10东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--幂函数教师版
(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc
.. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式
【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ．
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数
注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。
3.3幂函数教师版
§3.3 幂函数 一、基础过关 1．幂函数y ＝f(x)的图象过点(4，1 2 )，那么f(8)的值为 ( ) A ．2 6 B ．64 C.2 4 D.164 2．函数y ＝x 1 2 －1的图象关于x 轴对称的图象大致是 ( ) 3．下列是y ＝x 2 3 的图象的是 ( ) 4．图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一 象限的图象，已知n 取±2，±1 2 四个 值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为 ( ) A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－1 2 5．给出以下结论： ①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点； ③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________． 6．函数y ＝x 12 ＋x － 1的定义域是________． 7．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： (1)y ＝x 2＋x － 2； (2)y ＝x 12＋x －12； (3)f(x)＝x 12＋3(－x)14. 8．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·xm 2 ＋m －1，m 为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 二、能力提升 9．设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)2 5 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．a>b>c C ．c>a>b D ．b>c>a 10．函数f(x)＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 11．若(a ＋1)－12<(3－2a)－1 2 ，则a 的取值范围是________． 12．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，1 4 )． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x 为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x) 高中数学必修一幂函数 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学必修一幂函数教案 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 索一般幂函数的图象规律． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 组织探究 材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定 义，并且图象都过点（1，1）； （2）0 > α时，幂函数的图象通过原 点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别 地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当 1 0< <α时，幂函数的图象上凸； （3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从 右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼 近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴． 师：引导学生 观察图象，归纳概 括幂函数的的性质 及图象变化规律． 生：观察图 象，分组讨论，探 究幂函数的性质和 图象的变化规律， 并展示各自的结论 进行交流评析，并 填表． 探究与发现 1．如图所示，曲线 是幂函数αx y=在第一象 限内的图象，已知α分别 取2, 2 1 ,1,1 -四个值，则相 应图象依次 为：． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图 象，你能发现什么规律？ （1）3- =x y和3 1 - =x y； （2）4 5 x y=和5 4 x y=． 规律1：在第 一象限，作直线 )1 (> =a a x，它同 各幂函数图象相 交，按交点从下到 上的顺序，幂指数 按从小到大的顺序 排列． 规律2：幂指 数互为倒数的幂函 数在第一象限内的 图象关于直线x y= 对称． 作业回馈 1．在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下， 当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管 道半径r的四次方成正比． （1）写出函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流 量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半 径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿， 若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人 口数为y（亿），写出： （1）1993年底、1994年底、2000年底 的世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y与x的 函数解析式． 指数函数、对数函数、幂函数的图 像与性质 欧阳光明（2021.03.07） （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==) 0() 0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 n 为奇数 n 为偶数 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q); ②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 第四讲 幂函数、与反函数 一、知识梳理 1．幂函数： ①定义：形如a y x =（a 为常数）的函数叫幂函数。 当0>a 时，图象过定点)0,0(和)1,1(；当0a 时，函数图象在第一象限剧烈增长； 当0n 时，都过)0,0(和)1,1(，0 专题11 幂函数 （幂函数的定义与图像，幂函数的性质） 知识梳理 一、幂函数 1、幂的有关概念： 正整数指数幂：*)n n a a a a n N =?????∈个 （ 零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂：*1 (0,)p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂： m *n (0,,1)n m a a a m n N n =>∈>且 *11 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a -== >∈> 2、幂函数的定义： 形如k y x =的函数叫幂函数。 注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，高中阶段指数取有理数k 。 3、幂函数的图象. 根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,()k y x k Q =∈的图象. 其中,*,2,,n m N m m n ∈≥互质. 4、幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1） ?k>0时：（图A ） （1）图象都通过（0，0），（1，1）； （2）在第一象限内，函数值随x 的增大而增大（增函数）。 ?k<0时；（图B ） （1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而减小（减函数） （3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近。 ?设幂函数k y x =的指数q k p = ，其中p 、q 互素 当p 是偶数时，k y x =的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数； 当p 是奇数时，如果q 是偶数，那么k y x =是偶函数；如果q 是奇数，那么k y x =是奇函数 当0k ≠时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到 热身练习 1、下列命题中正确的是（） A 当m=0时，函数m y x =的图像是一条直线 B 幂函数的图像都经过（0,0）， （1,1）两点 C 幂函数m y x =图像不可能在第四象限内 D 若幂函数m y x =为奇函数，则 高考数学知识点：幂函数知识点_知识点总结 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。 第一课时：幂函数 知识点一 幂函数的概念 思考 y ＝1 x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？ 答案 底数为x ，指数为常数. 梳理 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 知识点二 五个幂函数的图象与性质 1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12 x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x － 1；(5)y ＝x 3的图象如图. 2.五个幂函数的性质 y ＝ x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝12 x y ＝x － 1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增， 在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 第九节 幂函数与函数应用 基本不等式 知识点三 一般幂函数的图象特征 思考 类比y ＝x 3的图象和性质，研究y ＝x 5的图象与性质. 答案 y ＝x 3与y ＝x 5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0 幂函数复习 重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小． 考纲要求：①了解幂函数的概念； ②结合函数1 2 3 21,,,,y x y x y x y y x x ==== =的图像，了解他们的变化情况． 知识梳理： 1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常 用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习： 1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是 3．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝ 2 21 m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _． 范例分析： 例1比较下列各组数的大小： （1）1.531，1.73 1，1； （22 3 2- ，（－ 107 ）3 2，1.1 3 4- ； （3）3.83 2-，3.952，（－1.8）5 3； （4）31.4，51.5 . 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值． 幂函数复习 考纲要求：①了解幂函数的概念； ②结合函数1 2 3 21,,,,y x y x y x y y x x ==== =的图像，了解他们的变 化情况． 知识梳理： 1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =， 1/2y x =，3 1x y =3 2x y =1y x -=2 -=x y 3-=x y 这几个常 用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0 ,)+∞上是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习： 1如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－的定义域是 3．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝ 2 21m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是__ _ 范例分析： 例1比较下列各组数的大小： （1）1.53 1 ，1.73 1，1； （2）（－ 2 ）3 2- ，（－ 107 ）3 2 ，1.13 4- ； （3）3.83 2- ，3.952，（－1.8）5 3； （4）31.4，51.5. 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值． 例3幂函数2 7323 5 ()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函 数解析式. 反馈练习： 1．幂函数()y f x = 的图象过点1 (4,)2 ，则(8)f 的值为 . 2．比较下列各组数的大小： 32 (2)a + 32 a ； 22 3 (5) a - + 2 3 5- ； 0.50.4 0.40.5. 3．幂函数的图象过点(2, 14 ), 则它的单调递增区间 是 ． 4．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝a x 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值 范围是 ． 5．函数y ＝3 4x -在区间上 是减函数． 6．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 427),另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集. 巩固练习 【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(653 12121 132b a b a b a ????--（2）.)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+ （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； k 幂函数与反比例函数（教师版） 【知识梳理】 1. 反比例函数 形如(0)k y k x = ≠的函数称为反比例函数. (1) 定义域: {|0,R}x x x ≠∈; (2) 值域: {|0,R}x x x ≠∈; (3) 奇偶性: 奇函数; (4) 单调性: 当0k >时, 其图像出现在1,3象限, 在每个象限中单调递减; 当0k >时, 其图像出现在2,4象限, 在每个象限中单调递增; (5) 图像: 双曲线, 直线0x =和0y =是它的渐近线. 2. 幂函数 形如(Q)k y x k =∈的函数称为幂函数. 需要注意的是, 这里的系数规定为1. 3. 幂函数的图像 (1) 幂函数(Q)k y x k =∈的作图可按以下流程进行(为讨论方便, 设0,1≠k ): (2) 幂函数过定点(1,1); (3) 设n k m = (m , n 既约), 则y ①当m , n 都为奇数时, 它是一个奇函数; ②当m 是奇数, n 是偶数时, 它是一个偶函数; ③当m 是偶数, n 是奇数时, 它是一个非奇非偶函数; (4) 0(0)=≠y x x 是一个特殊的幂函数, 其图像为直线1=y 去掉点(0,1); (5) 幂函数为偶函数?图像出现在第二象限; 为奇函数?图像出现在第三象限. 【基础训练】 1. 已知一次函数1y ax =+的图像与反比例函数k y x = 的图像交于点(2,3)M 与N , 则||MN = 2. 幂函数()f x 的图像经过点 , 则(8)f =3. 函数12(0)y x x x =+< 单调递增区间为单调递减区间为4. 当幂函数(Q)k y x k =∈ 的图像满足: (1)不经过原点; (2)不与坐标轴相较; (3)不是(0,)+∞上的减函数, 则k =_______; 解: 不经过原点, 则0k ≤ ; 不与坐标轴相交, 则0k ≤; 不是(0,)+∞的减函数, 则是(0,)+∞增函数或者常值函数, 若是增函数, 则0k >, 但此时函数必过原点; 若是常值函数, 则0k =, 则符合题意. 5. 作出下列函数的大致图像. (1)3 2 y x =; (2)43 y x =; (3)53 y x =; (4)23 y x -=. 【例题解析】 例1. 在2 2919 ()(279)m m f x m m x -+=--中, 当m 为何值时, (1) ()f x 是正比例函数, 且它的图像的倾斜角为钝角? (2) ()f x 是反比例函数, 且它的图像在第一, 三象限?. 解: (1)由题意, 倾斜角为钝角, 则斜率小于0, 得2 2 3 or 6919139 127902m m m m m m m m ==??-+=?? ??=??-≤≤--, 得2 2 4 or 5919159 (,1)(,)27902m m m m m m m m ==??-+=-?? ??=??∈-∞-?+∞-->????. (,-∞[0 幂函数 一、知识梳理：（阅读教材必修1第77页—第79页） 1、幂函数的定义和性质 （1）、一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。 （2）、幂函数的定义依据的取值的不同而不同，在（0，上都有意义，所以对于幂函数性质的讨论，先讨论幂函数在（0，上的性质，在根据函数的奇偶性（如果函数具有奇偶性），讨论其在（0上的性质即可。 （3）、几个常见的幂函数 ，=，2，3，-1，-2, ，它们的图象如图：Array y= y= y= y= 定义域 奇偶性 在第一 象限增 减性 图象过 定点 二、题型探究 [探究一]：应用幂函数的单调性比较大小及解不等式 例1：（1）已知，试比较， ,的大小。 例2：比较与的大小 例3：与，则的取值范围是。 [探究二]：综合应用幂函数的图象及性质 例4：已知幂函数 (p)在（0，）上是增函数，且在定义域上是偶函数，求P 的值，并写出相应的函数解析式。 三、 方法提升 幂函数问题主要考虑到与y= （）,y= （）, y= （）时的图象进行比较分析即可。 四、 反思感悟 五、 课时作业 幂函数单元测试题 一.选择题(36分) 1.下列函数是幂函数的是( ) (A) y=2x (B) y=2x -1 (C) y=(x+1)2 (D) y=32x 2.下列说法正确的是( ) (A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数; (C) y=x 是增函数, 也是偶函数; (D) y=x 0 不是偶函数. 3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( ) (A) y=x -2 (B) y=21x (C) y=41x (D) y=21 x 4.若A=2,B=33,则A 、B 的大小关系是( ) (A) A>B (B) AB 3 (D) 不确定 5.下列是y=3 2x 的图象的是( ) (A) (B) (C) (D) 6.y=x 2与y=2x 的图象的交点个数是（ ） （A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二．填空题（21分） 7．y=(m 2-2m+2)x 2m+1是一个幂函数，则m= . 8. y=x 的单调增区间为 . y 幂函数 典例精析 题型一 幂函数的图象与性质 【例1】点（错误!，2)在幂函数f （x ）的图象上,点(－2,错误!)在幂函数g(x ）的图象上. (1）求f （x)、g （x)的解析式； （2)问当x 为何值时，有：①g(x ）＜f(x)；②f(x)＝g （x ）;③f （x)＜g(x). 【解析】(1)设f(x)＝xa ，因为点（错误!，2)在幂函数f(x)的图象上，将（错误!,2）代入f(x)＝xa 中，得2＝(错误!)a,解得a ＝2，即f(x ）＝x2. 设g （x)＝xb ，因为点(－2，错误!）在幂函数g （x ）的图象上，将（－2，错误!）代入g （x)＝xb 中,得错误!＝(－2)b ，解得b ＝－2，即g(x)＝x －2。 (2)在同一坐标系中作出f （x ）和g(x ）的图象，如图所示，由图象可知： ①当x ＞1或x ＜－1时,g(x)＜f(x ）； ②当x ＝±1时,f （x)＝g （x)； ③当－1＜x ＜1且x≠0时,f(x ）＜g （x ）. 【点拨】（1）求幂函数解析式的步骤: ①设出幂函数的一般形式y ＝xa （a 为常数); ②根据已知条件求出a 的值； ③写出幂函数的解析式. 本题的第（2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求 出不等式和方程的解。这一问也可用分类讨论的思想。x2＝1x2 ，即x4＝1，x ＝±1，以x ＝1，－1为分界点分x ＞1,－1＜x ＜1，x ＜－1,x ＝±1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果。 【变式训练1】函数f(x ）＝(m2－m －1） 322 --m m x 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞）时是减函数，求实数m 。 【解析】因为f （x ）为幂函数, 所以m2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x ）＝x －3在（0，＋∞）上是减函数； 当m ＝－1时，f （x)＝x0在(0,＋∞)上不是减函数. 所以m ＝2。 题型二 作函数图象 【例2】作下列函数图象: （1)y ＝1＋log2x; （2)y ＝2|x ｜－1； （3)y ＝｜x2－4｜。 【解析】(1)y ＝1＋log2x 的图象是： 高三数学第一轮复习：幂函数 重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小． 考纲要求：①了解幂函数的概念； ②结合函数1 2 3 21,,,,y x y x y x y y x x ==== =的图像，了解他们的变化情况． 知识梳理： 1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常 用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习： 1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是 3．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝ 2 21 m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _． 范例分析： 例1比较下列各组数的大小： （1）1.53 1，1.73 1，1； （22 ） 3 2- ，（－ 107 ）3 2， 1.13 4-； （3）3.8 3 2-，3.952，（－1.8）5 3； （4）31.4，51.5. 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值． 例3幂函数2 73235 ()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式. 反馈练习： 1．幂函数()y f x =的图象过点1 (4,)2 ，则(8)f 的值为 . 2．比较下列各组数的大小： 32 (2)a + 32 a ； 22 3 (5)a - + 23 5- ； 0.50.4 0.40.5. 3．幂函数的图象过点(2, 14 ), 则它的单调递增区间是 ． 4．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝a x 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ． 5．函数y ＝3 4x -在区间上 是减函数． 6．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 427),另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集. 幂函数 【考纲要求】 1、了解幂函数的概念。 2、结合函数x y =，2x y =，3 x y =，x y 1 =，21 x y =的图象，了解它们的变化情况。 【基础知识】 一、幂函数的定义 形如y=x α（α∈R ，α是常数，x 是自变量）的函数叫幂函数，其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数α取值的不同而不同。函数y=3x α不是幂函数，是复合函数。 二、常见幂函数的图象 三、幂函数的图象和性质 所有幂函数都在(0，+∞)有定义，并且图象都过点(1，1)；α>0，幂函数在(0，+∞)是增函数；α<0，幂函数在(0，+∞)是减函数，且以两条坐标轴为渐近线。幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，并且最多只能出现在两个象限。作幂函数的图象时，要联系函数的定义域、单调性、奇偶性等，先作幂函数在第一象限的图象，然后根据函数的性质就可作出它在定义域内完整的图象。 四、方法总结 1、幂函数y=x α（α∈R ，α是常数，x 是自变量）与指数函数y=a x （a >0且a ≠1）的区别：幂函数是以幂的底为自变量，指数为常数；而指数函数是底数为常数，自变量则处在幂指数的位置。幂函数的指数a 是一个常数，可以是负数，可以是正数，也可以是零，但是指数函数的底数a 的范围是a >0，且a ≠1。 2、作幂函数的图像时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论。 【例题精讲】 例1：幂函数2 22 ()(33)m m f x m m x --=-+的图像不经过原点，求实数m 的值。 【解析】 因为函数是幂函数，所以210231332 2 ==∴=+-∴=+-m m m m m m 或 当1=m 或2=m 时，函数的图像都不经过原点，所以1=m 或2=m 。 例2：已知函数2 222 )()(--+=m m x m m x f ，当m 取什么值时。 （1）)(x f 是正比例函数；（2）)(x f 是反比例函数；（3）)(x f 在第一象限它的图像是上升的曲线。 【解析】 2 22 22 2010 (1)3 1322101 0(2)1212 121222101 0(3)113 2201313m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ?≠≠-+≠??∴∴=??=-=--=??? ≠≠-??+≠??∴∴=+-??=+=---=-???? ><-??+>??∴∴<->+??-->>+<-???? 且由题得或且由题得或或或由题得或或高中数学必修一幂函数教案
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