线性系统理论_2
- 23 -
三、非齐次状态方程的解
Bu Ax x
+= 称为非齐次状态方程，其解描述控制作用下系统的强迫运动。常见如下两种解法。 1 积分法
定常线性系统的状态方程为
)()()(t Bu t Ax t x
+= (1.3.13) 由（1.3.13）有)()()(t Bu t Ax t x
=- ，两端左乘At
e -得：
)())()((t Bu e t Ax t x
e At At --=-
由于
))()(()()())((t Ax t x e t x
e t x Ae t x e dt
d At At At At
-=+-=---- 故 )())((t Bu e t x e dt
d At
At --=
在[0,t]区间取积分，有
τ
ττ
τττd Bu e x t x e d Bu e t x e
d t o
A At t
o A t
o
At
???----=-=)()0()()())((
两端左乘At
e
有：
τ
τττ
ττ
τττ
d Bu t x t d Bu
e x e d Bu e
e
x e t x t
o
t
o
t A At t
o
A At At ???-Φ+Φ=+=+=--)()()0()()()0()()0()()(
式中第一项为初始状态的转移项，第二项为输入作用的响应项。适当地选择控制作用，可使系统响应过程按预定性能指标变化。
若初始时刻为0t ，则按上述推导方法，在区间],[0t t 取积分，可得：
τ
ττ
ττ
τd Bu e
t x e
t x e
d Bu
e t x e
d t
t A At At
t
t A t
t At
???
-----=-=0
)()()()())((0
两端左乘At
e
有：
τ
τττ
ττd Bu t t x t t d Bu e t x e t x t
t t
t t A t t A ??-Φ+-Φ=+=--0
0)()()()()()()(00)(0)(
- 24 -
2 拉普拉斯变换法
对状态方程)()()(t Bu t Ax t x
+= 两端求拉氏变换有： )
()0()()()
()()0()(S Bu x S x A SI S Bu S Ax x S Sx +=-+=-
故
)()()0()()(11S Bu A SI x A SI S x ---+-=
取拉氏反变换有
)]()[()0(])[()(1111S Bu A SI L x A SI L t x -----+-= (1.3.14)
利用拉氏变换中的卷积定理
)()(])()([210
21S F S F d f t f L t
=-?τττ
有
?-=-t
d f t f S F S F L 0
21211
)()()]()([τττ
于是式(1.3.14)的第二项中的1
)(--A SI 和)(S Bu 分别看成是)()(21S F S F 与，同样得到：
τ
τττττd Bu t x t d Bu e x e t x t o
t
o t A At ??-Φ+Φ=+
=-)()()0()()()0()()
(
四、举例
例1-7 试求下列状态方程的状态转移矩阵)()(1t t -ΦΦ及。
???????????
?--=??????)()(3210)()(2121t x t x t x t x
解： 解法一 幂级数法
由于
?
?
????-=??
??
??--=151476
763232A A 故
?
???
??????+-+-+++-++-++-=+??
?
???-+??????--+??????--+??????=+++++
+=Φ 3232
323
233
3322223322252731373267231151476!31763221320
1001!
1
!31!21)(t t t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t A k t A t A At I t k k
- 25 -
解法二 拉氏变换法
?
?
????+-=??????---??????=-3213210
00S S S S A SI ???
?
???
???++
+-+++-+-++-+=?????
???????++++-+++++=?
?
????-+++=--2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3213231)(2
1
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S A SI
??
????+-+---=-=Φ----------t t t t t t t t e e e e e e e e A SI L t 22221
12222])[()( ??????+-+----=-Φ=Φ-t t t t t t t t e e e
e e e e e t t 22221
2222)()( 例1-8 试求下列状态方程在u(t)＝1作用下，[]T
x x x )0()0()0(21=时的解。
)(10)()(3210)()(2121t u t x t x t x t x
??
????+???????
?????--=?????? 由前面知，对非齐次状态方程
τ
ττ-ΦΦ+Φ=τ
ττ-Φ+Φ=??d )(Bu )()t ()0(x )t (d )(Bu )t ()0(x )t ()t (x t
o
t
o
由例1-7已知
??
?
???+-+---=Φ--------t 2t t
2t t 2t t
2t e 2e e
2e 2e e e e 2)t ( 于是
???
?????+---=τ??????+--=τ????
?????????+-+---=τττ-Φ???ττττττττττττt 2t t 2t t 022t
0t
02222e e 21e 21e d e 2e e e d 110e 2e e
2e 2e e e e 2d )(Bu )(
故
- 26 -
???
?????-+-+??
????+-+---=------------t t t t
t
t t
t t t t
t e e e e x e e e
e e e e e t x 2222222121)0(2222)( 注意：线性系统的输出可以采用叠加原理来求。
§1.4 动态方程与传递函数矩阵
系统以状态空间描述后，研究其输入、输出和状态变量间的传递特性，能进一步揭示两种基本描述的关系。
一、由动态方程求传递函数矩阵
设多输入-多输出线形定常连续系统动态方程为
Du Cx y Bu Ax x
+=+=, (1.4.1)
取拉氏变换有
)()()0()(s Bu s Ax x s sx +=- (1.4.2)
故 )()()0()()(11s Bu A sI x A sI s x ---+-=
该式表明初始状态向量x(0)至状态向量x(t)的传递关系由1)(--A sI 确定，输入向量至状态向量的传递关系由B A sI 1)(--确定。
)()()()0()()(11s Du s Bu A sI C x A sI C s y +-+-=-- (1.4.3)
该式表明初始状态向量x(0)至输出向量y(t)的传递关系由1
)(--A sI C 确定，输入向
量至输出向量的传递关系由D B A sI C +--1
)(确定。其中D 是输入向量对输出向量有前馈
传递的部分。
令初始条件为零，x(0)=0，则
)()()(])([)(1
s u s G s u D B A sI C s y ?
-=+-= (1.4.4)
式中
D B A sI C s G +-=-1)()(
定义为系统传递函数矩阵，它表示初始条件为零时，输出向量与输入向量拉氏变换式之间的传递关系，G （s ）为（q*p ）矩阵。式（1.4.4）的展开式为
??
?
???
?
?????????????????????=??????????????)()()()()()()()
()()()()()()()(212122221
1121121s u s u s u s g s g s g s g s g s g s g s g s g s y s y s y p qp q q p p q (1.4.5)
),,1.,,1()
()
()(p j q i s u s y s g j i ij ===
表示第j 个输入变量至第i 个输出变量之间的传
递函数。对于单输入-单输出系统，传递函数矩阵蜕变为传递函数。传递函数矩阵是系统的外部描述（即输入-输出描述），与状态变量无关。当p=q 时，G(s)是方阵．
当G(s)的所有元素的分母多项式最高幂次大于分子多项式最高幂次时，称G(s)为严格真有理分式矩阵。
- 27 -
只要G(s)的含有分母多项式最高幂次等于分子多项式最高幂次时，称G(s)为真有理分式矩阵。
二、组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵
由两个或两个以上子系统组成的系统称为组合系统。复杂系统通常是组合系统，其组合的基本方式有并联、串联、反馈三种。下面以含两个子系统21S S 、的组合系统为例，来研究其状态空间方程的建立及传递关系。设线性定常连续子系统动态方程为
2
222222222211111111111,,u D x C y u B x A x
S u D x C y u B x A x
S +=+=+=+= ：：
21S S 、的传递函数矩阵分别为)()(21s G s G 和。以三种方式联结的组合系统结构图见图
1.4.1，图中示出了组合系统的输入、输出，与两个子系统的输入、输出之间的关系，它们
确定了具体组合方式所应满足的条件。图中方块均记为i S (i=1,2)，它们既可表示为)(s G i ，又可展开为状态空间方块图。下面来分别研究组合系统的状态空间方程及传递函数矩阵，假定u 为p 维、，y 为q 维、11n x 为维、22n x 为维向量。
图1.4.1 两个子系统的组合联接
1 子系统的并联
联接条件为
2121,y y y u u u +=== (1.4.6)
上式表明，可并联的两子系统的输入21u u 与，两子系统的输出21y y 与，都必须具有相同维
数。
考虑式(1.4.6)，并联组合系统的动态方程为
?
?
?+++=+=+=u D D x C x C y u B x A x u B x A x
)(,21221122221111 (1.4.7) 记[]
T
T
T x x x 2
1=为组合系统的状态，并将式（1.4.7）写成分块矩阵形式，可得并联组合系统的状态空间描述为。
[]???
???
?++??????=??????+????????????=??????u
D D x x C C y u B B x x A A x
x
)(0021212121212121 (1.4.8)
- 28 -
组合系统的各系数矩阵A 、B 、C 、D 分别为式（1.4.8）中对应的分块矩阵，其传递函数矩阵G （S ）为
[])
()()()()()(00
)()()(21221221111121211211211s G s G D B A sI C D B A sI C D D B B A sI A sI C C D
B A sI
C s G +=+-++-=++???????????
?--=+-=----- 上式表明并联组合系统的传递函数矩阵为子系统传递函数矩阵之和。若将图1.4.1中的方块记为以)(s G i ，应用经典控制理论中的结构图变换规则可得出相同结论。
2 子系统的串联 联接条件为
2121,,y y y u u u === (1.4.9)
上式表明，可串联的两子系统，1S 的输出与2S 的输入应具有相同维数。
考虑式（1.4.9），串联组合系统的动态方程为。
?
?
?++=++=+=)()(,11122211122221111u D x C D x C y u D x C B x A x u B x A x
(1.4.10) 将其写成分块矩阵形式
[]???
???
?+??????=???
???+????????????=??????u
D D x x C C D y u D B B x x A C B A x
x 1221212121212111210 (1.4.11) 由式（1.4.11）所示各系数矩阵，读者可自行导出串联组合系统传递函数矩阵为
)()()(12s G s G s G = （1.4.12）
式（1.4.12）表明串联组合系统的传递函数矩阵为子系统传递函数矩阵的乘积，但应注意相乘顺序不得颠倒。若将图1.4.1中的方块记为)(s G i ，容易得到
)()()()()()()()(121222s u s G s G s y s G s u s G s y === （1.4.13）
故 )()()(12s G s G s G =
3 子系统的反馈联接
联接条件为
2121,u y y y u u ==-= (1.4.14)
上式表明，如图 1.4.1（c ）所示反馈联接的两子系统，21y u u 和、应具有相同维数，
21u y y 和、应具有相同维数。
推导反馈联接的组合系统的动态方程较为复杂，需消去中间变量21u u 和，将其表为
- 29 -
21x x u 和、的函数。由于
1
2111122212222)
(u u y u D x C D x C y D x C y -=++=+=
若存在112)(-+D D I ，则
)()(112221121u x C D x C D D I u +--+=- (1.4.15)
由于
111112u D x C y u +==
故
)()(112221211112u x C D x C D D I D x C u +--++=- (1.4.16)
于是动态方程为
)
()()()()()(1122212111121122212112112222112221211111u x C D x C D D I D x C u y u x C D x C D D I D B x C B x A x
u x C D x C D D I B x A x
+--++==+--+++=+--++=--- 将其写成分块矩阵形式
[]??
???
?+-+-=??????+++?
?
?
?????????+-+-+-++=??????--------2
12
1
2111
21
211112112121121212112212121121221211121211121)
()()()()()()()(x
x C D D I D C D D D I D C
y u D D I D B D D I B x x C D D I D B A C D D D I D B C B C D D I B C D D D I B A x x
当021==D D 时，有
[]?
?
?
???=??????+????????????-=??????21112121
22112100x x C y u B x x A C B C B A x x
可以导出反馈组合系统传递函数矩阵为
)())()(()(1121s G s G s G I s G -+= （1.4.17）
三、传递函数矩阵的状态空间实现
由传递函数矩阵确定对应的状态空间方程称为实现。
前面已经研究了将单输入-单输出系统的外部描述（系统传递函数）化为状态空间描述的问题，并导出了可观测标准型、可控标准型、A 为对角型和约当型等四种典型的状态空间方程，这便是传递函数的实现。本章研究多变量系统传递函数矩阵的实现理论和一般方法，研究实现问题，能深刻揭示系统的内部结构特性。便于分析与计算系统的运动，便于在状态空间对系统进行综合，便于对系统进行计算机仿真，在理论和应用上均具有重要意义。
- 30 -
1 实现问题基本概念
实现的定义：给定线性定常系统的传递函数矩阵G(s)，寻求一个状态空间描述
Du Cx y Bu Ax x
+=+=, (1.4.18) 使
D B A sI C s G +-=-1)()( (1.4.19)
则称此状态空间描述是给定传递函数矩阵G （s ）的一个实现，简称（A ，B ，C ，D ）是G （s ）的一个实现。
以上定义表明，实现问题的实质就是已知系统的外部描述，去寻求一个与该外部描述相同的假想的状态空间结构。由于状态变量（状态空间基底）选取的不同，同一G （S ）能导出维数相同但数值特性不同的（A ，B ，C ，D ），这一点已由单输入-单输出系统传递函数的四种典型实现所证实；基于传递函数矩阵只反映系统可控且可观测部分的特性这一研究结论，不难分析得知，由同一G （s ）还能导出A 具有不同维数的实现，其中含有不同个数的不能控或/和不能观测的状态变量。故G （s ）的实现具有非唯一性，且有无穷多种实现方式，某特定实现称G （S ）的一个实现。 在众多实现中，可观测类和可控类实现是最常见的典型实现方式，这时，所寻求的（A ，B ，C ，D ），不但满足传递函数关系，且是（A ，B ）可控或（A ，C ）可观测的。由于这类典型实现本身已经从某个方面揭示了系统的内部结构特性，于是更容易过渡到寻求G （s ）的维数最小的实现问题。所谓维数最小的实现，是指A 的维数最小，从而也使B ，C ，D 的维数最小，它能以最简单的状态空间结构去获得等价的外部传递特性。无疑，最小实现在实现问题中是最为重要的。
如果已经确定某真实系统是可控、可观测的，则在该G(s)的众多实现方式中，唯有最小实现才是真实系统的状态空间结构。最小实现一定是可控、可观测的。 鉴于多输入-多输出系统传递函数矩阵的实现问题比较复杂，有兴趣的读者可参阅有关文献，这里只研究单输入-多输出、多输入-单输出系统，前者的传递函数矩阵是列向量，后者的传递函数矩阵是行向量。
2 单输入-多输出系统传递矩阵的实现
图1.4.2 单输入-多输出和多输入-单输出系统结构图
其结构图如图1.4.2所示，系统由q 个独立的子系统组成，传递矩阵G （S ）为
)(?)(?)(?)(?)(?)()()(11111s G d s g s g d d s g d s g
d s g s g s G q q q q q +=????
??????+??????????=??????????++=??????????=?
(1.4.20)
式中d 为常数向量，当)(s g i 的分母、分子多项式最高幂次相同时，0≠i d 。为)(?s g
i 严格有理真分式（其分母多项式最高幂次大于分子多项式最高幂次）．通常)(?,),(?1s g s g
q 的
- 31 -
分母并不相同，设最小公分母为
0111)(a s a s a s s D n n n ++++=-- (1.4.21）
则)(?s G
的一般形式为 ????
?
?????++++++=----0,1,11,0,11,111,1)
(1)(?q q n n q n n s s s s s D s G ββββββ (1.4.22) 将)(?s G
进行串联分解，并引入中间天量z ，令 )1(1,,),()
(1
)(-===
n n z x z x s u s D s z (1.4.23) 式中)
(1
s D 是q 个子系统传递函数的公共部分。由于单输入，其输入矩阵为一列；由于多
输出，其输出矩阵为q 行，故可导出可控标准形实现的状态方程：
bu Ax u x a a a a x n +=??
??????
????????+???????
?????????----=?
-100010
00010
00010121
(1.4.24)
各子系统的输出方程均为z 及其各阶导数的线性组合，考虑式（1.4.23）有
???
??++++=++++=--u d x x x y u
d x x x y q q q n n q q
n n 10,21,1,110,121,11,11βββ
βββ
(1.4.25) 其向量-矩阵形式为
Du Cx u d d x y y y q qn q q n q +=????
??????+?????
????
?=??????????=?
--
111
0111110
1ββββββ (1.4.26)
该系统的输出矩阵C 为（qxn ）矩阵，b 为（n*1）向量，故不存在对偶的可观测标标
准形实现，但可能存在对角形或约当形实现。
3 多输入-单输出系统传递矩阵的实现
其结构图如图1.4.2所示，系统由p 个独立子系统组成。传递函数矩阵G （S ）为
[]
[][][
]
)(?)(?)(?)(?)(?)
()()(11
11
1s G d s g s g
d d
s g d s g
d s g s g s G p p p p p +=+=++==?
(1.4.27)
- 32 -
同理设)(?,),(?1s g s g p 的最小公分母为式（1.4.21），则
[]
[]
0111,101111,11)
(1
)(p p n n p n n p s s s s s D d d s G ββββββ+++++++
=---- (1.4.28)
由于多输入，其输入矩阵为P 列；由于单输出，其输出矩阵为一行，故可导出可观测标准形实现的动态方程，即
Bu Ax u u u u x a a a a x p n p n n p p p n +=??
??????????????????????????????+???
??
???????????----=?
----
3211,1
,21,12
22
12
121110
20
10
1210100
0100010
00βββββββββ
βββ [][
]
Du Cx u d d d x y p +=+=?
21
100
该系统的输入矩阵B 为（n*p ）矩阵，C 为（l*n ）向量，故不存在对偶的可控标准形实现，但可能存在对角形或约当形实现。
例1-9试求下列系统传递函数矩阵的可控标准形（可观测标准形）实现及对角形实现。
??
??
??+++++=???
?
?
?
??????+++++=14)2)(1(3
)(14)2)(1(3)(21s s s s s s G s s s s s s G
解：)(1s G 为单输入-双输出情况，b 为一列，由于双输出，其输出矩阵为二行，A 由
D(s)确定。
???
???+++=??
????+++++??????=?????
?
??????+++++=?633)(1)2(33)2)(1(11014)2)(1(3)(11s s s D d s s s s s s s s s s G 其可控标准形为
u x du Cx y u x bu Ax x ?
?
?
???+??????=+=?
?
?
???+??????--=+=103613103210
由0)(=s D 确定系统的极点为-1、-2，它们是对角形状态阵的元素。由于输入矩阵只有一
列，故b 阵是元素全为l 的列向量，对成形实现的状态方程为
u x bu Ax x ??
?
???+?
?????--=+=112001 其输出矩阵有二行，C 阵由对应极点的留数确定。)(?1
s G 在极点-1、-2的留数分别为：
- 33 -
??
????-=???
???+++=
+=??????=???
???+++=+=-=-=-=-=0163311)2)((?3263321)1)((?22
1
211
1
1s s s s s s s s s G c s s s s s G c
故对角形实现的输出方程为
u x du Cx y ?
?
?
???+??????-=+=100312 )(2s G 为双输入-单输出情况，B 为两列，c 为一行，A 由D(s)确定。
[][][]633)
(1
633)2)(1(11014)2)(1(3)(22+++
=+++++=??????+++++=?s s s D d s s s s s s s s s s G
故其可观测标准形为
[][]u
x du cx y u x Bu Ax x 101031633120+=+=?
??
???+??????--=+=
§1.5 线性离散系统的动态方程及其解
有些系统是完全离散的，其输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息；有些系统是局部离散的，其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息，唯系统中的计算机传送处理离散信号。这时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分离散化。为研究方便，不论完全的或局部的离散系统，均假定采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。
经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里导出状态空间描述以便揭示系统内部结构特性。至于离散系统或离散化系统的状态模型建立之后，它们的解法则是一样的。
一、由差分方程或脉冲传递函数建立动态方程
先从单输入-单输出系统入手研究。单输入-单输出线性定常离散系统差分方程的一般形式为
)
()1()1()()()1()1()(011011k u b k u b n k u b n k u b k y a k y a n k y a n k y n n n ++++-+++=++++-+++-- (1.5.1)
式中k 表示kT 时刻。T 为采样周期；y(k)为kT 时刻的输出量；u(k)为kT 时刻的输入量。i i b a ,是与系统特性有关的常系数。
初始条件为零时，离散系统的z 变换关系为
)()]([),
()]([z y z i k y Z z y k y Z i =+=
对式（l.5.1）进行z 变换，整理得
- 34 -
)()
()()()(0
111011
10
1110
111z D z N b a z a z a z z z
b a z a z a z b z b z b z b z u z y z G n
n n n n n n n n n
n n n n +=++++++++
=++++++++==?
-------- βββ (1.5.2)
G(z)称为脉冲传递函数。显见式（1.5.2）与连续系统的传递函数在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适用的，例如，在)
()
(z D z N 的串联分解实现中，引入中间变量Q(z)，则有
)
()()()()()()()()()(011
10111z u b z Q z zQ z Q z z y z u z Q a z zQ a z Q z a z Q z n n n n n n ++++==++++----βββ (1.5.3)
定义如下一组状态变量；
)
()()()()()()
()(11121z zx z Q z z x z zx z zQ z x z Q z x n n n --=====
(1.5.4)
于是
)
()()()()()()()()()()(1211012110z u b z x z x z x z y z u z x a z x a z x a z zx z Q z n n n n n n n ++++=+----==--βββ (1.5.5)
利用z 反变换关系
)1()]([),
()]([11+==--k x z zx Z k x z x Z i i i i (1.5.6)
由式（l.5.4）和式（1.5.5）可得动态方程
)
()()()()()()()()()1()
()1()()1()()1(121101*********k u b k x k x k x k y k u k x a k x a k x a k x k x k x k x k x k x k x n n n n n n n n ++++=+----=+=+=+=+---βββ
(1.5.7)
其向量-矩阵形式为
[])
()()()
(1000)()()()(100001000010
)1()1()1()1(1101211210121k u b k x k y k u k x k x k x k x a a a a k x k x k x k x n n n n n n n +=???
?????????????+????????????????????????????????----=????????????????++++----βββ
- 35 -
简记为
??
?+=+=+)
()()()
()()1(k du k Cx k y k hu k Gx k x (1.5.8) 式中G 为友矩阵，G ，h 是可控标准形。由式（1.5.8）可见，离散系统状态方程描述了（k ＋1）T 时刻的状态与kT 时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了kT 时刻的输出量与kT 时刻的状态、输入量之间的关系。
与连续系统的情况相类似，单输入-单输出线性定常离散系统的动态方程的形式可推广到多输入-多输出系统，有
??
?+=+=+)
()()()
()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x (1.5.9) 线性定常离散系统的一般结构图如图1.5.1所示，图中1
-z 为单位延迟器，其输入为
（k ＋1）T 时刻的状态，其输出为延迟一个采样周期的kT 时刻的状态。
图1.5.1线性定常离散系统结构图
例1-10：离散系统的运动方程为
)()(6)1(5)2(2)3(k u k y k y k y k y =++++++
试写出状态方程和输出方程。
解：按前述方法，可得
[])
(001)()(100)(256100010)1(k x k y k u k x k x =????
?
?????+??????????---=+
例1-11：离散系统的运动方程为
)(2)1()(3)1(5)2(k u k u k y k y k y ++=++++
试写出状态方程和输出方程。
解：按前述方法，可得
[])
(12)()(10)(5310)1(k x k y k u k x k x =???
???+??????--=+
二、定常连续动态方程的离散化
已知定常连续系统状态方程
Bu Ax x
+=
- 36 -
在)(0t x 及u （t ）作用下的解为
?-Φ+-Φ=t
t d Bu t t x t t t x 0
)()()()()(00τττ (1.5.10)
令kT t =0，有)()()(0k x kT x t x ==；其中T 为采样周期，一般取小于系统中最小时间常数的1/10。令t=(k+1)T ，有x[（k ＋1）T]=x （k ＋1）；在]1,[+∈k k t 时u(k)为常数，于是其解为
?
+-+Φ+Φ=+T
k kT
d k Bu T k k x T k x )1()())1(()()()1(ττ (1.5.11)
记
?
+-+Φ=T
k kT
Bd T k T H )1())1(()(ττ (1.5.12)
为便于计算H （T ），引入下列变量置换，即令
')1(ττ=-+T k
则
??Φ=Φ-=T
T
Bd Bd T H 0
0')'(')'()(ττττ (1.5.13)
故离散化系统状态方程为
)()()1(k Hu k Gx k x +=+ (1.5.14)
其中
T t t T G =Φ=Φ=|)()(
离散化输出方程为
)()()(k Du k Cx k y +=
例1-12：考虑如下二阶线性定常系统
u x x ??
?
???+??????-=102010
设采样周期T=0.1s ，求其离散化模型。
解：首先确定系统的状态转移矩阵，由于
?????
?
??????++=??
????+-=---210)2(11201)
(1
1
s s s s s s A sI
求拉普拉斯变换得到
??
?
???-=Φ--t
t e e t 220)1(5.01)( 则
- 37 -
?????
?=??????+--+=????????????-=Φ=??
?
???=??????-=Φ=------??091.0005.05.05.025.025.05.0100)1(5.01)(819.00091.010)1(5.01)(2202202
.02.0T
T T t t T e e T dt e e Bdt t H e e T G 这样，离散化后系统的模型为
)(091.0005.0)(819.00091.01)1(k u k x k x ?
?
?
???+??????=+
三、定常离散系统动态方程的解
离散或离散化状态方程的解法是一样的，这里仅介绍常用的递推法，该法也适用于时变离散系统，且便于在计算机上求解。
令(1.5.14)中k=0,1,…,k -1,可得到T,2T, …,kT 时刻的状态为
∑-=----+=-+-+++=-+-=-=+++=+==++=+==+==1
0121232)
()0()1()2()1()0()0()
1()1()(:1)2()1()0()0()2()2()3(:2)
1()0()0()1()1()2(:1)
0()0()1(:0k i i k k
k k k i Hu G x G k Hu k GHu Hu G Hu G x G k Hu k Gx k x k k Hu GHu Hu G x G Hu Gx x k Hu GHu x G Hu Gx x k Hu Gx x k
上式为离散系统状态方程的解。
四、脉冲传递函数矩阵
考虑线性定常离散系统
)
()()()
()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x +=+=+ (1.5.15)
令初始条件为零，对式(1.5.15)取z 变换，可得
)
()()()
()()(z Du z Cx z y z Hu z Gx z zx +=+= (1.5.16)
则
)()()(])([)(1
z u z G z u D H G zI C z y ?
-=+-= (1.5.17)
其中
D H G zI C z G +-=-1)()( (1.5.18)
是线性定常离散系统（1.5.15）的脉冲传递函数矩阵。
线性系统理论大作业小组报告-汽车机器人建模
审定成绩： 重庆邮电大学 硕士研究生课程设计报告 （《线性系统理论》） 设计题目：汽车机器人建模 学院名称：自动化学院 学生姓名： 专业：控制科学与工程 仪器科学与技术 班级：自动化1班、2班 指导教师：蔡林沁 填表时间：2017年12月
重庆邮电大学
摘要 汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,应用现代控制理论设计出很多控制算法,对汽车进行控制是非常必要的，本文以汽车机器人为研究对象，对其进行建模和仿真，研究了其模型的能控能观性、稳定性，并通过极点配置和状态观测器对其进行控制，达到了一定的性能要求。这些研究为以后研究汽车的自动驾驶和路径导航，打下了一定的基础。 关键字:建模、能控性、能观性、稳定性、极点配置、状态观测器
目录 第一章绪论 (1) 第一节概述 (1) 第二节任务分工 (2) 第二章系统建模 (2) 2 系统建模 (2) 2.1运动学模型 (2) 2.2自然坐标系下模型 (4) 2.3具体数学模型 (6) 第三章系统分析 (7) 3.1 能控性 (7) 3.1.1 能控性判据 (7) 3.1.2 能控性的判定 (8) 3.2 能观性 (10) 3.2.1 能观性判据 (10) 3.2.2 能观测性的判定 (12) 3.3 稳定性 (13) 3.3.1 稳定性判据 (13) 3.3.2 稳定性的判定 (14) 第四章极点配置 (15) 4.1 极点配置概念 (15) 4.2 极点配置算法 (15) 4.3 极点的配置 (16) 4.4 极点配置后的阶跃响应 (17) 第五章状态观测器 (18) 5.1概念 (19) 5.2带有观测器的状态反馈 (20) 5.3代码实现 (21) 5.4 极点配置和状态观测器比较 (23)
线性系统理论大纲
北京化工大学 攻读博士学位研究生入学考试 《线性系统理论》考试大纲 一、适用的招生专业 控制理论与控制工程； 二、考试的基本要求 要求考试比较系统地理解线性系统状态空间设计方法的基本概念和基本理论，掌握线 性系统的状态空间分析和设计方法，要求考试具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力 和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 三、考试的主要内容与要求 （▲表示应掌握；■表示应理解；?表示应了解） 1．▲线性系统的状态空间描述 传递函数表达与状态空间描述之间的相互转换；代数等价；组合系统的状态空间描述。2．线性系统的运动分析 ▲状态转移矩阵的定义、性质；▲定常和时变系统的状态转移矩阵求解；▲定常和时变系统的状态运动分析；■连续系统的离散化；■离散系统的运动分析。 3．线性系统能控性和能观性分析 ▲能控性及能观性定义；▲时变和定常系统的能控性及能观测性判别；■对偶原理；▲能控、能观规范型；?结构分解。 4．线性系统稳定性分析 ▲Lyapunov意义下的运动稳定性定义；■Lyapunov稳定性理论；■线性系统的Lyapunov稳定性分析；?离散系统的状态运动稳定性及判据。 5．线性系统的综合设计理论 ▲状态反馈和输出反馈的比较；极点配置问题的定义，▲极点配置条件；单变量系统的极点配置算法；■状态反馈的镇定问题；?输入——输出静态、动态解耦的定义、条件和算法；?跟踪控制；?线性二次型最优问题；▲观测器的提法、分类、与存在条件；▲全维状态观测器的设计；?降维状态观测器的设计；■观测器状态反馈控制系统及分离原理。 四、考试参考书 郑大钟，线性系统理论。北京：化学工业出版社。
线性系统理论
系统控制的理论和实践被认为是对20世纪人类生产和社会活动产生重大影响的科学领域之一。其中，线性系统理论是系统控制理论中最基础，最成熟的分支。系统存在于自然界和人类社会的各个领域。从系统控制理论的角度来看，它通常被定义为具有某些相关功能和受限制部分的特定功能的整体。系统状态由描述系统行为的变量表示。它具有完整性，抽象性和相对性的特征。 摘要 线性系统科学与技术是一门应用广泛的学科。面对各种各样的复杂系统，控制对象可以是确定性的或随机的，并且控制方法可以是常规控制或最优控制。控制理论与社会生产和科学技术的发展密切相关，并且在近代发展迅速。线性系统理论是现代控制理论中最基础，最成熟的分支，是控制科学的重要课程之一。 线性系统理论内容丰富，思想深刻，方法多样，富有美感。它不仅为线性控制系统的建模，分析和综合提供了完整的理论，而且还包含许多解决复杂问题的方法。这些方法简化了系统的建模，分析和综合，为系统控制理论的其他分支和其他学科提供了参考。它们是解决复杂问题的有效方法。 线性系统理论的发展经历了两个阶段：经典线性系统理论和现代线性系统理论。 古典理论形成于1930年代和1940年代。奈奎斯特在1932年提出了反馈放大器的稳定性理论。波特在1940年代初提出了波特图。埃文斯在1948年提出了根轨迹理论。这表明了经典线性控制理论的
形成。古典理论在第二次世界大战中的应用取得了巨大的成功。本文主要研究单输入单输出线性时不变系统。 1950年代后，随着航空技术的发展和控制理论的应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日益明显。这种情况促进了线性系统的研究，从1960年以后的古典阶段到现代阶段。美国学者R.E.卡尔曼首先将状态空间方法应用于多元线性系统的研究，提出了可控性和可观测性两个基本概念，并提出了相应的标准。1963年，例如吉尔伯特，他得到了揭示线性系统结构分解的重要结果，为现代线性系统理论的形成和发展做出了开创性的工作。1965年后，现代线性系统理论又得到发展。有许多研究多元系统的理论和方法，例如线性系统的几何理论，线性系统的代数理论和多变量频域方法。随着计算机技术的发展，线性系统的计算方法和计算机辅助设计受到越来越多的关注。
线性系统理论
Linear Systems Theory: A Structural Decomposition Approach 线性系统理论: 结构分解法 Ben M. Chen （陈本美） 新加坡国立大学 Zongli Lin（林宗利） 美国弗吉尼亚大学 Yacov Shamash (雅科夫 司马诩) 美国纽约州立大学石溪分校
此书献给我们的家人 前两位作者谨以这中译版献给他们的母校 厦门大学
目录 绪论 1 导论和预览 1.1 背景 1.2 各章预览 1.3 符号和术语 2 数学基础 2.1 导论 2.2 矢量空间和子空间 2.3 矩阵代数和特性 2.3.1 行列式、逆和求导 2.3.2 秩、特征值和约当型 2.3.3 特殊矩阵 2.3.4 奇异值分解 2.4 范数 2.4.1 矢量范数 2.4.2矩阵范数 2.4.3 连续时间信号范数 2.4.4 离散时间信号范数 2.4.5 连续时间系统范数 2.4.6 离散时间系统范数 3 线性系统理论复习 3.1 导论 3.2 动态响应 3.3 系统稳定性 3.4 可控性和可观性 3.5 系统可逆性 3.6 常态秩、有限零点和无限零点3.7 几何子空间 3.8 状态反馈和输出馈入的特性3.9 练习
4 无驱动和/或无检测系统的分解 4.1 导论 4.2 自治系统 4.3 无驱动系统 4.4 无检测系统 4.5 练习 5. 正则系统的分解 5.1 导论 5.2 SISO系统 5.3 严格正则系统 5.4 非严格正则系统 5.5 结构化分解特性的证明 5.6 系统矩阵的Kronecker型和Smith型5.7 离散时间系统 5.8 练习 6 奇异系统的分解 6.1 导论 6.2 SISO奇异系统 6.3 MIMO描述系统 6.4 定理6.3.1的证明和性质 6.5 离散时间奇异系统 6.6 练习 7 双线性变换的结构化映射 7.1 导论 7.2 连续到离散时间系统的映射 7.3 离散时间到连续时间系统的映射7.4 定理7.2.1的证明 7.5 练习 8 系统因子分解 8.1 导论 8.2 严格正则系统 8.3 非严格正则系统 8.4 离散时间系统 8.5 练习 9 通过选择传感器/执行器实现的结构配置9.1 导论 9.2 同时有限和无限零点结构配置 9.2.1 SISO系统 9.2.2 MIMO系统
线性系统理论历年考题
说明： 姚老师是从07还是08年教这门课的，之前的考题有多少参考价值不敢保证，也只能供大家参考了，重点的复习还是以课件为主，把平时讲的课件内容复习好了，考试不会有问题（来自上届的经验）。 祝大家考试顺利！ （这个文档内部交流用，并感谢董俊青和兰天同学，若有不足请大家见谅。） 2008级综合大题 []4001021100101 1 2x x u y x ???? ????=-+????????-????= 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定； 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵2 14161 24,() 2.0 0M B AB A B rank M ?? ?? ??==-=???????? 系统不完全可控，不能任意配置极点。
2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1 1 401200 1P -?? ??=-?????? ，求得120331 1066 00 1P ?? ????? ?=-????????? ? 进行变换[] 1 1 20831112,0,2 2 26000 1 A PAP B PB c cP --? ? ?? ???? ????=-====???? ??????????? ? 所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+???????????=? 3. 1 2(1)(1)2(1)()()(4)(2)(1) (4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= = -++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++， 系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 1 2(1)()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11 228,12T k k k k A Bk k +???? =+=??? ??? ?? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程* 2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++
信息光学习题答案
信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx d x g = （2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2 ? ∞ ∞ --= αααd x h f x g （5） ()()απξααd j f ?∞ ∞ --2exp 解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=?? ? ??π 证明：左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞ -∞ =-n n x )2(2δ 所以当n 为偶数时，左右两边相等。 1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式 0)(,) () ()]([1 ≠''-= ∑ =i n i i i x h x h x x x h δδ 式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是 )() ()(sin x comb n x x n =-=∑∞ -∞ =π δπ ππδ
线性系统理论多年考题和答案
2008级综合大题 []400102110010112x x u y x ????????=-+????????-????=& 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！） 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵21416124,() 2.000M B AB A B rank M ?? ????==-=???? ???? 系统不完全 可控，不能任意配置极点。 2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P -????=-??????，求得1203311066 001P ?? ?? ?? ??=-?????? ???? 进行变换[]11 20831112,0,22260001A PAP B PB c cP --? ??????? ????=-====???? ???????? ????
所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+?????????? ?=? & 3. 12(1)(1)2(1) ()()(4)(2)(1)(4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= =-++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 12(1) ()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11228,12T k k k k A Bk k +???? =+=???????? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程*2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++ 比较上两式求得：728T k -?? =??-?? 6. 可以。设12l L l ??=????，则11222821222l l A LC l l --?? -=? ?--?? 特征方程2 2121()(222)1628f s s l l s l l =+-++-- 期望特征方程*2 ()(4)(5)920f s s s s s =++=++ 比较得：103136L ???? =????????
线性系统理论综述
线性系统理论课程大作业论文线性系统理论综述及其应用
这学期学习的线性系统理论属于系统控制理论的一个最为基本和成熟发展的分支，主要包括以下内容：介绍采用系统理论解决工程问题的一般步骤，明确建模、分析、综合在解决实际问题中的作用，并重点介绍线性系统模型的特征和分析方法；介绍系统的状态空间描述，结余状态空间方法的分析和系统结构特征和结构的规范分解以及状态反馈及其性质等。 一．线性系统理论研究内容综述 系统是系统控制理论所要研究的对象，从系统控制理论的角度，通常将系统定义为由相互关联和相互制约的若干部分组成的具有特定功能的整体。 动态系统是运动规律按照确定规律或者确定的统计的规律岁时间演化的一类系统，动态系统的行为由各类变量间的关系来表征，系统的变量可以分为三种形式，一类是反映外部对系统的影响或者作用的输入变量组，如控制、投入、扰动等；二是表征系统状态行为的内部状态变量组；三是反映系统外部作用或影响的输入变量组如响应，产出。表征系统动态的过程的数学描述具有两类基本形式，一是系统的内部描述，另一组是输入变量对状态变量的组的动态影响。从机制的角度来看，动态系统可被分类为连续系统变量动态系统和离散事件动态系统；从特征的角度，动态系统可分别分类为线性系统和非线性系统，参数集成系统和分布参数系统；从作用时间类型角度，动态系统可被称为连续时间系统和离散时间系统。 线性系统理论是系统控制理论最为成熟和最为基础的分支。他是现代控制理论的一个重要组成部分，也是对经典控制理论的延申。现代控制理论主要是着重研究现性状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法。线性系统的理论和方法是建立在建模的基础上。在建模的基础上，可以进一步把线性系统的理论进一步区分为“分析理论”和“综合理论”。分析理论分为定量分析和定性分析，定量分析是着重于研究对系统性能和控制具有重要意义的结构特性。系统综合理论是建立在分析的基础上，系统综合目的是使系统的性能达到期望的指标或实现最优化。 线性系统理论的研究对象为线性系统，线性系统为最为简单和最为基本的一类动态系统。线性系统理论是系统控制理论中最为充分、发展最为成熟和应用最为广泛的一个开支。线性系统的的一个基本特征是其模型满足线性叠加原理。对于线性系统的研究也可以进一步分为线性是不变系统和线性时不变系统两类。对系统进行建模也是控制理论中具有重要的作用。对系统建模的作用多样性和基本型、途径以及系统的建模的准则=====系统建模的简单性和分析的结果的准确性之间做出适当的折中。 线性控制理论在1960年前后开始了从经典控制理论到现代理论的过渡。反应这种过渡的重要标志成果是，卡尔曼把在分析力学中广为采用的状态空间描
线性系统理论_中英文对照
[Linear system theory and design] Absolutely integrable 绝对可积 Adder 加法器 Additivity 可加性 Adjoint 伴随 Aeronautical航空的 Arbitrary 任意的 Asymptotic stability渐近稳定 Asymptotic tracking 渐近跟踪 Balanced realization 平衡实现 Basis 基 BIBO stability 有界输入有界输出稳定 Black box 黑箱 Blocking zero 阻塞零点 Canonical decomposition 规范分解 Canonical规范 Capacitor 电容 Causality 因果性 Cayley-Hamilton theorem 凯莱-哈密顿定理Characteristic polynominal 特征多项式 Circumflex 卷积
Coefficient 系数 Cofactor 余因子 Column degree 列次数 Column-degree-coefficient matrix 列次数系数矩阵Column echelon form 列梯形 Column indices 列指数集 Column reduced 列既约 Common Divisor公共因式 Companion-form matrix 规范型矩阵Compensator 调节器，补偿器 Compensator equation补偿器方程 Control configuration 控制构型Controllability 能控性 Convolution 卷积 Conventional常规的 Coprimeness互质 Corollary推论 Cyclic matrix 循环矩阵 Dead beat design 有限拍设计 Decoupling 解耦 Degree of rational function有理矩阵的次数Description of system系统描述
线性系统理论试卷
湘潭大学研究生考试试题 考试科目：线性系统理论/现代控制理论考生人数：20考试形式：闭卷 适用专业： 双控单控/电传 适用年级：一年级 试卷类型： A 类 一、给定多项式矩阵如下： 22121()1 2s s s s D s s s ?? ?????? ++++= ++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？ 2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？ 3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。 二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中： 210 ()21s D s s s s ? ? ????? ? -= +-+，()11N s s s ???? =-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。 三、给定()G s 的一个左MFD 为： 1 210 1 0()112 1s s G s s s s -? ? ?? ?????????? ? ? -+= +-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。 四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD ： 21 1 0()102 2s s s G s s s s s ????????? ? ?? += +++ 五、给定系统的传递函数矩阵为
22 3 (1)(2)(1)(2)()31(1)(2) (2)s s s s s s G s s s s s s ???? ?? ??????? ? +++++= +++++ 试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。 六、给定传递函数矩阵如下： 2 2221156()1253 43s s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。 七、给定系统的传递函数矩阵如下： 2 2211 154()14 3 712s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试求出一个控制器型实现。 八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD 2 2 141()143 32s s s s G s s s s s ?? ?? ?? ??? ??? ++-= ++++ 九、给定系统的传递函数矩阵如下： 1 2 2 430 11()221 21s s s s G s s s s s -?????? ??????? ?? ? ++-+= +++ 试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为： 12λ*=-， 23λ*=-， 4,5 42j λ* =-±
光学信息技术第三章习题
第三章习题解答 3.1参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（ 3.35 ）式时，对于积分号前的相位因子 相对于它在原点之值正好改变n 弧度? 设光瞳函数是一个半径为 a 的圆，那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是 多少? 时可以弃去相位因子 由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为 的条件是 式中r x 2 y 2，而 试问 exp j#(x ； y o ) 2d o 2 2 x y i M 2 (1) 物平面上半径多大时，相位因子 exp j￡(x 0 y 0) d o (2) (3) 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么 a ，入和d o 之间存在什么关系 exp k 2 2 (x 。 y 。) 2d o (2) y 2) 賦 2d o ,r o ... d o 根据（3.1.5 ） 式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图 样，其中心位于理想像点 (%, %) h(x °,y °;x, y) 1 2 d °d i 2 P (x,y)exp jp (xi %)2 (yi %)2]dxdy r circ 一 a J_aJ,2 a ) 2 d o d i
(3)根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点 扩散函数对于原点的贡献 h(x ),y 0;0,0) o 按照上面的分析，如果略去 h 第一个零点以 外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献， 那么这个贡献仅仅来自于物平面原点 附近r 。 0.61 d 。/ a 范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子 2 exp[jkr ° /2d °]变化不大，就可认为(3.1.3 )式的近似成立，而将它弃去，假设小区 域内相位变化不大于几分之一弧度(例如 /16 )就满足以上要求，则 kr ；/2d 0 16 2 r ° d °/16，也即 a 2.44. d 0 (4) 例如 600nm , d ° 600nm ，则光瞳半径a 1.46mm ,显然这一条件是极易满足 的。 3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在 X 0Z 平 面内，与z 轴夹角为Bo 透镜焦距为 f ,孔径为D O (1) 求物体透射光场的频谱； (2) 使像平面出现条纹的最大B 角等于多少？求此时像面强度分布； (3) 若B 采用上述极大值， 使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与B =0时的截 止频率比较，结论如何? (% y o )2 (d i 在点扩散函数的第一个零点处, J ,(2 a ) 0 ,此时应有2 a 3.83，即 0.61 (2) 将(2)式代入(1 )式，并注意观察点在原点 ( X i y 0) ，于是得 r o 0.61 d o a (3) t(X 0,y °) cos 2 f °X 0 2
线性系统理论
线性系统理论之观察 摘要 系统控制的理论和实践被认为是20世纪对人类生产活动和社会发生重大影响的科学领域之一。在系统和控制科学领域内，线性系统是基本的研究对象，并在过去几十年中取得了众多结果和重要进展，已经形成和发展为相当完整和相当成熟的线性系统理论。线性系统理论的重要性首先在于它的基础性，其大量的概念、方法、原理和结论，对于系统与控制理论的许多学科分支，诸如最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等，都具有重要和基本的作用，成为学习和研究这些学科必不可少的基础知识。 关键词最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等 线性系统理论的主要内容 线性系统理论着重于研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数和性能间的确立和定量的关系。通常，研究系统运动规律的问题称为分析问题，研究改变运动规律的可能性和方法的问题则为综合问题。从哲学的角度而言，前者属于认识系统的范畴，后者属于改造系统的范围。 线性系统的理论和方法是建立在其模型基础之上的。不管是对系统进行分析还是综合，一个首要的前提是建立器系统数学模型。建立模型时，最重要的是确定什么是需要反映和研究的主要系统属性，并在此基础上来定出他们的定量关系。随着所观察问题的性质的不同，
一个系统可以有不同的模型，它们代表了系统不同侧面的属性。系统数学模型的基本要素是变量、参量、常量和它们之间的关系。变量包括状态变量、输入变量和输出变量，有些情况下还需考虑扰动变量。参量可以是系统的参数或表征系统性能的参数，前者受系统环境的影响课产生变动，后者可随设计要求而人为地改变其取值。常量是指系统中不随时间改变的参数。线性系统的数学模型有两种主要形式，即时间域模型和频率域模型。时间域模型变现为微分方程组或差分方程组，可同时适用于线性时不变和线性时变系统。频率域模型表现为传递函数和频率响应，只适用于线性时不变系统。对应于系统的这两项模型，已经发展和形成线性系统理论中的两类不同方法。 （1）线性系统分析理论 （2）线性系统综合理论 线性系统理论的主要内容包括：①与系统结构有关的各种问题，例如系统的结构分解问题和解耦问题等。系统结构的规范分解（见能观测性）是其中的著名结果。②关于控制系统中反馈作用的各种问题，包括输出反馈和状态反馈对控制系统性能的影响和反馈控制系统的综合设计等问题。极点配置是这方面的主要研究课题。③状态观测器问题，研究用来重构系统状态的状态观测器的原理和设计问题。④实现问题，研究如何构造具有给定的外部特性的线性系统的问题，主要研究课题是最小实现问题。⑤几何理论，即用几何观点研究线性系统的全局性问题(见线性系统几何理论)。⑥代数理论，用抽象代数方法研究线性系统，把线性系统理论抽象化和符号化。其中最有名的是模
2014《现代控制理论》学习指导书及部分题目答案
现代控制理论学习指导书第一部分重点要点 线性系统理论 线性系统数学模型 稳定性、可控性和可观测性 单变量极点配置的条件和方法。 最优控制理论 变分法 极小值原理 最优性原理 动态规划 最优估计理论 参数估计方法 掌握最小方差估计和线性最小方差估计方法 状态估计方法 预测法，滤波 系统辨识理论 经典辨识方法 最小二乘辨识方法 系统模型确定方法 自适应控制理论 用脉冲响应求传递函数的原理和方法。 两种设计方法
智能控制理论 掌握智能控制的基本概念、基本方法以及智能控制的特点。 了解分级递阶智能控制、专家控制、神经网络控制、模糊控制、学习控制和遗传算法控制的基本概念 第二部分练习题 填空题 1.自然界存在两类系统：______静态系统____和______动态系统____。 2.系统的数学描述可分为___外部描述_______和___内部描述_______两种类型。 3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为___自由运动_______。 5.互为对偶系统的__特征方程________和___特征值_______相同。 6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成____完全能控______子系统和____完全不能控______ 子系统两部分。 7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成__完全能观测________子系统和____完全不能观测______子系统两部分。 8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解___能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。 9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有__零极点对消_。 10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 11.经典控制理论讨论的是__在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李 氏方法讨论的是_动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 12. ___状态反馈_______和__输出反馈________是控制系统设计中两种主要的反馈策略。 13.综合问题的性能指标可分为优化型和非优化型性能指标。 14.状态反馈不改变被控系统的___能控性_______；输出反馈不改变被控系统的___能控性 _______和____能观测性______ 15.状态方程揭示了系统的内部特征，也称为__内部描述________。 16.控制系统的稳定性，包括____外部______稳定性和____内部______稳定性。 17.对于完全能控的受控对象，不能采用____输出反馈______至参考信号入口处的结构去实现闭环极点的任意配置。 18.在状态空间分析中，常用___状态结果图_______来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。 19.为了便于求解和研究控制系统的状态响应，特定输入信号一般采用脉冲函数、__阶跃函数________ 和斜坡函数等输入信号。 21.当且仅当系统矩阵A的所有特征值都具有_负实部_________时，系统在平衡状态时渐近
线性系统理论基础
《线性系统理论基础》实验指导书 嵇启春 西安建筑科技大学信息与控制工程学院
第一章课程简介，实验内容及学时安排 一、课程简介 线性系统理论基础是自动化类专业的主要专业理论课，是现代控制理论的基础。它将使学生们系统地学习并掌握现代控制理论的基本分析和设计方法，为后续专业课程的学习打下良好的基础。教学目标：熟练掌握现代控制基本理论，能运用所学知识进行系统建模、性能分析和综合设计。 《线性系统理论基础实验》是《线性系统理论基础》课程的重要教学环节，是自动化类专业学生必须掌握的教学内容。其目的主要是使学生学习和掌握控制系统基本的分析、设计方法，加深理解线性系统理论的基本知识和原理，增强学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识、创新精神和创新能力，为学生今后从事该领域的科学研究和技术开发工作打下扎实的基础。 二、实验内容及学时安排 本课程的实践环节由必作和选作两类实验构成，对能力较强的学生指导他们课外进行选作实验。目前实验主要基于MATLAB仿真软件进行仿真实验。必作实验为三个，每个实验2学时。要求学生一人一机，独立完成必作的实验，由此使学生得到较全面的基础训练。通过该课程的实验训练，应达到下列要求： 1. 使学生了解MATLAB仿真软件的使用方法，重点掌握MATLAB控制工具箱的使用方法； 2. 通过实验加强对所学理论知识的理解和应用； 3. 实验前预习，实验后按要求撰写实验报告。
第二章 《线性系统理论基础》课程实验 实验一 MATLAB 控制工具箱的应用及线性系统的运动分析 一、实验目的 1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中的基本命令的操作方法； 2、掌握线性系统的运动分析方法。 二、实验原理、内容及步骤 1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中基本命令的操作 设系统的模型如式(1-1)所示： p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x ∈∈∈?? ?+=+= (1-1) 其中A 为n ×n 维系数矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示： D B A sI C s den s num s G +-== -1)() () (()( (1-2) 式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。 [例1.1] 已知SISO 系统的状态空间表达式为(1-3)式，求系统的传递函数。 (1-3) 程序: %首先给A 、B 、C 阵赋值； A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6];C=[1 0 0];D=0; %状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u) ,631234100010321321u x x x x x x ???? ??????-+????????????????????---=?????????? []?? ??? ?????=321001x x x y
《线性系统理论》试卷及答案
C 2 《线性系统理论》试卷及答案 1、（20分）如图所示RLC 网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为 x 1(t)=v 1(t),x 2(t)=v 2(t),x 3(t)=i(t) 要求列写出系统的状态空间描述。 2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。 y (4)+4y (3)+3y (2)+7y (1)+3y=u (3)+ 2u (1)+ 3u 3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。 [] 210X 13101X y -????=+???? -????= 4、（10分）分析下列系统的能控性。 0111X X u a b ? ???? =+???? -???? 5、（10分）分析下列系统的能观性。 []1110a X X y X b ? ??==-???? 6、（15分）判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。 122 2112 3x x x x x x ==-- 7、（15分）已知系统的状态方程为 221012000401X X u ? --???? ????=-+????????-???? 试确定一个状态反馈阵K ，使闭环极点配置为λ1*=-2、λ2*=-3、λ3*=-4。
答案： 1、（20分）如图所示RLC 网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为 x 1(t)=v 1(t),x 2(t)=v 2(t),x 3(t)=i(t) 要求列写出系统的状态空间描述。 列出向量表示形式 解出解出解出r x x x L R x x x r x L R x x x x x x C R x x x C x C x r x R x L L L L ???? ??????+????? ???????????????? ?--=??????????+--=-=+=+==++1321113211 31 11 32122222112211333113000x y x x L
研究生线性系统理论
2014级研究生《线性系统理论》作业 2015.03 一、 已知系统的状态方程为 01000 00010003123122 10 002x x u ???? ????????=+???????????? （1） 求2个不同的反馈阵K ，使得系统的特征值为：43,54j j -±-±； （2） 通过仿真结果说明，取不同反馈阵K 值时，系统的阶跃响应情况。 解： 由于rank[B AB A 2B]=4可知系统完全能控。 方法一：使用直接算法求解反馈阵k ： 首先求取系统的特征多项式α(s)=det(sI-A)=s^4-2*s^3-s^2-6*s-6. α*(s)=s^4-18*s^3-146^2-578*s-1025. p=[2;1] 令b=Bp=[0;0;4;2] P=[A 3b A 2b A 1b b]*[1 0 0 0;α3 1 0 0;α2 α3 1 0;α1 α2 α3 1]=????? ???? ???2 4- 2 24 6 0 00 4 6 00 0 4 6 P -1=????? ???????0.2015 0.1493 0.0224- 0.0672- 0.1343- 0.0672 0.0149 0.0448 0.0896 0.0448- 0.1567 0.0299- 0.0597- 0.0299 0.1045- 0.1866 K=[α0*-α0 α1*-α1 α2*-α2 α3*-α3 ]P -1=[-178.4552 15.0149 -16.9328 25.8657] K 1=pk=??? ? ??25.8657 16.9328- 15.0149 178.4552 - 51.7313 33.8657- 30.0299 356.9104- 方法二：龙伯格能控规范型法： [B AB A 2B A 3B]=[b 1 b 2 Ab 1 Ab 2 A 2b 1 A 2b 2 A 3b 1 A 3b 2]= [0 0 0 0 1 2 2 10 0 0 1 2 2 10 5 22 1 2 2 10 5 22 18 66 0 2 0 0 1 2 4 14] 基于此，组成预变换阵P -1并且求出P ，有 P -1=[b 1 Ab 1 A 2b 1 A 3b 1]=[0 0 1 2
线性系统理论课程论文
目录 一、报告目的 (2) 二、报告内容 (2) 1.系统稳定性的地位和作用概述 (2) 2.内部稳定与外部稳定 (3) 2.1知识结构 (3) 2.2内部稳定与外部稳定的关系： (3) 3.李亚普诺夫稳定性定义 (4) 3.1几种稳定性的区别 (4) 3.2几种稳定性的关系 (5) 4. 李亚普诺夫稳定性理论 (6) 4.1 李亚普诺夫稳定性第一方法 (6) 4.2李亚普诺夫稳定性第二方法 (6) 4.3 Lyapunov第二方法在线性时不变系统中的应用 (7) 三、总结 (11) 参考文献： (11)
一、报告目的 1、对已学过的知识有个更好的复习巩固的过程； 2、加深对线性系统这门课的了解； 3、对第五章的知识进行归纳整理； 4、提高自己课程设计的写作水平。 二、报告内容 系统运动的稳定性 通过这段时间对《线性系统理论》这本书的学习，和有关资料的查阅，让我了解到，在系统与控制科学领域内，线性系统是基本的研究对象，并在过去几十年中取得了很多结果和进展，已经形成和发展为相当完整和相当成熟的线性系统理论。线性系统理论的重要性首先在于它的基础性，其大量的概念、方法、原理和结论，对于系统与控制理论的许多学科分支，如最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等，都具有重要和基本的作用，成为学习和研究这些学科必不可少的基础知识。有鉴于此，国内外许多大学都毫无例外地把线性系统理论列为系统与控制科学方向的一门最为基础的课程。 1.系统稳定性的地位和作用概述 在控制系统的分析和设计中，系统的稳定性是首先要考虑的问题之一，因为它关系到系统是否能正常工作，它同系统的能空性和能观测性一样，也是系统的一种结构性质。所谓稳定性指在各种不利因素的影响下，系统能够保持预定工作状态能力的一种度量，稳定性问题实质上是控制系统自身属性的问题。在大多数情况下，稳定是系统能够正常运行的前提，如何根据动力学系统的构成分析系统的稳定性已经引起研究人员的普遍重视。在控制系统的稳定性研究中，李亚普诺夫方法得到广泛应用，该方法还在最优估计、最优控制、自适应滤波等领域占有重要地位。 系统的运动稳定性可分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间
线性系统理论考试大纲
3358博士生入学线性系统理论考试大纲 第一部分考试说明 一、考试性质 线性系统理论是控制科学与控制工程学科的基础课。本门考试的应考范围以基于状态空间描述和方法的近代控制理论为主，注重考察考生是否已经掌握控制学科最基本的理论知识。它的评价标准是本学科或者相近学科的优秀硕士毕业生能达到及格或及格以上水平，以保证被录取者具有基本的控制学科基础知识，并有利于在专业上择优选拔。 二、考试形式与试卷结构 （一）答卷方式：闭卷，笔试。 （二）答卷时间：180分钟 （三）题型比例：全部题型为计算、分析题，满分100分。 第二部分考查要点 一、线性系统的数学描述 系统的传递函数描述，状态空间描述，两种描述形式的比较和相互转换。线性系统在坐标变换下的特性。组合系统的状态空间描述。 二、线性系统的运动分析 状态转移矩阵及其性质。脉冲响应矩阵。线性时变系统运动分析。线性定常系统的运动分析。线性连续系统的时间离散化。线性离散系统的运动分析。 三、线性系统的能控性和能观测性 线性系统的能控性和能观测性的定义。线性连续系统（含时变系统）的能控性、能观测性判据。线性离散系统的能控性、能观性判据。对偶原理。能控、能观测与传递函数。线性系统的能控性、能观性指数。能控和能观测规范形。线性系统的结构分解。 四、系统运动的稳定性 Lyapunov意义下运动稳定性的定义。Lyaounov第二方法的主要定理。线性系统稳定性判据。离散系统的稳定性及其判据。系统的外部稳定性和内部稳定性。 五、线性反馈系统的综合 状态反馈和输出反馈。极点配置问题及其解的存在条件。状态反馈极点配置问题的求解方法。状态反馈可镇定条件和算法。线性二次型最优控制问题。全维和降维状态观测器。引入观测器的状态反馈控制系统的特性。 第三部分考试样题 略