对数概念及其运算法则
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常用对数与自然对数对数的运算性质
对数的四则混合运算
【高中数学专项突破】专题25 对数的概念及运算(含答案)
【高中数学专项突破】 专题25 对数的概念及运算 题组1 对数的概念 1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2 且1a ≠ B.102 a << C.0a >且1a ≠ D.12 a < 3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2??+∞ ??? B.10,2?? ??? C.()()0,11,+∞ D.1,2? ?-∞ ?? ? 题组2 对数式与指数式的互化 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.0 1e =与ln10= B.1 3 1 8 2 - = 与811log 23=- C.3log 92=与12 93= D.7log 71=与177= 5.若1 log 2 m n =，则下列各式正确的是（ ） A.1 2 n m = B.2m n = C.2n m = D.2n m = 6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c a b N = B.log ab c N = C.log c a b N = D.log b a c N = 7.若7 log x y z =，则（ ） A.7z y x = B.7z y x = C.7z y x = D.7x y z = 8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11 a b +=（ ） A.1 2 B.15 C.16 D.1
第4讲 对数概念及其运算 [讲义]
432211log (4443)x x x x x =++++例．当时，求的值． 912162()q p q R log p log q log p q p +∈==+=例．设，且有，则． 23()(2)(1)2()2f x x lga x lgb f f x x x R a b =+++-=-≥∈+=例．已知，且，又对一切都成立，则． 124()(2)()(01)()2(18)x f x f x f x x f x f log +=-∈=例．已知奇函数满足，且当，时，，则的值为 ． 21234541515()lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx x
111211(2)[()(]4 lg log --+．化简： ． 7．已知函数()( )1(4)21(4)x x f x f x x ???≥? ?=????+，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。
《对数与对数运算》教学设计
2.2.1 对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念； 2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式 如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ． 定义：一般地，如果 数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ； 探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ； 是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2． 根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？
高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案
高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案 题组1 对数的概念 1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2 且1a ≠ B.102 a << C.0a >且1a ≠ D.12 a < 3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2??+∞ ??? B.10,2? ? ??? C.()()0,11,+∞ D.1, 2??-∞ ??? 对数式与指数式的互化 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.0 1e =与ln10= B.13 1 8 2 - = 与811log 23=- C.3log 92=与1 293= D.7log 71=与177= 5.若1 log 2 m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12 n m = B.2m n = C.2n m = D.2n m = 6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c a b N = B.log ab c N = C.log c a b N = D.log b a c N = 7.若log x z =，则（ ） A.7 z y x = B.7z y x = C.7z y x = D.7x y z = 8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11 a b +=（ ） A. 12 B. 15 C.16 D.1 9.将下列指数式改为对数式： （1）2 1 3 9 -= ，对数式为_____________；
教案对数的运算法则
教案 对数的运算法则 【教学目标】 知识目标： ⑴ 理解对数的概念，了解常用对数的概念． ⑵ 掌握对数的运算法则． 能力目标： 会运用对数的运算法则进行计算． 【教学重点】 对数的概念和对数的运算法则． 【教学难点】 对数的运算法则． 【教学过程】 一、课程导入 以复习指数的相关知识导入新课．（板书，提问等．5分钟） 问题1：2的多少次幂等于8？ 问题2：2的多少次幂等于9？ 显然，这是同一类问题．就是已知底数和幂如何求指数的问题．为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数． 二、新课教学 1．新概念 法则1 lg lg lg MN M N =+（M >0，N >0）. 法则2 lg lg lg M M N N =-（M >0，N >0）. 法则3 lg n M =n lg M （M >0，n 为整数）. 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 2．概念的强化 例4 （讲授）用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1）lg xyz ；（2）lg x yz ；（3）z .
解 （1） lg xyz =lg x +lg y +lg z ； （2） lg x yz =lg lg lg lg lg x yz x y z -=-+（）=lg lg lg x y z --； （3） z 2lg x +3lg z -=2lg x +2 1lg y 3lg z -. 例5 （启发学生回答或提问）已知2ln =0.6931，3ln =1.0986．计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）)34ln(75?； （2）18ln . 分析 关键是利用对数的运算法则，将所求的对数用2ln 与3ln 来表示. 解 （1）)34ln(75?=54ln +73ln =54ln +73ln =522ln +73ln （2）18ln =2118ln =2192ln ?=2 1（2ln +9ln ）=21（2ln +23ln ） =0986.16931.02 1+?=1.44515≈1.4452. 例6 求下列各式的值： （1）lg2lg5+； （2）lg600lg2lg3--． 分析 逆向使用运算法则，再利用性质lg101=进行计算． 解 （1）lg2lg5lg(25)lg101+=?==； （2）2600lg600lg2lg3lg( )lg100lg102lg10223 --=====?． 3．巩固性练习 练习3.3.3 ( 12分钟) 1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1） （2）lg xy z ； （3）2lg()y x ； （4） 2．已知2ln =0.6931，3ln =1.0986，计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）ln 36； （2）ln 216； （3）ln12； （4）911ln(23)?． 答案：1．（1）1lg 2 x ；（2）lg lg lg x y z +-；（3）2lg 2lg y x -；（4）111lg lg lg 243x y z +-. 2．（1） 3.5834；（2）5.3751；（3）1.2424；（4）18.3225. 三、小结（讲授，5分钟） 1．本节内容
对数的概念与运算性质
《对数与对数运算》（第一课时） (人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节) 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.
指数对数概念及运算公式
指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值
（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为
对数的基本概念及运算
第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考 问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺? (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得 (2)可设取x 次,则有 二:新知引入 1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对 数，记作： ，其中叫做对数的底数， 叫做真数。 注意：①是否是所有的实数都有对数呢？ 负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0且a ≠1。 思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？ 对数的书写格式 2、对数式与指数式的互化 N x N a a x log =?= 幂底数 ← a → 对数底数 指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数
3、对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数） 注意：对数的书写 课堂练习 1 将下列指数式写成对数式： （1） （2） （3） （4） 2 将下列对数式写成指数式： （1） （2） （3） 3 求下列各式的值： （1） （2） 2. 对数运算 （1） 基本性质 ①0和负数没有对数，即N>0 ②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N a =log （2） 运算法则 如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3 ） ∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题 p111，例 4 ，计
对数公式的运算
对数公式的运用 1．对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 由定义知： ①负数和零没有对数； ②a>0且a≠1，N>0； ③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN； 以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN． 2．对数式与指数式的互化 式子名称a b=N 指数式a b=N(底数)(指数)(幂值) 对数式log a N=b(底数) (真数) (对数) 3．对数的运算性质 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么 (1)log a(MN)=log a M+log a N． (2)log a（M/N）=log a M-log a N． (3)log a M n=nlog a M(n∈R)． 问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0? ②log a a n=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较．(学生填表) 式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N— a—对数的底数b—N— 运算性质： a m·a n=a m+n a m÷a n= a m-n (a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a N log a MN= log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1? 理由如下： ①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=? ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数? ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?
对数概念及其运算
对数概念及其运算 知识点1 对数 1.对数的定义 如果()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。在对数函数b N a =log 中，a 的取值范围是 ()1,0≠>a a 且，N 的取值范围是0>N ，b 的取值范围是R b ∈。 【注意】根据对数的定义可知 （1）零和负数没有对数，真数为正数，即0>N （2）在对数中必须强调底数0>a 且1≠a 2.常用对数 （1）定义：以10为底的对数叫做常用对数，N 10log 记做N lg 。 （2）常用对数的性质 10的整数指数幂的对数就是幂的指数，即() 是整数n n n =10lg 3.自然对数 （1）定义：以Λ71828.2=e 为底的对数叫做自然对数，N e log 通常记为InN 。 （2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关系：4343 .0lg lg lg N e N InN == ，即N InN lg 303.2=。 4.指数式与对数式的互化 （1）符号N a log 既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂，求其 指数的算式。对数式b N a =log 的a 、N 、b 在指数式N a b =中分别是底数、指数和幂。 （2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则： ①在b N a =log 中，必须0>N ，这是由于在实数范围内，正数任何次幂都是正数，因而 N a b =中的N 总是正数，须强调零和负数没有对数。 ②因为10 =a ，所以01log =a 。 ③因为,1 a a =所以1log =a a 。 ④因为N a b =，所以b N a =log ，所以N a N g l a =0。 【例1】下列说法错误的是（） (A)负数和零没有对数 （B ）任何一个指数式都可以化为对数式 （C ）以10为底的对数叫做常用对数 （D ）以e 为底的对数叫做自然对数
对数的概念与对数运算性质
对数的概念与对数运算性质 2.2.1对数的概念与对数运算性质 一、内容与解析 (一）内容：对数的概念与对数的基本性质 （二）解析：我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二、教学目标及解析
(一)教学目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;在学习过程中培养学生探究的意识；增加学生的成功感,增强学习的积极性. （二）解析 1、理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表示数的符号； 2、熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。 3、会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：和对数恒等式。 三、问题诊断分析 对数概念的理解中学生存在问题，所以要结合具体的实例，指出为了解决实际问题，引入对数的概念，体现了数学来源于实际的生活，并服务于实际的生活。 四、教学支持条件分析
对数
对数 导读：本文是关于对数，希望能帮助到您！ 教学目标 1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质． (1) 了解对数式的由来和含义，清楚对数式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能认识到指数与对数运算之间的互逆关系． (2) 会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述对数运算法则，并能利用运算性质完成简单的对数运算． (3) 能根据概念进行指数与对数之间的互化． 2．通过对数概念的学习和对数运算法则的探究及证明，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想，培养学生的逻辑思维能力． 3．通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想．通过对数运算法则的探究，使学生善于发现问题，揭示数学规律从而调动学生思维的积极参与，培养学生分析问题，解决问题的能力及大胆探索，实事求是的科学精神． 教学建议 教材分析 (1) 对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻
画，表示为当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与对数式中的底数，对数，真数的关系可以表示如下： (2) 本节的教学重点是对数的定义和运算性质，难点是对数的概念． 对数首先作为一种运算，由引出的，在这个式子中已知一个数和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂求指数就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)，所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识．此外对数作为一种运算除了认识运算符号“”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，脱到过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．对数运算的符号的认识与理解是学生认识对数的一个障碍，其实与+，等符号一样表示一种运算，不过对数运算的符号写在前面，学生不习惯，所以在认识上感到有些困难． 教法建议 （1）对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数的要求，其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明，验证．同时在关系的指导下完成指数式和对数式的互化．
对数的概念及运算--对数的概念
课题4.4 对数的概念及运算（1）——对数的概念 一、教学内容分析 为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”，我们引入了新的知识——对数。本节课是对数问题的第一课时，考虑到学生在接受新知识时可能存在的疑惑，因此要在对数概念的形成上重点讲解，和学生共同经历由指数式提出对数概念的过程。由于指对数之间存在着互相转化的关系，所以我们可以结合指数的性质特点考察对数中对于底数、真数以及对数的取值范围的要求。 二、教学目标设计 1．理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围； 2．掌握对数式与指数式的互化，理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系； 3．知道特殊对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数值； 4. 经历由指数式提出对数概念的过程； 5. 养成类比、转化的思维习惯； 三、教学重点及难点 对数式与指数式的互化 四、教学用具准备 多媒体课件 六、教学过程设计 一、情景引入 假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长% 8，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？ 解：设经过x年国民生产总值为2002年时的2倍， 根据题意有a x. +，即2 1(= a x2 %) 8 .1= 08 问题：已知底数和幂的值，求指数？该如何描述？ 二、学习新课 1．概念辨析：一般地，如果)1 a b=， a的b次幂等于N，就是N a ,0 (≠ >a
那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做底数，N 叫做真数。 [说明]结合指数的性质特点，以及指对数之间的互化关系发现： N a b = ? b N a =log （R b N a a ∈>≠>,0,1,0） （1）对数的底数必须大于0且不等于1； （2）对数的真数必须大于0，也即负数与0没有对数； （3）对数的值可以为一切实数，也即对数值可正、可负、可为零； （4）通常以10为底的对数，叫做常用对数。为了简便，N 的常用对数N 10log ，简记作N lg ； （5）将以无理数Λ7182.2=e 为底的对数叫做自然对数。为了简便，N 的自然对数N e log 简记作N ln 2．例题分析 例1、将下列指数式化为对数式 ① 62554=； ② 32125= -； ③813=a ； ④73.5)31(=m 例2、将下列对数式化为指数式： ① 416log 21-=； ② 7128 1log 2 -=； ③ 201.0log 10-=； ④ 303.210ln =； 例3、求下列各式的值： ① 49log 7； ② 21log 8； ③ 1log a （1,0≠>a a ）；
人教版高中数学-对数的概念与运算性质
课题：2.2.1对数与对数运算 一、教学内容解析 本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学1（必修）》中第二章第二节内容，属于单元教学课。之前学生已经学习了指数的相关内容，对于数的研究思路也有了一定的了解，对数是在指数基础上定义的一种新数，所以这节课既是对指数的概念、运算性质、指数函数的深化与理解，又为学习对数函数打下基础。同时也为今后复数的学习提供了研究思路与方法。 对数与对数运算主要内容包括：对数的概念、对数的运算性质、换底公式，如何将三块内容融合到一节课中，意味要抓住这一节的核心知识，舍弃细枝末节，要从整体上去研究这节课。具体体现为借助已有经验，从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题。让学生完整经历“现实背景——定义——性质——运算性质”过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习。 基于上述分析，将本节课的教学重点确定为：对数的概念、性质与运算性质。 二、教学目标设置 1．经历对数概念的形成过程，掌握对数的概念； 2．从研究一个数的“基本套路”出发，能够将指数中相关的性质和运算性质转化为对数的性质和运算性质； 3．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数； 4．感受转化与化归、数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想，提升学生的数学抽象，数学运算素养。 三、学生学情分析 知识结构上学生已经学习了指数与指数幂运算，指数函数，经历过研究一种新数的基本套路，这为学生研究“对数与对数运算”提供了理论基础与探究方向。 能力水平上，学生已经具备一定的抽象概括能力以及类比，转化和分析问题的能力，可是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习上，自主探究获得对数的运算性质，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的
10.对数的概念与运算
十、对数的概念与运算 一、选择题 1. 对于且，下列说法中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. A. B. C. D. 3. 计算：的值是 A. B. C. D. 4. B. C. 5. 实数的值为 A. B. C. D. 6. 对数与互为相反数，则有 A. B. C. D. 7. 如果，那么 A. B. C. D. 8. 已知函数，那么的值为 A. B. D. 9. 下列算式中正确的是 A. B. C. D. 10. 已知，那么等于 11. 设，则用表示的形式是 A. B. C. D. 12. A. B. C. D. 13. 式子的值为 A. C. D. 14. C. D. 15. 计算：的值为
A. B. C. 16. 计算 A. B. 17. 若，则等于 B. C. D. 18. 设，且，则 A. B. C. D. 19. 若，则等于 A. C. D. 20. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 二、填空题 21. 计算：． 22. 化简：． 23. ． 24. 计算：． 25. ． 26. ． 27. 计算： （）； （）． 28. ． 29. 的值是． 30. ． 31. 已知，，则． 32. 若，则．
对数的概念与运算答案 第一部分 1. B 【解析】当，A项错误；若，则，即C 项错误；若，则D项错误． 2. C 3. C 【解析】． 4. A 5. A 6. C 【解析】． 7. C 8. D 9. C 10. C 【解析】由对数性质及， 得，，， 所以 11. A【解析】因为，所以． 12. B 【解析】由对数恒等式，得 . 13. A 14. D 【解析】利用对数运算法则求解． 方法一：． 方法二：． 15. C 【解析】 16. B 【解析】． 17. D 18. A 【解析】，，又， ． 19. D 【解析】由换底公式，得，，． 20. A 【解析】， 第二部分 21.
对数概念及运算教案
普通高中课程标准试验教科书 (北师大版) 数学 必修一 §3．4．1对数及其运算 教案 江西省崇义中学钟隆敏 2011-10-10
一、教学任务分析 教材分析1．地位与作用：本节在学习指数与指数函数及性质的基础上，通过历史背景、实例等引入对数的概念，探讨对数的运算性质．本节学习的内容蕴含转化化归数学思想，类比与对比等基本数学方法，为以后进一步学习对数函数打下了基础．所以，本节内容起着承上启下的作用． 2．学情分析：学生在初中已学习了指数运算，在上一节学习了指数的扩展与指数函数及性质，已掌握了指数的相关知识，对学习本节课已具备条件． 教学目标1．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念．培养学生观察、对比、分析、概括的合情推理能力． 2．能利用科学计算器进行数值分析，探讨出对数的运算性质．培养学生运用数学语言表述问题的能力和解决问题的能力，培养学生敢于质疑，勇于开拓的创新精神． 3．熟练地进行对数式与指数式的互换，掌握对数的运算性质．激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操． 教学重点对数的定义，对数的运算性质． 教学难点对数的概念．对数的运算性质证明． 教学方法自学、引导、探究、交流、展示、讲解、练习等（突出以学生为主体）．教学教具尺规、多媒体课件、计算器． 二、教学流程安排 活动1 引入(历史背景、实例) 活动2 对数的概念 活动3 例题及练习 活动4 对数的运算性质 活动5 例题及练习 活动6 课堂练习 活动7 课堂小结 活动8 课外作业
三、教学过程 环节教学内容师生互动设计意图 引入1．对数产生的历史背景． 2．实例：2011年9月29号我国成功发射了天 宫一号目标飞行器，假设天宫一号内在太阳能 转化电能系统中某种物质每年总会耗损，每经 过一年就会耗损原来的1%，如果该物质变为原 来的30%时，将无法正常转化，则该系统大约 有多少年转化能力？ 3．学生思考问题，并列出解析式，求解所遇 到的困惑？导出对数的概念． 1．教师讲解． 2．教师课件展示 提出问题．总结、 归纳． 3．学生阅读、思 考． 1．了解对数产生的历 史、对数的用途及影响， 导出数学问题．培养学 习兴趣，激发学习热情． 2．让学生感受实际生活 中的对数问题，结合热 点问题，进行爱国教育． 对数的概念1．对数的概念（注意：条件、记法、读法）． 2．两种特殊的对数：①常用对数②自然对数． 3．指数与对数的关系． 互化b a N =?log a N b = 4．对数性质：log1 a =，log a a=， = N a a log_， 1．教师讲解． 2．学生阅读、思 考、探究导学案探 究1-4． 3．教师课件展示， 点评，总结、归纳． 1．经历由指数得到对数 的学习过程，加深对数 概念的理解． 2．培养学生观察、对比、 分析、概括的合情推理 能力． ． 例题及练习例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数 式． （1）45625 =（2）3 1 3 27 -=； （3）a e x =；（4）243 3 log5 =（5）lg0.11 =- 例2求下列各式中的值： （1） 5 log25；（2） 1 2 log32； （3）3log10 3；（4）ln1；（5） 2.5 log 2.5 1．学生训练， 思考，得出结论． 2．教师课件展示， 点评． 1．巩固对数的概念，熟 练进行指数式与对数式 的互化． 2．培养学生运用知识的 能力． 对数的运算性质1．完成导学案表格． 2．小结对数的运算性质． 3．运算性质的证明． 4．强调： （1）运算性质中字母的范围 （2）运算性质的逆用 （3）运算性质不能记错 1．学生计算，观 察，猜想，归纳运 算性质，学生分组 讨论，解决问题, 得出结论． 2．师生共同完成 证明． 3．教师小结（条 件、结构特点、证 明）． 1．让学生探索、研究、 体会、感受对数的概念 的形成和发展的过程． 2．学生计算，观察，进 行猜想，得出规律，再 进行证明，体会化归的 思想． 3．培养学生运用数学语 言表述问题的能力和解 决问题的能力，培养学 生敢于质疑，勇于开拓 的创新精神．
对数的运算法则
对数的运算法则 教学目标 1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神． 教学重点是对数的运算法则及推导和应用难点是法则的探究与证明． 一. 引入新课 我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?通过下面的题目来回答这个问题 如果看到这个式子会有何联想? 由学生回答(1)(2) (3)(4)． 也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则． 二．对数的运算法则(板书) 对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则． 由学生回答后教师让学生看：，，．
然后直接提出课题：若是 否成立? 由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而 )，教师在肯定结论的正确性的同时再提出 可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32 =2，还可以让学生再找几个例子， ．之后让学生大胆说出发现有什么规律? 由学生回答应有成立． 现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢? 你学过哪些与之相关的证明依据呢? 学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书． 证明：设则，由指数运算法则 得， 即．(板书) 法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．
对数的概念及其运算
4.4 对数概念及其运算（1） 一、教学内容解析 《对数概念及其运算（1）》是沪教版高中数学课本，高一年级第二学期第四章（下）第一节，属概念性知识，承接第四章（上）指数函数，对数概念及运算是在学习了“指数幂x a的意义及运算性质”、“指数函数的性质”基础上进行的，同时本节也是学习对数函数的准备知识. 对数既可以看作是一个算式，又可以看作是一个数值. 与指数幂具有共同的本质——指数（对数）与幂（真数）之间的对应关系. 对数作为重要而简便的计算技术，被恩格斯誉为17世纪三大重要数学成就之一，在数学和其他许多知识领域都有广泛的应用. 虽然随着计算工具的飞速发展，它的地位已由计算机（器）逐步代替，但对数函数在数学中的地位是不可动摇的. 对数概念及其运算性质的学习过程，可以提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，可以融合数学史的发展过程提升数学课堂的人文情怀. 【教学重点】 理解和掌握对数的概念，掌握对数式与指数式的互化. 二、教学目标设置 理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围； 知道常用对数、自然对数的概念； 掌握对数式与指数式的互化，理解同底的对数式与指数式之间的关系； 经历计算-观察-猜想-论证的过程，掌握对数的常用性质； 会使用计算器计算对数的值； 经历“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的研究过程，提升数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养. 三、学生学情分析 本节课为借班上课，课前未与学生有过接触．授课对象为上海市一所普通高中的高一普通班，该年级经过入学前的分流，资优生集中在两个“特色班”，普通班学生相对底子比较薄，对待抽象的数学概念往往接受起来比较困难. 授课学
指数对数概念及运算公式
指数函数及对数 函数重难点 令狐采学 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ? ?<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N*， 2）)0(10≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1）3 28 （2）2 125- （3） () 52 1- （4） () 4 3 81 16- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43 a a ? （２） a a a （３）32 )(b a - （４）43)(b a + （５）322b a ab + （6）42 33)(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32 322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73 ( 2 )0.10.8-与0.20.8-