三角函数学习笔记

三角函数

考试内容：

角的概念的推广．弧度制．

任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．

两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．

正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．

考试要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．

（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α?cos α=1”．

§04. 三角函数 知识要点

1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：

{}

Z k k ∈+?=,360

|αββ

②终边在x 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{

}

Z k k ∈+?=,90180|

ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}

Z k k ∈-?=,45180| ββ

⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π

180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180

π≈0.01745（rad ）

3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211

||22

s lr r α=

=?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原

点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则

=αsin r x

=αcos ； x y =αtan ； y

x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：

正切、余切

余弦、正割

正弦、余割

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

8、同角三角函数的基本关系式：αα

αtan cos sin = αα

α

cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα

9、诱导公式：

2

k παα±把

的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系

（二）角与角之间的互换

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =

(3) 若 o

,则sinx

16. 几个重要结论:

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α

αα2

tan 1tan 22tan -=

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2

cos 12

sin

α

α-±

= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ 2

cos 12cos α

α+±=

βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

- 4

2675cos 15sin -=

= ,4

2615cos 75sin +=

= ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .

.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.

②x y sin =与x y cos =的周期是π.

③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ω

π

2=

T .

α

α

αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=

2tan

x y =的周期为2π（πω

π

2=?=T T ，如图，翻折无效）.

④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2

π

π+

=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(?ω+=x y 的对

称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2

1ππ+k ）；)tan(?ω+=x y 的对称中心（

0,2

π

k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称

⑤当αtan ·,1tan =β)(2

Z k k ∈+

=+π

πβα；αtan ·,1tan -=β)(2

Z k k ∈+

=-π

πβα.

⑥x y cos =与??

? ??++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数，则

)cos()2

1

sin()(x k x x y ωππω?ω±=++=+=.

⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

x y tan =为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3

1tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义

域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性质）

⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）

x y cos =是周期函数（如图）

；x y cos =为周期函数（=T 2

12cos +=

x y 的周期为π（如图）

，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(.

⑩a

b

b a b a y =

+++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||

T πω=，频率1||2f T ωπ

==，相位;x ω?+初相?（即

当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

y=cos |x|图象

y=|cos2x +1/2|图象

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A 替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替到原来的1

||

换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x) 由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

掌握科学方法，提高学习成绩

不论做什么事情都应该讲究方法，科学的方法能够加速问题解决的速度，学生学习更是如此。我们在教学过程经常会遇到这样的现象，有的学生尽管学习也很认真刻苦，花了大量的时间，但学习效率不高，成绩并不是很理想。究其原因也许很多，学习的方法不当应是关键的因素之一。科学的学习方法，往往能取得事半功倍的效果。基于这个认识，我在教学过程中很注重学习方法研究，也经常有意识地对学生进行学习方法指导，不少学生取得了良好的效果。现把其定名为“十六字学习法”。公布的目的有二：一是希望得到行家的指教，以便进一步完善；二是希望对想上进的求知学子有所帮助。具体内容是：

一预习：“学、做、练、标”

（1）学：学书本上的内容和例题，要看清和看全，甚至连书本上的注解也要看，尤其是文科后面的注释一定要看，对于知识要点要多看几遍，多想想为什么，最好能弄清楚来龙去脉，对于书上的黑体字、定理、定律和公式要动手抄写，力求能先背诵和默写，英语中的单词和短语尤其要如此。

（2）做：做书本上的例题，要把自己的解题过程和书本上的例题对照一下，看看差异在什么地方，要找出差距。语文和英语自己结实关键的词语和整个句子更好，自己的解释和自己造的句子要和书本上的规范句子对照，看看有没有错误，如果有，看错误的原因是什么，自己容易弄错的地方，也许就是上课要重点解决的问题。

（3）练：书本上的简单题目在预习时应该完成，独立完成后要检查对错，发现自己在什么地方还没有弄懂。也可以找一套有标准答案的课外资料来练习，做好的作业也要对照答案检查，看看正误，及时了解自己预习中存在的问题。预习时做的题目选题目要典型，不要过多。本阶段的重点是通过联系来发现自己预习中存在的问题，如果自己看书能解决的，应该自己再看书解决，否则要做记录，留请教老师和同学，帮助自己解决。本次做错的题目做为一级错题，打一个“?”，可以在资料和课本上标注，等待上课时候解决，彻底解决了，就不用上“总结提高本”，也可以解除标出的星号。

（4）标：在课本上标出学习的知识要点，和自己没有弄懂的难点，以及自己不够清楚的疑问点，以便上课时候重点突破。不同类型的最好用不同颜色的笔标出，要引起自己的重视。

二上课：“看、听、记、想”

（1）看：看书本和老师在黑板上板书的重点内容，弄清出那些是自己以前没有弄懂的和不清楚的内容，如果是课本上的可以在上面标出，如果是老师补充的就应该认真记录，如果需要背诵的内容一定要准确无误。

（2）听：认真听老师的讲解，教师的讲解是自己学习无法替代的，对于同学的发言也要认真地听，这其中也有别人的长处和智慧的火花。认真听取老师的讲解和同学的发言，及时筛选对自己的有用的信息，必要的要做记录。

（3）记：课堂笔记是学习的基础，也是将来复习的最好资料，这里有老师的汗水，也有自己的智慧，自己不理解的和老师反复强调的重点内容一定要认真记录，尤其是教师补充的课外内容更不能放过。只要自己还没有掌握的，课本上也没有现成内容的就应该记录。自己熟悉的，课本上有现成内容的就不要记录，重做深刻了理解和灵活运用。

（4）想：到下课的时候，一定要想一想，老师今天讲课的重点内容是什么，自己还有没有不懂的地方，如果有就应该及时请教老师和同学，把自己要学习的内容全部搞懂，不留任何遗憾。身边的同学是最好的老师，取长不短，是学习的科学方法。

三课后：“练、测、补、结”

（1）练：认真完成老师布置的作业，教师提供的作业应该是最好的资料，自己购买的资料如果和课本、老师布置的作业、以及做过的资料有重复的，最好不做，免得浪费时间。做过的题目一定要对照标准答案，找出错误的原因，自己不能顺利正确的完成的题目才是自己巩固练习的重点，自己很容易正确完成的题目看看就可以了，重复的也可以不看。重点攻克的应该是自己历次做错的题目，这些才反复学习的重点。此次做错的题目可以做为第二级错题，打上两个“??”，在请教老师和同学后，如果能弄懂了，可以不上总结提高本，但资料上的星号要保留，留以后复习时候，看看有没有忘记。

（2）测：选择适合自己水平的同步测试试卷，在学习完相应的内容后，自己找时间限时完成，要尽量少用时间，提高自己的答卷速度，一般以规定的时间一半为好。完成后要对照标准答案进行认真的自我的批改，找出失误的原因，采取响应的解决办法，需要看书的还要认真看书，需要死记的内容就应该准确的记忆，理解不透的要深刻理解，题目太难的做不出来的，可以在标准答案的提示下，反复做做，直到彻底弄懂为止，试卷出现的任何失误，都应该搞清楚来龙去脉。次此做错的题目应该是第三级别，应打上三个“???””，应该上““总结提高本”，并要在本子上及时订正，有知识缺陷的，应写出相应的知识，文科尤其要注意做好这项工作，理科应该注重规律总结。反复出现错误的知识和题目，级别应该更高，补救发工作应该更全面。

（3）补：针对自己检查和学校作业、检测中出现的失误，属于自己不懂和不会造成的要集中到一个本子上，并认真订正，还要写出失误的原因，提示自己在以后的学习中不要出现类似的错误。善于发现自己的不错，并能够及时弥补的人，才会不断进步，最后取得成功。

（4）结：没有总结就没有提高，对于自己收集好的错误题目，光订正了还不够，还要分析原因，进行总结和提高。对于在错题中暴露出来的属于知识不清的，要

分类进行总结，内容不多的就可以写在相应的题目后面，如果内容太多，书本上有的就可以标出页码，课外资料上的，自己没有的可以复印。要善于总结规律性的东西，只要掌握规律，就可以举一反三。

四复习：看、背、默，理

（1）看：看课本上的知识要点、自己的课堂笔记和自己的总结提高本，还可以看有标准解答的题解，最好是看带有规律性的题解资料。级别越多的内容看的次数就应该越多，越应该是掌握的重点。当然基础知识也不能丢掉不管，如果在基础出现知识性错误，那就更不应该了，考试前最好能快速浏览基础知识，在掌握基础的前提下，在突出重点。文科中的背诵和默写错误级别，也可以看写错次数的多少来确定级别，这样也才能突出复习重点。

（2）背：对于课本上要求背诵的知识应该会背诵。

（3）默：看看要求背诵的内容能否准确无误的默写出来，死的内容应该一字不差的掌握，理解性的记忆内容要掌握要点。

（4）理：如果能把要记忆的内容，整理出来，采用条目和图表形式记忆的效果。

相信掌握了科学的方法，加上刻苦努力的精神，一定能打造出学习高手。