固体物理_第一章(1.4 晶向、晶面指数)
第1章晶体结构
1.1 晶格的周期性
1.2 典型晶格实例
1.3 晶格的对称性
1.4 晶向、晶面指数
1.5 倒格子、布里渊区和晶体散射
1.4.1 晶列指数（晶胞中）
特别性质：
所有平行晶列组成晶列族，包含所有格点 晶列上的格点也是周期性的，且每一列格点分布一致 同一个截面内，晶列是平行等距的
晶列：连接任意格点的平行
直线
晶向：晶列的取向
晶列指数：晶向的矢量表达
1.4.2 晶面指数（密勒指数）
*平行的晶面组成晶面族，晶面族
包含所有格点；
* 晶面上的格点分布具有特定周期
性，是二维格子
* 同一族晶面中，每一个晶面的格
点分布一致
* 同一族晶面中，相邻晶面平行等
距：系列平行等距晶面构成晶族
晶面：晶格中任意三个不在同一直线上的格点决定的平面
若晶面与某坐标轴平行，则截距无穷大，对于晶面指数为0 简单立方晶格，晶面指数与晶面的法线晶向指数完全相同 晶列指数与晶面指数相同时，对应晶向与晶面正交（即为该晶面的法向矢量）：用平面的法线式方程可证明
若截距为负数，则对应指数头上加“-”号
等效晶面常用大括号表示{hkl}，例如(100)，(010)统一用{100}表示，同样包括{110}、{111}晶面；
晶面指数较小的面，一般为解理面
晶面指数可用于计算两个面之间的夹角
等效于法线矢量的夹角：二者内积/模的乘积
晶面指数可用于计算两个面之间的间距：等效于离原点最近的晶面上任意一点的格矢长度，在法线方
向的投影
即，假设基矢长度分别为a、b、c，晶面指数为(h, k, l)，则对应立体坐标系下的截距分别为a/h, b/k, c/l，
继而，该晶面的法线矢量为(h/a, k/b, l/c)，写成方向向量为
(h/a, k/b, l/c)
222
选择在a轴上的截距，在法线的投影，即a/h在方向的投影
d
222
固体物理课后答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体 积，则致密度ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为, , 4 33a V r a= =晶胞内包含2个原子，所以 ρ=π π 8 3 ) ( * 2 3 3 4 3 3 4 = a a
图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ=6 2)( *4334234 ππ=a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23232c r a == 晶胞体积 V = 222 360sin ca ca =ο, 一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ=ππ62) (*2223 3234 =ca a .
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
i.4晶向指数和晶面指数 一■晶向和晶面 i 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某 些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线 的指向。 2晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原 子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。 材料的许多性质和行为 （如各种 物理性质、力学行为、相变、X 光和电子衍射特性等）都和晶面、 晶向有密切的关系。所以， 为了研究和描述材料的性质和行为， 首先就要设法表征晶面和晶向。 为了便于确定和区别晶 体中不同方位的晶向和晶面， 国际上通用密勒（Miller ）指数来统一标定晶向指数与晶面指 数。 二 晶向指数和晶面指数的确定 i 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数［uvW ］的步骤如图i 所示。 建立以晶轴a ，b , c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长 坐标原点在待标 晶向上。 选取该晶向上原点以外的任一点 P （xa ，yb ，zc ）。 将xa , yb , zc 化成最小的简单整数比 u , v , w,且u ： v : w = xa : yb : zc 。 将u , v , w 三数置于方括号内就得到晶向指数 图2不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时， 坐标原点不一定非选取在晶向上不可。 若原点不在待标晶向 上，那就需要选取该晶向上两点的坐标 Rx i, y i, z i ）和Q X 2, y 2, z 2），然后将（X i -X 2），（y i - y 2）， ⑴ c ， ⑵ ⑶ ⑷ [iiD] [101] {01 Oi] b a , b , [uvW 。 图1晶向指数的确定方法 [00[] ￡ \ If * a _________________ m
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、 晶体的结构 1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6π; （2）体心立方, ;8 3π （3）面心立方， ;62π （4）六角密积，;62 π （5）金刚石结构， ;16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体 积，则致密度ρ=V r n 3 34π （1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积， 如图1.2所示，中心在1，2，3，4 处的原子球将依次相切，因为 ,,433a V r a == 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) (3 3 23 4π π= a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如 图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以 ρ= ππ8 3) ( *23 3 4 334= a a
图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为 3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ= 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23 2 32c r a == 晶胞体积 V = 2 22 360sin ca ca = , 一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ= ππ6 2)(*22 2 3 3 234= ca a .
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
1.4 晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 二晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。 (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。 图1 晶向指数的确定方法 图2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，
(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用
固体物理第一章习题解答
固体物理学第一章习题解答 1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。 答：晶态：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质：（1）长程有序；（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。 非晶态特点：不具有长程序。具有短程序。短程序包括：（1）近邻原子的数目和种类；（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配臵的几何方位（键角）。 准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。 晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2、什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点构 成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。 答：布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。 NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。 （1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子） （2）底心立方（3）底心四方 （4）面心四方（5）侧心立方 （6）边心立方 并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？ 答：要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之，则为复式格子。 （1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。 （2）底心立方如下图所示，它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的，因而都是等价的，所以它的基元也由一个原子组成，是简单格子，属于四角晶系。 （3）底心四方如下图所示，每个原子的周围情况完全相同，基元中只有一个原子，属于简单格子，属于四角晶系。
固体物理学答案详细版
《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 二晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。 (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。 图1 晶向指数的确定方法 图2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，
(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用
固体物理思考题
绪论 1.二十世纪物理学的三大前沿领域是什么？ [解答]微观领域（把包括分子、原子和各种基本粒子（一般线度小于亿分之一米）的粒子称为微观粒子，而微观粒子和它们现象的总称就是微观世界或微观领域。）、宇宙起源（许多科学家认为，宇宙是由大约137亿年前发生的一次大爆炸形成的）和演化复杂性问题（研究重点是探索宏观领域的复杂性及其演化问题）。 2.还原论的思维特点是什么？他对人们思想有何影响？ [解答] 将复杂还原为简单，然后从简单再建复杂。它对人们认识客观世界有重要的积极的意义，并取得许多重要的成果，但这种思维特点不能强调过分，因为层展论也是认识客观世界的一种重要思维方法。 3.固体物理学的范式是什么？结合所学内容谈谈你是怎样理解这种范式的。 [解答]是周期性结构中波的传播。不同类型的波,不管是德布罗意波还是经典波, 弹性波还是电磁波,横波还是纵波,在波的传播问题上具有共性。固体物理学主要是探讨具有周期结构特征的晶态物质的结构与性能的关系。弹性波或晶格波在周期结构中的传播导致了点阵动力学,它主要由Born 及其合作者建立起来的;短波 长电磁波在周期结构中的传播导致了晶体中X 射线衍射问题,其动力学理论系由Ewald 与Laue 所表述的;德布罗意波(电子) 在周期结构中的传播导致了固体电子结构的能带理论,它是由Bloch 、A. C. Wilson ,Brillouin 等所表述的。这些理论有其共同的特征:为了借助于平移对称(周期性) 引入的简化,都采用Bloch 的 表示方式,也都强调了波矢(或倒) 空间(即实空间的富利叶变换) 的重要性。随后对这些领域进行加固并开发应用成为固体物理学家的主要任务。值得注意,即使 时至今日,这一范式还存在生机,到80 年代末及以后关于光子能带与声子能带的 研究又为它注入新的活力。 4.层展论的思维方法是什么？怎样理解实验发现、理论洞见和实际应用三者之 间的关系。 层展论的思维特点是从简单到复杂，每个层次都有自己独特的研究对象、研究内容、研究方法和客观规律；实验发现、理论洞见和实际应用三者间关系非常复杂，在固体物理研究中，有时是实验发现在前，有时是实际应用在前，也有时是理论洞见在先，尽管这种情况较少。 第一章 1.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大.因为面间距大的晶面族的指数低,所以解理面是面指数
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密 度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子 球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致 密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示 刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度 ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原 子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2， 3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个 最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体 心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，
因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以 ρ= ππ8 3) ( *23 3 4 334= a a 图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ = 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，
晶向指数与晶面指数
1.4晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面1晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种 物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以， 为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶 体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指 数。 二晶向指数和晶面指数的确定1晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数［uvw］的步骤如图1所示。 （1）建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 ⑵选取该晶向上原点以外的任一点P（xa，yb，zc）。 ⑶将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w,且u ：v : w = xa : yb : zc。 ⑷将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数［uvW。 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上，那就需要选取该晶向上两点的坐标F（x1，y1, z"和Q X2, y2, Z2），然后将（X1-X2），（y 「y2），(Z1-Z2)三个数化成最小的简单整数u,v,w,并使之满足u：v：w=(x i-X2)：( y i-y2)：(z i-Z2)。则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图3中[0 10]与[010]。
固体物理思考题答案固体物理课后思考题答案
固体物理思考题答案固体物理课后思考题答案第一章晶体的结构 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶胞的边长为 , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为 为 ; 面心立方晶胞的边长为 , 晶胞的体积为 , 单位体积晶体中的原子数为 , 晶胞的体积为 ,单位体积晶体中的原子数 , 一个晶胞包含四个 . 因此, 同体 原子, 一个原子占的体积为 1 积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 =0.272. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面,为什么, [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 基矢为 , , 的晶体为何种结构? 若 + , 又为何种结构? 为什么?
[解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 . 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 , , . 对应体心立方结构. 根据14题可以验证, , 若 , 的晶体为体心立方结构. 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为 + 则晶体的原胞的体积 2 , , 该晶体仍为体心立方结构. 4. 若 构证明之. [解答] 若 可知 , =h +k +l =(k+l) (l+h)
, (h+k) =p , =p(l1 +l2 +l3 与 平行, 一定是 的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式 与 平行, 是否是 的整数倍? 以体心立方和面心立方结 3 ), 其中p是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公约(整)数. 对于面心立方结构, 由(1.3)式可知, , =h +k +l =(-h+k+l) +(h-k+l) +l3 ), , +(h+k-l) =p’ , = p’(l1
固体物理学1~6章习题解答
《固体物理学》习题解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b 那么， Rf Rb 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分 别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010） (213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°
黄昆固体物理课后习题答案6
第六章 自由电子论和电子的输运性质 思 考 题 1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率 [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+=-T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11 )(/)(+=-T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量 [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11 /-=T k i B i e n ωη. 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的 [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化 [解答] 费密能级 3/2220)3(2πn m E F η=, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低 [解答]
《固体物理学》房晓勇-习题01第一章 晶体的结构
第一章 晶体的结构 1.1试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 解：我们知体心立方格子的基矢为： () () () 123222a a i j k a a i j k a a i j k ?=-++?? ?=-+? ? ?=+-?? 根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为： ()( )( ) 1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ?=??? ? =??? ?=??? () 3 1231Ω2 a a a a =??= 23222222222222 2 2 2 2 2 2 i j k a a a a a a a a a a a i j k a a a a a a a a a - - ?= - =++--- 22 22 a a j k =+ ()()() 223132π2π2πΩ22 a b a a j k j k a a =?=+=+ 同理 ()() 232π2π ,b i k b i j a a = +=+ () () () 1232π2π2πb j k a b i k a b i j a ?=+?? ?=+? ? ?=+?? 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。
我们知面心立方格子的基矢为 () () () 123222a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+? ? ?=+?? ()( )( ) 1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ? =??? ?=?? ? ?=??? () 31231Ω4 a a a a =??= 230 02222022 00 22 2 2 2 2 i j k a a a a a a a a i j k a a a a a a ?= =++- 222444 a a a i j k =-++ ()() 222223132π2π2π Ω24444 a a a a b a a i j k i j k a a ??=?=-+ +=-++ ???同理 ()() 232π2π,b i j k b i j k a a =-+=+- () () () 1232π2π2πb i j k a b i j k a b i j k a ?=-++?? ? =-+?? ?=+-?? 由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil ）来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成1200的共面轴123,,a a a 上的截距为 3 12,,a a a h k i ，第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为c l 。证明： ()i h k =-+ 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：
《固体物理学》房晓勇-思考题01第一章 晶体的结构
第一章 晶体的结构 思考题 1.1 为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？ 解答： 在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距d 较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定，因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容易在晶体生长过程中显露在外表面，所以面指数简单的晶面往往暴露在外表面。 1.2 任何晶面族中最靠近原点的那个晶面必定通过一个或多个基矢的末端吗？ 解答： 根据《固体物理学》式（1-10a ） ()()( ) ()111222333cos ,cos ,110cos ,a a n h d a a n h d a a a n h d ?=?? =-?? ?=? 1.3 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 1.4在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方？ 解答：参考陈金富P33页，徐至中1-13 1）图（a ）代表向c 轴俯视所观察到的体心四方的格点分布。格点②距离由格点①组成的晶面的C/2处。如C=a ，则点阵为bcc;如图所示，为已经伸长的bcc ，c ≠a ，它是体心四方点阵。如 图（b ）与图（a ）代表同样的点阵，只是观察的角度不同，图中①构成四方面心格点， 面心格点间的距离a '= ，如2a C '= =，则点阵为fcc ；对于一般的C 值，图（b ） 是沿c 轴伸长后的点阵，因此相同的点阵从（a ）是体心点阵，从（b ）看是面心点阵，本质上相同，都称为体心四方点阵。 2）类似的底心四方和简单四方是同一种点阵。 3）底心立方不再具有立方对称性。所以不存在。 1.5 许多金属既可以形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积
固体物理课后答案
x 表示钢球所占体积与总体积之比，如果将等体积球分别排列成下列结构，设 x简单立方π / 6 ≈体心立方 3π / 8 证明结构≈面心立方 2π / 6 ≈六方密排 2π / 6 ≈金刚石 3π /16 ≈ r a r 的关系根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数与解：设钢球半径为，a r不同，分别为：简单立方：= 2
金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为
同理 aπ/ 4的面心立方的基矢，说明体心立方晶与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 aπ4的体心立方晶格的基矢。而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为
ABC 交于基矢的密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面证明：根据定义，截距分别为 即为平面的法线 根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为
hkld 满足, 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(), 的晶面系，面间距 a 为立方边长。其中 解：根据倒格子的特点，倒格子 hkl)(与晶面族,, 的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为
则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立。，写出最近邻和次近邻的原子间距a 方边长为 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 a ；，次近邻原子间距为6次近邻原子数为 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于 a 。，次近邻原子间距为次近邻原子数为6α = 2ln 2 证明两种一价离子组成 的一维晶格的马德隆常数为 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考
固体物理课后答案
如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈体心立方3π/ 8 ≈面心立方2π/ 6 ≈六方密排2π/ 6 ≈金刚石3π/16 ≈ 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有
证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ； 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α= 2ln 2 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有 根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子2 是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。 则马德隆常数为 当x =1时，有 所以α= 2ln 2
固体物理学习题答案朱建国版完整版
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《固体物理学》习题参考第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f和R b代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f/R b等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b 那么，Rf Rb = 3 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点若ABC面的指数为（234），情况又如何 答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 正方a=b 六方 a=b 矩形带心矩形 a=b 平行四边
1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133) 1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方： 6π （2 ）体心立方：8（3 ）面心立方：6（4 ）六方密堆积：6（5） 。 答：令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有： 边长为a 的立方晶胞中堆积比率为