第1讲 合情推理与演绎推理(教师版)

第1讲 合情推理与演绎推理 自主梳理

1．归纳推理定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理．

2．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．

3．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定 正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．

4．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他

特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征 ，我们把这种推理过程称为类比推理． 类比推理是两类事物特征之间的推理．

5．合情推理：合情推理是根据实验 和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实 和正

确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．

6．在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用演绎推理的法则将命题推导出来．

7．演绎推理三段论：

探究点一：归纳推理在数列中的应用

例1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．

解 在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1

＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12

，所以数列??????1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，所以通项公式a n ＝2n ＋1

变式迁移1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)

(1)求a 2，a 3，a 4，a 5；

(2)归纳猜想通项公式a n .

解 (1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，

a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. (2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，

a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，

可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．

探究点二：归纳推理在图形变化中的应用

例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分

别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝10_；f (n )＝n n ＋1n ＋2

6

(答案用含n 的代数式表示)．

解析 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)

＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆

个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；

f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12

.将以上(n －1)个式子相加可得 f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12

[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n n ＋12]＝n n ＋1n ＋26

. 变式迁移2：在平面内观察：

凸四边形有2条对角线，

凸五边形有5条对角线，

凸六边形有9条对角线，

…

由此猜想凸n (n ≥4且n ∈N *)边形有几条对角线？

解 凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，

凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，

于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．

于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．

探究点三：归纳推理在算式问题中的应用

例3 观察下列等式，并从中归纳出一般法则．

(1)1＝12，

1＋3＝22，

1＋3＋5＝32，

1＋3＋5＋7＝42，

1＋3＋5＋7＋9＝52，

……

(2)1＝12，

2＋3＋4＝32，

3＋4＋5＋6＋7＝52

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，

5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，

……

解 (1)对于(1)，等号左端是整数，且是从1开始的n 项的和，等号的右端是项数的平方； 对于(2)，等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n －1，等号的右端是项数的平方．

∴(1)猜想结论：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)．

(2)猜想结论：n ＋(n ＋1)＋…＋[n ＋(3n －2)]＝(2n －1)2(n ∈N *)．

变式迁移3：在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π

成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π

成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中成立的不等式为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2

n －2π

(n ≥3且n ∈N *).． 探究点四：类比推理在几何中的应用

例4：在平面内，可以用面积法证明下面的结论：

从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高

分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c

＝1. 请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．

解 类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，p d ，且相

应各面上的高分别为h a ，h b ，h c ，h d .则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝1.证明如下： p a h a ＝13S △BCD ·p a 13S △BCD ·h a

＝V P —BCD V A —BCD ，同理有p b h b ＝V P —CDA V B —CDA ，p c h c ＝V P —BDA V C —BDA ，p d h d ＝V P —ABC V D —ABC ，V P —BCD

＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC ＝V A —BCD ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V P —BCD ＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC V A —BCD

＝1. 变式迁移:4：在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 2

2

，将此结论类比到空间有在三棱锥A —BCD 中，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则此三棱锥的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 2

2

探究点五：定义、定理或性质中的类比

例5：在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明：等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立． 解析 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，

又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，

∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .相应地，类比此性质在等比数列

{b n }中，可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n ，(n <17，n ∈N *)．

变式迁移5：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类

比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4:，T 12T 8_，T 16T 12

成等比数列． 探究点六：演绎推理

例6：在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足．求证：AB 的中点M 到D 、E 的距离相等．

证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前

提在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提所以△ADB 是

直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，——大前提而M 是Rt △ADB 斜边AB 的中点，DM 是斜边上的中线，

——小前提所以DM ＝12AB .——结论同理EM ＝12

AB ，所以DM ＝EM . 变式迁移6：已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.

证明 三角形的中位线平行于底边， 大前提

点E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 小前提

所以EF ∥BD . 结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行， 大前提

EF ?平面BCD ，BD ?平面BCD ，

EF ∥BD ， 小前提

EF ∥平面BCD . 结论

课后小试身手

一、选择题

1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于(B) A．47 B．65 C．63 D．128

2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(D) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)

3．下列推理正确的是(D) A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y

B．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin (x＋y)＝sin x＋sin y

C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a y

D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c

4．下面几种推理是合情推理的是(C)

①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.

A．①②B．①③C．①②④D．②④

5．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．上表述正确的是(D)

A．①②③ B．②③④C．②④⑤D．①③⑤

6．下列说法不正确的是(D) A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理

C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠

7．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理(C)

A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确

8．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是(B) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形9．下列几种推理过程是演绎推理的是(A) A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测

各班都超过50人 D ．预测股票走势图

10． 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是

(B)

A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交

B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直

C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行

D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行

二、选择题

11． f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72

，推测当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22

解析[f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)＝5＋22

.] 12． 已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32

. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32

13． 如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为 ①．

14． 在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，

类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列

有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是 ①．

①b 4＋b 8>b 5＋b 7；②b 5＋b 7>b 4＋b 8；③b 4＋b 7>b 5＋b 8；④b 4

＋b 5>b 7＋b 8.

15． 类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ，y )的坐标公式???

x ＝x 1＋x 2＋x 33y ＝y 1＋y 2＋y 33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，

y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 4)为顶点的四面体A —BCD 的重点G (x ，y ，z )

的公式为????? x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 44．

16．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上

的凸集，给出平面上4个点集的图形如上图(阴影区域及其边界)：

其中为凸集的是②③(写出所有凸集相应图形的序号)．

三，解答题

17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n

＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．

解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3

＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1

(n ∈N *)．

18．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．

(1)3条直线最多将平面分成多少部分？

(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系；

(3)求出f (n )．

解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分．(2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.

(3)f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝n ＋(n －1)＋(n －2) ＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22.

19．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其

中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间

四面体性质的猜想．

解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，

△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，

面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．

我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ

20．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求a 的值． 解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴(a －1a )(e x －1e )＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a

＝0，即a 2＝1.又a >0，∴a ＝1.