新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测题(答案解析)
一、选择题
1．下列命题中：①命题“若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则2a =”的逆否命题；②命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题；③命题“存在0ω<，函数
()sin y x ω?=+不存在最小正周期”的否定.其中真命题的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．“不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．12m >
B ．01m <<
C ．14
m >
D ．1m
3．已知命题p ：x R ?∈，2230ax x ++>是真命题，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．13
a < B ．103
a <≤ C ．13a >
D ．13
a ≤
4．已知实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．已知,αβR ∈，则“αβ=”是“tan tan αβ
=”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．全集U =R ，集合04x
A x x ?
?=≤??-??
，集合(){}
2log 12B x x =->，图中阴影部分
所表示的集合为（ ）
A ．(]
[],04,5-∞
B ．()(],04,5-∞
C ．()[],04,5-∞
D ．(]
(),45,-∞+∞
7．已知集合{}
1A x x =>-，{}
2B x x =<，则A B =（ ）
A ．()1,-+∞
B ．(),2-∞
C ．
1,2
D ．R
8．已知集合{
}
22
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为
（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
9．已知ξ服从正态分布(
)2
1,N σ
，a ∈R ，则“P （ξ＞a ）=0.5”是“关于x 的二项式
3
21()ax x
+
的展开式的常数项为3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件
10．已知1
:12
p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞
B ．[1,4]
C ．(1,4]
D ．(1,4)
11．判断下列命题①命题“若1
4
m ≥-
，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题；②命题“若21x =，则1x =.”的否命题为“若21x =，则1x ≠.”；③若命题“p q ∧”为假命题，则命题“p q ∨”是假命题；④命题“x R ?∈，22x x ≥."的否定是“0x R ?∈，
0202x x <.” 中正确的序号是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
12．函数()3
1f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．[]0,3a ∈
B ．()0,5a ∈
C ．()0,3a ∈
D ．()1,2a ∈
二、填空题
13．命题“2
000,2390x R x ax ?∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 .
14．命题“?x ∈[4π，3
π
]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_____． 15．方程2
210ax x 至少有一个正实数根的充要条件是________；
16．已知集合1,2,3,{}4,5,6X Y Z ??=，若
1,21,2,3,4,5}{},3{,X Y X Y X ?=?=?，则集合X Y Z 、、所有可能的情况有
_________种.
17．已知集合{}
12A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，则A B =__________．
18．函数
，若
恒成立的充分条件是
，则实数
的取值范围是 ．
19．已知()2
:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ?是q ?的充分不必要条件，则a 的取
值范围是________．
20．已知函数2,1()1,1
x ax x f x ax x ?-+≤=?->?，若1212,,x x R x x ?∈≠，使得12()()f x f x =成
立，则实数a 的取值范围是___________. 三、解答题
21．已知非空集合S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x ，y ∈S (x 、y 可以相同)，有x +y ∈S 且x -y ∈S .
（1）集合S 能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由； （2）证明：若3∈S 且5∈S ，则S =Z .
22．已知m R ∈，命题:p 对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-成立；命题:q 存在
[]–1,1x ∈，使得m x ≤成立．
（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；
（2）若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围；
23．已知函数()f x =A ，函数2()41,[0,3]g x x x x =-+-∈的值域为B .
（Ⅰ）设集合()M A B Z =??，其中Z 是整数集，写出集合M 的所有非空子集； （Ⅱ）设集合{|121}C x a x a =-<<+，且B
C =?，求实数a 的取值范围.
24．已知集合{}2
650A x x x =+->，集合()(){}
110B x x a x a =-+-->，其中
0a >.
（1）若2a =，求(
)R
A
B ；
（2）设:p x A ∈，:q x B ∈.若p ?是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.
25．已知命题}{
:210p x x -<<，命题{
:1q x x a ≤-或}1x a ≥+，若p ?是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
26．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17S =，集合
{}128,,,X x x x =是集合S 的一个含有8个元素的子集.
（1）当{}1,2,5,7,11,13,16,17X =时，设,(1,8)i j x x X i j ∈≤≤， ①写出方程3i j x x -=的解（,i j x x ）；
②若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值；
（2）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程i j x x k -=(1,8)i j ≤≤至少有三组不同的解.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据原命题和逆否命题同真假来判断①是真命题，根据定义写出命题的否命题和命题的否定，再判断②③的真假即可. 【详解】
①中，若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则()1210a ?+?-=，则2a =.故该命题是真命题，其逆否命题也是真命题；
②中，命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题是：“若1a =，则210a -=”，易见若1a =，则21a =，则210a -=，故“若1a =，则210a -=”是真命题；
③中，命题“存在0ω<，函数()sin y x ω?=+不存在最小正周期”的否定是“对任意的
0ω<，函数()sin y x ω?=+存在最小正周期”， 对任意的0ω<，函数
()sin y x ω?=+存在最小正周期2T π
ω
=
，故命题“存在0ω<，函数()sin y x ω?=+不
存在最小正周期”的否定是真命题.故①②③均为真命题. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：
一般互为逆否的两个命题判断真假时，可以选择容易的进行判断，则另一个就同真假.
2．C
解析：C 【分析】
先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】
因为“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，所以当0m =时，原不等式为0x>在R 上不是恒成立的，所以0m ≠，
所以“不等式2
+0mx x m +>在R 上恒成立”，等价于2
>0140m m ???=-
，解得1
2m >. A 选项是充要条件，不成立；
B 选项中，1
2
m >不可推导出01m <<，B 不成立； C 选项中，12m >
可推导14m >，且14m >不可推导12m >，故14
m >是1
2m >的必要不充分条件，正确；
D 选项中，1m 可推导1>2m ，且1
>2m 不可推导1m ，故>1m 是12
m >的充分不必要条件，D 不正确. 故选：C. 【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．
3．C
解析：C 【分析】
由题意可得2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠即可求解. 【详解】
若命题p ：x R ?∈，2230ax x ++>是真命题， 则2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立， 当0a =时，230x +>可得：3
2
x >-不满足对于x ∈R 恒成立，所以0a =不符合题意；
当0a ≠时，需满足04430
a a >???=-?
3a >，
所以实数a 的取值范围是1
3
a >， 故选：C 【点睛】
关键点点睛：对于2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，需讨论0a =和0a ≠，当0a ≠时，结合二次函数图象即可得等价条件.
4．B
解析：B 【分析】
通过举反例得到“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；再由“224x y +≤”?“1xy ≤”.能求出结果． 【详解】 解：
实数0x >，0y >，∴当3x =，14
y =
时，134
22224x y +=+>， ∴“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；
反之，实数0x >，0y >，由基本不等式可得22x y +≥
由不等式的基本性质得224x y ≤+≤，整理得24x y +≤，2x y ∴+≤，
由基本不等式得2
12x y xy +??≤≤ ???
，即“224x y
+≤”?“1xy ≤”．
∴实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的必要不充分条件．
故选：B ．
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
5．D
解析：D 【详解】 若2
π
αβ==
则tan ,tan αβ不存在，
若tan tan αβ=，可得k απβ=+，故选D
6．C
解析：C 【分析】
由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ?.求出集合,,A B A B ?，即求()U C A B ?. 【详解】
∵集合{}
04A x x =≤<，{}
5B x x =>，
由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ?，又{
04A B x x ?=≤<或}5x >，
()()[],04,5U C A B ∴=-∞?.
故选：C . 【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
7．C
解析：C 【分析】
由集合的交集运算即可得出结果. 【详解】
{|12}=(1,2)=-<<-A B x x
故选：C 【点睛】
本题考查了集合的交集运算，考查了计算能力，属于一般题目.
8．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
221x y +=与直线y x =相交于两点22,22?? ? ???，22,22??
-- ? ??
?，则A B 中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
9．A
解析：A 【解析】 试题分析：由
，知1a =．因为二项式3
21()ax x
+
展开式的通项公式为3132
1()(
)r r r r T C ax x
-+=＝3333r r r
a C x --，令330r -=，得1r =，所以其常数项为212333a C a ==，解得1a =±，所以“
”是“关于x 的二项式3
21()ax x
+
的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A ．
考点：1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件．
10．C
解析：C
【分析】
求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】
由
1
12x ≥-，即302
x x -≤-，解得23x <≤， 由||2x a -<得22a x a -<<+，
若p 是q 的充分不必要条件，则22
23a a -≤??
+>?
，
解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]
1,4， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.
11．C
解析：C 【分析】
①写出原命题的逆命题，并判断真假性. ②根据否命题的知识判断真假性.
③根据含有逻辑联结词命题真假性来判断命题的真假性.
④根据全称命题的否定的知识判断真假性. 【详解】
①原命题的逆命题为：若方程20x x m +-=有实根，则1
4
m ≥-.当方程20x x m +-=有实根则1
1404
m m ?=+≥?≥-
.所以逆命题为真命题.所以①正确. ②原命题的否命题为：若21x ≠，则1x ≠.所以②错误.
③由于p q ∧为假命题，所以,p q 中至少有一个是假命题，可能是一真一假，所以p q ∨可能为真命题.所以③错误. ④原命题的否定是0x R ?∈，0
202x x <.所以④正确.
综上所述，正确的序号为①④.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查四种命题，考查含有逻辑连接词命题，考查全称命题的否定，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】
由已知，当()1,1x ∈-时，()[
)2
3,3f x x a a a '=-∈--，
当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥， 故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，
A ?
B 是必要不充分条件，
C 是充要条件，
D 是充分不必要条件. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.
二、填空题
13．【解析】试题分析：由题意可得命题:为真命题所以解得考点：命题的真假
解析：a -≤≤【解析】
试题分析：由题意可得命题:x R ?∈,22390x ax -+≥为真命题.
所以()2
34290a ?=--??≤,解得a -≤≤ 考点：命题的真假.
14．【分析】将条件转化为时再利用在的单调性求出的最大值即可【详解】是真命题时在的单调递增时取得最大值为即的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了转化思想将恒成立问题转化为最值问题再通过正切函数的单调性
【分析】
将条件“[4x π?∈，]3π，tan x m ”转化为“[4x π∈，]3π
时，(tan )max m x ”，再利用tan y x
=在[4π，]3
π
的单调性求出tan x 的最大值即可． 【详解】
“[
4
x π?∈，]3π
，tan x m ”是真命题，
[4
x π∴∈，]3π
时，(tan )max m x ，
tan y x =在[4
π，]3
π的单调递增，
3
x π
∴=
时，tan x ，
3m
∴，即m
【点睛】
本题主要考查了转化思想，将恒成立问题转化为最值问题，再通过正切函数的单调性求出函数的最值即可，属于中档题．
15．【分析】讨论和三种情况计算得到答案【详解】当时方程为满足条件当时方程恒有两个解且两根一正一负满足条件当时即此时两根均为正数满足条件综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了充要条件分类讨论是一个常用的方 解析：[)1,a ∈-+∞
【分析】
讨论0a =，0a >和0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】
当0a =时，方程为1
210,2
x x -==满足条件. 当0a >时，2
210,
440ax
x a 方程恒有两个解，且121
0x x a
=-
<，两根一正一负，满足条件 当0a <时，2
210,4401ax
x a a ，即01a ，此时，
121
0x x a
=-
>，
122
0x x a
+=-
>，两根均为正数，满足条件 综上所述：1a ≥- 故答案为：[)1,a ∈-+∞ 【点睛】
本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.
16．【分析】通过确定XYZ 的子集利用乘法公式即可得到答案【详解】根据题意可知由于可知Z 共有种可能而有4种可能故共有种可能所以答案为128【点睛】本题主要考查子集相关概念乘法分步原理意在考查学生的分析能力 解析：128
【分析】
通过确定X,Y ,Z 的子集，利用乘法公式即可得到答案. 【详解】
根据题意，可知1,2,1,236{}{},{}Z X Y ???，
，由于{6}Z ?，可知Z 共有 52=32种可能，而(){4},5X Y ??有4种可能，故共有432=128?种可能，所以答案为
128. 【点睛】
本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大.
17．【解析】分析：利用交集的运算直接求解即可详解：由题所以即答案为点睛：本题考查交集的运算属基础题 解析：{}0,1
【解析】
分析：利用交集的运算直接求解即可
详解：由题{}
12A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，所以{}0,1A B ?=. 即答案为{}0,1
点睛：本题考查交集的运算，属基础题.
18．1＜＜4【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立即当时恒成立即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为要使得需要满足化简求解得1＜＜4考点：必要条件充分条件与充要条件的判断
解析：1＜a ＜4 【详解】
试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立，即当
时，
恒成立，即
恒成立；然后利用二次函数的性质易求
其最值为，要使得，需要满足，化简求
解得1＜a ＜4．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
19．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得所以即因此实数的取值范围是故答
解析：[]2,1-
【分析】
解不等式()2
9x a -<和()3log 21x +<，由题意可得p 是q 的必要不充分条件，转化为两
集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】
因为p ?是q ?的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，
解不等式()2
9x a -<，得33a x a -<<+，解不等式()3log 21x +<，解得21x -<<.
:33p a x a -<<+，:21q x -<<，{}33x a x a ∴-<<+ {}21x x -<<，
所以3231a a -≤-??+≥?
，即21a -≤≤．
因此，实数a 的取值范围是[]
2,1-. 故答案为：[]
2,1-. 【点睛】
本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．【分析】若使得成立只要保证在R 上不单调即可【详解】函数的对称轴为当即时在上不是单调函数则在R 上也不是单调函数满足题意；当即时分段函数为R 上的单调增函数不满足题意故答案为：【点睛】本题以命题的形式考查 解析：(,2)-∞
【分析】
若1212,,x x R x x ?∈≠，使得12()()f x f x =成立，只要保证()f x 在R 上不单调即可. 【详解】
函数2
y x ax =-+的对称轴为=2
a
x ， 当
12
a
<即2a <时，2y x ax =-+在(),1-∞上不是单调函数， 则()f x 在R 上也不是单调函数，满足题意；
当
12
a
>即2a >时，分段函数为R 上的单调增函数，不满足题意. 故答案为：(,2)-∞ 【点睛】
本题以命题的形式考查了分段函数单调性，考查了转化的思想，属于中档题.
三、解答题
21．（1）{}0；（2）证明见解析. 【分析】
（1）若a S ∈，分析0a ≠和0a =可得答案；
（2）集合S 的元素都是整数，利用已知得到非空集合S 是所有整数构成的集合.然后再由
5S ∈，3S ∈， 532S -=∈得到{}|2,x x k k Z =∈ S ，且{}|21,x x k k Z =+∈ S
可得答案. 【详解】
（1）能，理由如下：
若a S ∈，且0a ≠，由题意知a 的所有整数倍的数都是S 中的元素，所以S 是无限集；若
a S ∈，且0a =，则{}0S =，,x y S x y S +∈-∈符合题意，且{}0S =是有限集，所以
集合S 能为有限集，即{}0S =. （2）证明：
因为非空集合S 的元素都是整数，且()(),x y Z x y Z +∈-∈, 由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，所以321S -=∈， 所以112S +=∈，123S +=∈，134S +=∈，
，
110S -=∈，011S -=-∈，112S --=-∈，213S --=-∈， 所以非空集合S 是所有整数构成的集合.
由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，因为,x y S x y S +∈-∈，
所以224,220S S +=∈-=∈，246,242S S +=∈-=-∈，
268,264S S +=∈-=-∈，
，
所以2的所有整数倍的数都是S 中的元素，
即{}|2,x x k k Z =∈ S ，
且321S -=∈，所以21,x k k Z =+∈也是集合S 中的元素， 即{}|21,x x k k Z =+∈ S ，
{}|2,x x k k Z =∈{}|21,x x k k Z Z =+∈=，
综上所述，S Z =. 【点睛】
本题考查对集合性质的理解，关键点是理解,x y S x y S +∈-∈，考查了学生分析问题、
解决问题的能力，以及推理能力. 22．（1）[]1,2（2）(,1)(1,2]-∞
【分析】
（1）对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m --恒成立，2(22)3min x m m --．利用函数的单调性与不等式的解法即可得出．
（2）存在[]–1,1x ∈，使得m x 成立，可得1m ，命题q 为真时，1m ．由p 且q 为假，
p 或q 为真，p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，再分别求出参数的取值范围最后取
并集即可． 【详解】
解（1）∵对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， ∴2
min (22)3x m m -=-． 即23m 2m -≤-．解得12m ≤≤．
因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2． （2）存在[1,1]x ∈-，使得m x ≤成立，∴1m ， 命题q 为真时，1m ． ∵p 且q 为假，p 或q 为真，
∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．
当p 真q 假时，则12
1m m ≤≤??>?
解得12m <≤;
当p 假q 真时，12
1
m m m ??
≤?或，即1m <．
综上所述，m 的取值范围为(,1)(1,2]-∞．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．（Ⅰ）{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1；（Ⅱ）
(][),14,-∞-+∞
【分析】
（Ⅰ）计算得到(]3,log 8A =-∞，[]1,3B =-，再计算交集得到{}1,0,1M =-，得到答案.
（Ⅱ）考虑C =?和C ≠?两种情况，得到121211a a a -<+??+≤-?或12113a a a -<+??-≥?
，解得答案.
【详解】
（Ⅰ
）函数()f x =830x -≥，即3log 8x ≤，即
(]3,log 8A =-∞，
()2
2()4123,[0,3]g x x x x x =-+-=--+∈，[]1,3y ∈-，即[]1,3B =-，
[]{}31,log (1,0,8)1M A B Z Z =??=--?=.
故集合M 的所有非空子集为{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1. （Ⅱ）{|121}C x a x a =-<<+，B
C =?，
当C =?时，121a a -≥+，解得2a ≤-； 当C ≠?时，121211a a a -<+??
+≤-?或121
13a a a -<+??-≥?
，解得(]
[)2,14,a ∈--+∞.
综上所述：(][),14,a ∈-∞-+∞.
【点睛】
本题考查了函数的定义域，值域，子集，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集是容易发生的错误. 24．（1）{}
13x x -<≤；（2）(0，2]. 【分析】
分别求解一元二次不等式化简A 与B ．
（1）把2a =代入集合B ，再由交、并、补集的混合运算得答案； （2）由p ?是q 的充分不必要条件，得R
A B ，进一步转化为两集合端点值间的关系列
不等式组求解． 【详解】
2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<，
{|(1)(1)0}{|1B x x a x a x x a =-+-->=<-或1}x a >+．
（1）若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{|13}R B x x =-， (){|16}{|13}{|13}R A B x x x x x x ∴?=-<
（2）若p ?是q 的充分不必要条件，
A R
1{|x x =≤-或6}x ≥
则
R
A
B ．
∴0
1116a a a >??
--??+?
且不等式组中两等号不同时成立，解得02a <． a ∴的取值范围是(0，2]．
【点睛】
本题考查交、并、补集的混合运算以及利用包含关系求参数，考查充分条件与必要条件的判定方法，考查数学转化思想方法，是中档题．
25．03a <≤
【分析】
根据题意，求出p ?表示的集合，利用p ?是q 的充分不必要条件得到集合间的包含关系，进而得到关于a 的不等式组，解不等式即可. 【详解】
由题意知，:2p x ?≤-或10x ≥， 因为p ?是q 的充分不必要条件，
所以{
2x x ≤-或}10x ≥ {
1x x a ≤-或}1x a ≥+，
所以121100311a a a a a -≥-??
+≤?<≤??+>-?
，
所以实数a 的取值范围为03a <≤. 【点睛】
本题考查利用充分不必要条件和集合间的包含关系求参数的取值范围；考查逻辑推理能力和运算求解能力；根据题意，正确得出集合间的包含关系是求解本题的关键；属于中档题. 26．（1）①(,)(5,2),(16,13)i j x x =②4，6.（2）证明见详解. 【分析】
（1）①根据两个元素之差为3，结合集合X 的元素，即可求得；
②根据题意要求，写出集合X 中从小到大8个数中所有的差值（限定为正数）的可能，计算每个差值出现的次数，即可求得k ；
（2）采用反证法，假设不存在满足条件的k ，根据差数的范围推出矛盾即可. 【详解】
（1）①方程3i j x x -=的解有：(,)(5,2),(16,13)i j x x =. ②以下规定两数的差均为正，则：
列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1,3,2,4,2,3,1； 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4,5,6,6,5,4； 中间相隔二数的两数差：6,9,8,9,6； 中间相隔三数的两数差：10,11,11,10； 中间相隔四数的两数差：12,14,12； 中间相隔五数的两数差：15,15； 中间相隔六数的两数差：16.
这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次， 所以k 的可能取值有4，6. （2）证明：不妨设128117x x x ≤<<
<≤，记1(1,2,
,7)i i i a x x i +=-=，
2(1,2,
,6)i i i b x x i +=-=，共13个差数.假设不存在满足条件的k ，
则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，
从而127126()()2(126)749a a a b b b ++
++++
+≥++
++= ①
又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--
81722()()2161446x x x x =-+-≤?+=，这与①矛盾.
故假设不成立，结论成立.
即对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程i j x x k -=(1,8)i j ≤≤至少有三组不同的解. 【点睛】
本题考查集合新定义问题，涉及反证法的使用，本题的关键是要理解题意，小心计算，大胆求证.