高中数学必修二直线和直线的方程
高中数学必修二 直线与方程
知识点复习： 一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[
)
ο
ο90,0∈α时，0≥k ； 当(
)ο
ο180,90∈α时，0 90=α时，k 不存 在。 ②过两点的直线的斜率公式：)(211 21 2x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程 ①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。 ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：11 2121 y y x x y y x x --= --（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式： 1x y a b += 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。 ⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：○ 1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系： 000=++C y B x A （C 为常数） （二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0: 1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程 为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直 当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时， 212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点 0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组?? ?=++=++0 222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（） 是平面直角坐标系中的两个点， 则||AB （9）点到直线距离公式：一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2 200B A C By Ax d +++= （10）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 典型例题 例1. 已知直线过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l 的方程。 解：设直线的截距式方程为：x a y b +=1 则有-+-==?? ?????54 1125a b ab ?==-a b 52，或，a b =-=524 ∴-+=--=直线方程为或852*******x y x y 例2 已知两点A (-3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点． （1）求直线l 的斜率的取值范围．（2）求直线l 的倾斜角的取值范围． 分析：如图1，为使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角应介于直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角之间，所以，当l 的倾斜角小于90°时，有PB k k ≥；当l 的倾斜角大于90°时，则有PA k k ≤． 解：如图1，有分析知 Θ =PA k 23)1(4----＝－1， =PB k 23) 1(2---＝3． ∴ （1）1-≤k 或3≤k ． （2）arctan3≤α≤ 43π ． 说明：容易错误地写成－1≤k ≤3，原因是或误以为正切函数在[)π,0上单调递增． 图1 x 例3 若三点A )3,2(-，B )2,3(-，C ),2 1(m 共线，求m 的值． 分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在． 解答：由A 、B 、C 三点共线，则AC AB k k =． ∴ 22 13 2332+-=+--m ，解得21=m ． 说明：由三点共线求其中参数m 的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求m 的方法最简便． 例4. 在直线上求一点，使点到两点（，），（，）的3101120x y P P -+=- 距离相等。 分析：（1）设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1，故点P 的坐标为（x ，3x ＋1），由距离公式得x 的方程，解得x ＝0。 （2）设P （x ，y ），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x ＋y －1＝0，再解方程组得P （0，1）。 解法1：设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1 故点P 的坐标为（x ，3x ＋1） ()()()()由距离公式得： x x x x -++= -++13223122 22 解之得：x ＝0 ∴所求的点为P （0，1） 解法2：设P （x ，y ），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线方程为： x y +-=<>10 1 又3102x y -+=<> 解由<1>、<2>组成的方程组得：P （0，1） 练习: 1. 直线ax by ab +=≠10()与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） A. 12ab B. 12 ab C. 1 2ab D. 12ab 2. 过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ） A. x y +=5 B. x y -=5 C. x y +=5或x y -=40 D. x y -=5或x y +=40 3. 已知直线Ax By C ++=0的横截距大于纵截距，则A、B、C应满足的条件是（） A. A＞B B. A＜B C. C A C B +>0 D. C A C B -<0 4. 直线l ax y b l bx y a ab 12 000 ：，： -+=+-=≠ ()的图象只可能是下图中的（） 5. 直线270 x y ++=在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是（） A. a b =-=- 77 ， B. a b =-=- 7 7 2 ， C. a b =-= 7 2 7 ， D. a b =-=- 7 2 7 ， 6. 若直线l的倾斜角为π+-? ? ? ? ? arctan 1 2且过点（1，0），则直线l的方程为________。 7. 由已知条件求下列直线的斜截式方程。 （1）直线经过点 ()() P P 12 2103 ，、， ； （2）直线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为-3。 8. 设直线l 的方程为 ()() m m x m m y m 2 22321620 --++-+-=，根据下列条件分别 确定实数m 的值。 （1）l 在x 轴上的截距是-3； （2）斜率是1。 9. 过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当PA PB ·取最小值时，求直线l 的方程。 10. 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x 轴和y 轴上的截距之和为5，求这样的直线的条数。 11. 已知点P （-1，1）、Q （2，2），直线l y kx ：=-1与线段PQ 相交，求实数k 的范围。 12．已知?A B C 中，A (1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x y -+=210 和y -=10，求?A B C 各边所在直线方程． 参考解题格式： 9. 解：设直线l 的方程为 ()y k x k =-+<210() 分别令x y ==00，得： ()B k A k 012120，，，--+?? ? ?? ()()∴=-+-?? ? ? ?+-+=+?? ? ? ?+≥PA PB k k k k ··12201224184 2 22222 ∵k ＜0，∴当且仅当k =-1时， PA PB ·取得最小值4 故所求直线的方程为x y +-=30 11. 解：∵直线l 的纵截距为-1 ∴直线过点M （0，-1） ∵l 与线段PQ 相交 ∴≥≤k k k k MQ PM 或 ()()Θk k MQ PM =---==----=-21203 211102 ∴≥ ≤-k k 3 22或 12．分析：B 点应满足的两个条件是：①B 在直线01=-y 上；②BA 的中点D 在直线 012=+-y x 上。由①可设()1， B x B ，进而由②确定B x 值. 解：设( ) 1，B x B 则AB 的中点? ?? ??+221，B x D ∵D 在中线CD ：012=+-y x 上∴012221 =+?-+B x ， 解得5=B x ， 故B (5, 1). 同样，因点C 在直线012=+-y x 上，可以设C 为 ()C C y y ，12-，求出 () 131---=，，C y C . 根据两点式，得ABC ?中AB ：072=-+y x ， BC ：014=--y x ，AC ：02=+-y x .