2012北约 高校自主招生数学试题及解答

2012北约

一、解答题

1.求x 的取值范围,使得()21f x x x x =+++-是增函数.

2.1=的实数根的个数.

3.已知22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的4个根组成首项为14

的等差数列,求m n -.4.已知锐角ABC ?的外接圆的圆心为O ,求O 到三角形三边的距离之比.

5.已知点(2,0),(0,2)A B -,若点C 是圆2220x x y -+=上的动点,求ABC ?面积的最小值.

6.在1,2,,2012 中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？

7.设点A 、B 、C 分别在边长为1的正三角形的三边上,求222AB BC CA ++的最小值.

8.若关于x 的方程sin 4sin 2sin sin 3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的a ,求实数a 的范围.

9.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.

10.求证:对于任意的正整数n ,(1n 的形式,其中s N +∈.

##Answer##

1.[0,+∞)

2.=t ≥0，则原方程变为|t-3|+|t-5|=1，左边最小值为2，故无解。原方程实数解得个数为0

3.【简解】设四个根为114x =，2x ,3x ,4x 成等差数列，则14+4x =2x +3x =2?4x =74，3x =54，2x =34?|m-n|=|1x 4x -2x 3x |=12

4.【简解】如图,设外接圆半径为r ，圆心到三边的距离为OD 、OE 、OF

则OD=rcos ∠BOD=rcos 2

BOC ∠=rcosA ，同理OE=rcosB,OF=rcosC ，于是OD:OE:OF=cosA:cosB:cosC

6.【简解】对应1,4,7，…，2011这671个数，满足任意两数之和不能被两数之差整除；这些数可以看做(1,2,3),(4,5,6),…,(2008,2009,2010),(2011,2012)中各取一个数得到的。比671再多的数，可以看做每两个数组成一组，但这样，必定有两数之和能被两数之差整除。结果671

7.【解析】如图，设A 、B 、C 到三个顶点的距离分别为x 、y 、z

，

过A、B 作角平分线的垂线AD、BE，垂足分别为D、E，则AB≥AD+BE=

(1)2x y +-同理BC≥(1)2y z +-，CA≥(1)2z x +-,于是AB+BC+CA≥32

又

,故222AB BC CA ++≥2

()3

AB BC CA ++≥34等号成立当且仅当12

AB BC CA x y z ==???===???AB=BC=CA=12故222AB BC CA ++的最小值为3

4

8.【简解】设f(x)=sin4xsin2x-sinxsin3x=12(cos4x-cos6x)图象关于x=2

π对称故f(x)=a 在x ∈[0,π)上有唯一解，只能x=0或

2πx=0时，a=0,此时f(x)=a ?cos4x=cos6x,x 的解不唯一，舍去x=2

π时，a=1，此时f(x)=a=1只有一个解，满足要求

故a 的范围为{1}

9.【简解】证明：如图，圆内接五边形ABCDE,五个内角相等，要证它为正五边形，只要证明五个边也相等

设直线AE 与CD 相交于点F ，连接AC,

∠D=∠E ?∠1=∠2?FD=FE,又因A 、C 、D 、E 四点共圆，故∠1=∠4，∠2=∠3，于是∠3=∠4，FC=FA ，从而CD=AE 。同理五边形其他边也对应相等

ABCDE 为正五边形

10.【简解】证明：

(1n +=0n n k C =∑=(02424...n n n C C C +++)+(13524...n n n C C C +++,

设02424...n n n C C C +++=P,(13524...n n n C C C +++=Q,(1n =P+Q

同理1)n =Q-P,22Q P -=1,设2Q =s ，(1n +