天大历年试题分类

一、线性规划二、运输问题三、多目标规划四、动态规划五、图论

六、网络计划技术七、决策论八、存储论九、排队论十、对策论十一、模拟技术

一、线性规划

（一）选择填空题（二）线性规划建模（三）互补松弛应用（四）灵敏度分析（五）证明题

（一）选择填空题

型）：

(1)初表的出基变量为，进基变量为。

[]=-1

*)2(B

最优基逆

(3)填完终表。

=*)4(X 最优解

=*)5(y 对偶问题最优解

(6)若原问题增加一个新的非负变量，则对偶问题的最优目标值将（变大、不变、变小）。（2007）

解：1．(1)出基变量为x 4；进基变量为x 3。

(2)*1210510

0510

1112B -??

?????

?=??????

-???

。 (3)

(4) *

(4511)T X =

(5) *1

(0)55

Y = (6) 变小

1．用图解法解线性规划时，以下几种情况中不可能出现的是（）。

A ．可行域（约束集合）有界，无有限最优解（或称无解界）

B ．可行域（约束集合）无界，有唯一最优解

C ．可行域（约束集合）是空集，无可行解

D ．可行域（约束集合）有界，有多重最优解（2006）

解：1． A

2．根据线性规划的互补松弛定理，安排生产的产品机会成本一定（）利润。 A ．小于 B ．等于 C ．大于 D ．大于等于（2006）

解：2． B

1．用大M 法求解Max 型线形规划时，人工变量在目标函数中的系数均为____________，若最优解的_______________中含有人工变量，则原问题无解。（2005）

解：1、-M 基变量

1. 设线性规划问题}

{0max ≥=bx Ax cx 有最优解*

x 和影子价格*

y ,则线性规划问题

}{02max ≥=bx Ax cx 的最优解= ，影子价格= 。

（2004）

解：1. x* 2y*

3. 某工程公司拟从1、2、3、4四个项目中选择若干项目。若令

4101??=???=，，个项目未选中

，第个项目被选中，第i i i x i

请用i x 的线性表达式表示下列要求：（1）若项目2被选中，则项目4不能被选中：（2）只有项目1被选中，项目3才能被选中：。（2004）

解：3. 0,13142≤-≤+x x x x

一、简答（18%）

（1）请简述影子价格的定义。

（2）在使用单纯型表求解型线性规划时，资源的影子价格在单纯型表的什么位置上？（3）写出影子价格的数学表达式并用其定义加以验证（4）试述运输问题中检验数的经济意义（2003）

解：一、简答

⑴当各资源增加一单位时引起的总收入的增量，影子价格大于零的资源一定没有剩余，有剩余一定为零。

⑵松弛变量检验数的负值，对偶问题的最优解。 ⑶C B B -1

B 是原问题{maxz=

C X ∣AX ≤b,X ≥0}最优基 Z *= C B B -1b=Y *b Z *=y 1*b 1+y 2*b 2…y m *

b m

z b

δδ=y3* ⑷表明增加一个单位的运量会引起总运输费用的变化

1．线性规划原问题中约束的个数与其对偶问题中的变量个数相等。若原问题第j 个约束

为等式，则对偶问题第j 个变量自由。（2002）解：

2．设线性规划问题max:{cx|Ax ≤bx ≥0}有最优解，且最优解值z>0；如果c 和b 分别被v>1

所乘，则改变后的问题也有（也有、不一定有）最优解；若有最优解，其最优解大于 (大于、小于、等于)z 。（2002）

1．下列数学模型中 a 是线性规划模型。(2001)

???

??++++=32954867min max )(321321x x x x x x Z b

321324m ax )(x x x Z a ++=

???

??≥≤++≤++0,,120544150637..3

21321321x x x x x x x x x t s ???

??≥≤++≤++0,,500896300

355..3

21321321x x x x x x x x x t s 解：

2．下列图形（阴影部分）中 b 是凸集。(2001)

（a ）（b ）（c ）解：

3．标准形式的线性规划问题，其可行解 b 是基本可行解，最优解 a 是可行解，最优解 a 能在可行域的某顶点达到。(2001)

（a ）一定（b ）不一定（c ）一定不解：

4．目标函数取极小（min Z ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大 b 的线性规划问题求解，原问题的目标函数值等于 c 。(2001)

（a ）max Z （b ）max （-Z ）（c ）-max （-Z ）（d ）-max Z （a ）最小元素法（b ）比回路法 1. 线性规划单纯形算法的基本步骤是：（1）（2） (3) 每次迭代保持解的，改善解值的。对偶单纯形法每次迭代保持解的，改善解值的。（2000）

解：确定一个初始基可行解；检验一个基可行解是否为最优解；寻找一个更好基可行解；可行性；最优性。

2. 设有线性规划问题[]{}0,|,m in ≥==∈=X b AX X R X CX f ，有一可行基B （为A 中的前m 列），记相应基变量为πX ，价格系数为C B ，相应于非基变量为X N ，价格系数为C N ，则相应于B 的基本可行解为X= ；用非基变量来表示基变量的表达式为X B = ；用非基变量表示目标函数的表达式为f= ，B 为最优基的条件是。（2000）

解：111111,,(),00N B N B N N B B b B b B NX C B b C C B N X C C B N ------??-+--≥ ???

3. 线性规划（Min 型）问题有多重最优解时，其最优单纯形表上的特征为：（2000）

解：0,0.j k j x σσ≥=所有检验数而某一个非基变量检验数 6. 某足球队要从1，2，3，4，5号五名队员中挑选若干名上场。令

?=54321i i 0i 1，，，，＝

号不上场，第号上场

第i x 请用x i 的线性表达式表示下列要求：（1）从1，2，3中至多选2名：（2）如果

2号和3号都上场，则5号不上场：（3）只有4号上场,1号才上场：(2000) 解：12345142,

0, 1.x x x x x x x ++≥-≥+≤

1．某工程公司拟从四个项目中选择若干项目，若令

1,1,2,3,4.0,i i x i i ?==??第个项目被选中第个项目末被选中

请用x i 的线性表达式表示下列要求：

（1）从1，2，3项目中至少选择一个：，

（2）只有项目2被选中，项目4才能被选中。（1999）

解：1、x 1+x 2+x 3≥1

x 2≥x 4

2．考虑线形规划问题

123123123123

max 512425..232,,0Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤??-+=??≥?

45（1）上述模型的对偶模型为，（2）对偶模型的最优解为，

（3）当两种资源分别单独增加一个单位时，目标函数值分别增加和，

（4）最优基的逆矩阵1B -?

?=?

???

（5）如果原问题增加一个变量，则对偶问题的可行域将可能变大还是变小？（1999）

解：2．（1）

1212

1212min 5225212

340,W y y y y y y y y y y =++≥??-≥??

+≥??≥?无符号限制

（2）Y*=（295，-2

）

（3）295，-25

（4）2155125

5??- ?

? ? ???

（5）变小

1．下面给出某线形规划的单纯形初表（表1）与某一中间表（表2）（Min 型）：

1) 初表的出基变量为__________，进基变量为_________。

2) 填完表2，该表是否是终表?_________。若是，最优值=*

Z ________ 3) 此线形规划对偶问题的最优解=*

Y _______

(1998)

解：1.下面给出某线形规划的单纯形初表（表1）与某一中间表（表2）（Min 型）：

4) 初表的出基变量为_____x 4_____，进基变量为___x 3______。

5) 填完表2，该表是否是终表?____是_____。若是，最优值=*

Z __-11______

此线形规划对偶问题的最优解=*Y ??

???--,054,

51 解：解：解：解：

解：解：

（二）线性规划建模二（20分）、某化学制药厂有m 种有害副产品，它们的数量为b i （i=1，…，m ）。按照规定，必须经过处理，制成n 种无害物后才能废弃。设aij 为每制成一单位第j （j=1，…，n ）种无害物可以处理掉第i 种有害物的数量，cj 为制成一单位第j 种无害物的费用。

1．现欲求各无害物的产量xj 以使总的处理费用为最小，请写出此问题的线性规划模型； 2．写出此问题的对偶规划模型，并解释对偶规划模型的经济意义。（2007）解：1．

1111221121122222112212min ..,,0

j j

j n n n n m m mn n m

n z c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b

x x x ==∑++?+≥??++?+≥??

??++?+≥??≥??， 2．

1112121112122222112212max ..,,0

i i

i m m m m n n mn m n

m z y b a y a y a y c a y a y a y c s t a y a y a y c

y y y ==∑++?+≤??++?+≤????

??++?+≤??≥??，经济意义：i y 为第i 种有害副产品不经处理直接废弃的费用。

二（10%）、某大型企业每年需要进行多种类型的员工培训。假设共有需要培训的需求（如技术类、管理类）为6种，每种需求的最低培训人数为a i ，i=1,…,6, 可供选择的培训方式（如内部自行培训、外部与高校合作培训）有5种，每种的最高培训人数为bj, j=1,…,5。又设若选择了第1种培训方式，则第3种培训方式也要选择。记x ij 为第i 种需求由第j 方式培训的人员数量，z 为培训总费用。费用的构成包括固定费用和可变费用，第j 种方式的固定费用为hj （与人数无关），

与人数x ij 相应的可变费用为c ij （表示第j 方式培训第i 种需求类型的单位费用）。如果以成本费用为优化目标，请建立该培训问题的结构优化模型（不解）。（2006）

解：二、

ij x i j 设为第种需求由第种方式培训的人员数量，1j 0

j y ?=?

?选择培训方式否则

565

min j j ij ij j i j z y h c x ====+∑∑∑

615

113(1,2,,5)(1,2,,6)0

0(1,6,1,2,,5)01(1,2,,5)ij j j i ij i j ij

j x b y i x a i y y x i j y j ==?≤=∑???≥=∑??

-≤??≥==??==???

或

123约束依A,B 原料次序）:

(2)写出此问题的对偶规划模型（2003）

解：⒈①maxz=30x 1+20x 2+35x 3-8x 1-5x 2-18x 3-5(x 1+0.4x 2+0.6x 3)-7(0.5x 1+0.6x 2+0.5x 3) 目标函数maxz=13.5x 1+8.8x 2+10.5x 3 约束条件 x 1+0.4x 2+0.6x 3≤350 0.5x 1+0.6x 2+0.5x 3≤460 x 1≥0,x 2≥0,x 3≥0

②对偶规划模型

目标函数 minw=350y 1+460y 2 约束条件y 1+0.5y 2≥13.5 0.4y 1+0.6y 2≥8.8 0.6y 1+0.5y 2≥10.5 y 1≥0,y 2≥0 三、（10%）某服装厂制造大、中、小三种尺寸的防寒服，所用资源有尼龙绸、尼龙棉、劳动力和缝纫设备。缝制一件防寒服所需各种资源的数量如表（单位已适当给定）。不考虑固定

费用，则每种防寒服售出一件所得利润分别为10、12、13元，可用资源分别为：尼龙绸1500米，尼龙棉1000米，劳动力4000，设备3000小时。此外，每种防寒服不管缝制多少件，只要做都要支付一定的固定费用：小号为100元，中号为150元，大号为200元。现欲制定一生产计划使获得的利润为最大，请写出其数学模型（不解）。(2002)

解：三、解：设三种防寒服分别生产x 1,x 2,x 3件。z 表示获得的利润,y 1,y 2,y 3分别表示0-1变量，y i =1表示做第x i 种防寒服（i=1,2,3）

321321200150100131210m ax y y y x x x z ---++=

???

?????

???

??=≥≤≤≤≤++≤++≤++≤++1

0,,0,,10000100001000030002.48.38.2400055.4410006.15.13.115009.18.16.1..321321332

11321321321321或y y y x x x y x y

x y x x x x x x x x x x x x x t s

（三）互补松弛应用

二（8%）、线性规划问题12

121

2121

2max 23221228

416412,0

z x x x x x x x

x x x ??????

?????????=++≤+≤≤≤≥

已知其最优解x 1，x 2 > 0，而第1，4两种资源（相应于第1，4两约束）均有余量，应用互

补松弛定理求出原问题和对偶问题的最优解。（2005）

解：二对偶问题

1234123

4min 128161224222430,1,2,3,4i

W y y y y y y y y y y y i =+++++≥??

++≥??≥=?

?=++=++∴>>34222

42,0,0421

32121y y y y y y x x 其对偶问题取严格等式（*） 1414(1)(4)0,0

y y ∴==第，两种资源有剩余，即原问题约束、取严格不等式对应对偶问题变量

代入（*）式，2432=+y y ，322=y 2

,8123==

∴y y []140812**********=?????

???

????????=∴W

**14z w ∴==

由121

12284

4162

x x x x x +==????

?==?? 综上，原问题最优解[]14,24

*==Z x T

对偶问题最优解14,0812

*=??

=W y T

（四）灵敏度分析

三（25%）、派公司是一个生产高尔夫器材的小型公司，近期推出了高、中价位的高尔夫袋新产品（标准袋和高档袋），经销商对此产品十分感兴趣，并订购了派公司下3个月的全部产品。

该高尔夫袋的生产过程主要包括4道工序：切割并印染原材料、缝合、成型（插入支撑架和球棒分离装置等）、检验和包装。有关数据如表1。派公司须决定标准袋和高档袋各生产多少可使公司的总利润最大。

表1

(1) 写出此问题的线性规划模型，约束依表1中次序；

(2) 引入松弛变量（依约束次序）后用单纯形法计算得某单纯形表如表2，请填完表中空白，并判断其是否终表，如果是，请写出最优生产计划、最大利润和资源剩余；

(3) 写出此问题的对偶问题的模型，及对偶的最优解与最优值；

(4) 写出成型时间的影子价格，求使该影子价格不变的成型时间的变化范围；

(5) 若标准袋的利润可能发生变化，则其在何范围内变化时，可使原最优计划不改变？图示说明其几何意义。（2005）解：三设标准袋生产1x ,高档袋生产2x （1）21910m ax x x Z +=

???

???≥≤+≤+≤+≤+0,13541101708326006521630107

2121212121x x x x x x x x x x

1j j B j C C B P σ-=-

[]375.434375.025.19375.0875.10100903133-=????

?????

???----=-=∴-p B C σ )6,,1(0 =≤j j σ ∴是终表

∴最优生产计划[]180120

0252540

=x ，即普通袋540个，高档袋252个

∴最大利润Z []7668252540910*=?

???= (美元) 345601200182412018x x x x ====因为松弛变量，，，所以第，种资源有剩余，分别为，。

（3）对偶问题模型：

???

???≥≥≥+++≥++++++=0,0941********

121107

135708600630min 2143

21432

14321y y y y y y y y y y y y y y W

对偶问题最优解：[]09675

.60375

.4*

由对偶问题的强对偶性知，对偶问题与原问题的最优值相同W *=Z *=7668 (美元)

（4）成型时间影子价格为6.9375

1.8750 1.312506300.937510.156********.250 1.87507080.34375

00.140625

11351.875630 1.3125(708)0

0.937563016000.15625(708)01.256301.87b b b -????????-?

???≥????-+??

???-????

?-?+?≥-?+?-?+?≥-?+使该影子价格不变的成型时间的变化范围应满足即

5(708)0

0.343756300.140625(708)11350

b b ?+?≥-?+?+?+?≥

（5）1c 变化，可能影响检验数，故令

[][][]1113331555901001.8750.937509010001.250.343751.31250.1562509010001.8750.140625j j B j j j

B B

C C B P C C B P C C B P C C C B P C σσσ----=-=-+?????

?=-=-+?≤??-??-??-????

?=-=-+?-≤?????? 16.875 1.25(10)0

11.8125 1.875(10)03.75 3.5

C C C -?+?≥-+?+?≥-≤?≤由此得解得

二（23%）、某公司生产家用的清洁产品，为了在高度的市场竞争中增加市场份额，公司决

定进行一次大规模的广告行动。表1给出了公司准备做广告的三种产品名称、估计每做一单位广告（一个广告标准批量）使每种产品的市场份额增加量、公司拟定的广告后每种产品市场份额增加量的最低目标和两种可选的广告方式的单价。

少。

现公司需拟定使广告总费用最少的广告计划，即决定电视和印刷媒体的广告数量（分别记为x 1和x 2）。

1. 请写出此问题的线性规划模型（约束依表1中产品的次序），并将模型化为标准型。

2. 用（Min 型）单纯形法求解此问题，得单纯形终表如表2.

（1）请填完表中空白；（2）由表指出最优广告计划并求出相应的最低广告费用，此最优计划使每种产品的市场份额最低增量目标达成情况如何？

3. 写出此问题的对偶问题模型，由表2求出对偶最优解Y*,并解释Y*的实际意义。

（2004）

1. min Z=100x 1+200x 2

2121

23321844

x x x x x ≥??

+≥??-+≥? 标准型：

,0,0,0,04

418

233

54321521

42132≥≥≥≥≥???

??=-+-=-+=-x x x x x x x x x x x x x

2. (1)

(2)

最优广告计划T

x )3,4(=，即电视广告数量为4，印刷广告数量为3，最低费用：W=1000 达成情况为去污剂增加3%，恰好达标洗衣剂增加18%，恰好达标洗衣粉增加8%，超额4%完成

(3)

对偶模型为：

,0,02004210034183max 32132132321≥≥≥??

?≤=+≤-++=y y y y y y y y y y y f

对偶最优解为：y=(400/3,100/3,0)

经济意义：y i 代表三种产品的广告的投资，3，18，4为每种产品广告单位投资后的手机，100，200代表用于电视及印刷品的投资额，故该模型的含义为用每种产品的头则使其在不超过约束的条件下达到利润最大化。 (3)(30%)考虑线性规划问题

Min z=-4x 1+x 2+30x 3-11x 4-2x 5+3x 6+10x 7

-2x1+6x3+2x4-3x6+x7=20

-4x1+x2+7x3+x4-x6=10 -5x3+3x4+x5-x6=60 Xj ≥0(j=1,2,…7)

用单纯型法求解,初表及终表如下:

终表1.填完初表和终表中各空白,并说明所得最优解是否是唯一的,为什么?2.考虑当b 变为181360b ????=??????时,对最优解有什么影响?当b 变为181460b ????=??????

时,对最优解是否有影响?

对偶问题最优解?（2003）

j?=Cj-C B B-1P j 1?=-4-(10 1 -2)

-??

- ?

=-4+24=20 6?=3=(10 1 -2)

-??

- ?

-??

=32

3?=30-(10 1 -2)

-??

=-47 4?=-11-(10 1 -2)

=-26

B-1=B-1AN=

1/127/241/24

1/61/125/12 1/21/41/4

?? ?-

? ?-??

B-1P3=

1/127/241/24

1/61/125/12

1/21/41/4

-??

7/4

5/2

-??

- ?

-??

2?=1-(-4 -11 3)

7/24

1/12

1/4

-??

①不唯一，因为存在非基变量检验数为零，则有多个最优解

②B-1b=

1/127/241/24

1/61/125/12

1/21/41/4

-??

5/24

≥0 无影响

B-1b=

1/127/241/24

1/61/125/12

1/21/41/4

-??

1/12

-??

- ?

-??

＜0 有影响

③C B B-1=（-4 -11 3）

1/127/241/24

1/61/125/12

1/21/41/4

-??

=（3 1 -4）

Y=（3 1 -4）

二、（17%）已知线性规划问题

max z = (c 1+t 1) x 1 + c 2x 2 + c 3x 3 + 0x 4 + 0x 5

???

???=≥+=++++=+++)51(03..225323222112214313212111，，j x t b x x a x a x a t b x x a x a x a t s j

当t 1=t 2=0时，用单纯形法求得最终表如下：

X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 3 5/2 0

1/2 1 1/2 0 X 4 5/2 1 1/2 0 1/6 1/3 C j -Z j

要求：1.确定c 1,c 2,c 3,b 1,b 2,a 11,a 12,a 13,a 21,a 22,a 23的值；

2．当t 2=0时，t 1在什么范围内变化上述最优解不变；

3．当t 1=0时，t 2在什么范围内变化上述最优基不变。(2002) 解：二、1．???==????? ??=?

??? ??????

??-=-10

52/52/53/106/12

/121211

b b b b b B 又由δj =C j -C B B -1P j ，设?

?????????=-==??????

???

???????

??-=-???? ??--=-?

??? ??--=-10263/10)(026/12/1)(042/12/1)(43211313132C C C C C C C C C C ???

?-- ??3/106/12/1012/12

/110 ∽

???

?-- ??2011023160

∽????- ??200122

2160

∽????- ??1001121130

初表：∴???

?- ??1001121130

对应得到a 11=0,a 12=1,a 13=2,a 21=3,a 22=-1,a 23=1

2．t 1变化，将影响各检验数的变化，检验各非基变量检验数，若δj ≤0，则最优解不变

8603/10)610(006/12/1)610(00

2/12/1)610(21151412≤≤-?????

???

???≤???? ??+-=≤???? ??-+-=≤???? ??-+--=t t t t δδδ

3．t 2变化即b 变化，要使最优基不变则B -1b ≥0，因为????

??-=-3/106/12/11 B ，所以153/50)10(3/1)35(6/10)35(2/1010353/106/12

/12222221≤≤-??

??≥+++-≥+?≥???? ??++???? ??-=-t t t t t t b B

???

??≤++≤++≤++++=（行政管理约束）（劳动力约束）技术服务约束划模型，并

产量的线性规了使总利润最大的产品据公司实际情况，建立管理，公司经理助理根力和行政种资源：技术服务，动需要种产品：分）某公司生产二、（3006226005410)

(100..4610max 3,,,318321

3213213

21321x x x x x x x x x t s x x x Z x x x

在向总经理汇报时，总经理提出以下问题： 1．公司3中资源的影子价格各是多少？

2．若要现行解保持最优，则产品X 1的单位利润不得低于何值？ 3．若产品X 3值得生产的话，它的单位利润应是多少？

4．制造部门提出要生产一种新产品，该单位产品要技术服务1小时，劳动力4小时，行政

管理3小时。销售部门预测这种产品出售时可获8元的单位利润，管理部门是否考虑应将此新产品投产？

现请帮助经理助理回答以上问题。（2001）

最优，则：

的情况下，现行解保持，，在保持检验数

变化将影响各非基变量是基变量

的单位利润为种产品，产品对于第，劳动力：

为：技术服务：种资源的影子价格分别公司解：0,1.2323103.1543111

11≤∴σσσC x C x x

，则设新产品为

至少应为

，即

在单纯性表中

应为基变量，

值为生产，则若产品

，现行解保持最优有影响，只要保证

变化只对

是非基变量，，

对于，现行解保持最优

只要使：

检验数

变化将影响各非基变量为基变量，

，

同理的：对于

∴

≥

∴

≤

∴

≤

∴

≤

∴

≤

20 0

应将新产品投产