u dx u u x u u x 222212,11cos ,12sin +=+-=+=

原式??

++=+++--+=22312511122122

222u u du du u u

u u u C x C u u u d ++=++?=+

??? ?

?+??? ??+=?512arctan 3arctan 513531arctan 5331953131312

例7、?=-+dx x

x cos 1sin 1??+++=++--

++

du u u u u du u u u u u

)1(21121111212222

2

22 ????? ??+-+-=???

? ??++=du u u u u du u u u 22211

21)1(21 ()

C x

x C u u u ++-=++-+-=2

sin ln 22cot 1ln ln 212