算术平方根(二次根式)知识点汇总

算术平方根（二次根式）知识点汇总

知识点一：二次根式的概念： 0a ≥）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须

注意：因为负数没有平方根，所以0a ≥是

知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0

0a ≥）的非负性

0a ≥）表示a 0a ≥0(0)a ≥≥

注：0a ≥）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算

术平方根是0，所以非负数（0a ≥0(0)a ≥≥这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，

0=，则a=0,b=00b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式2的性质：2(0)a a =≥

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式2(0)a a =≥是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可

以反过来应用：若，则2a =，如：22=，

212=.

知识点五：二次根式的性质 a =

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注： 1a 是正数还是负数，若是正数或0，则

等于a 本身，即a a ==(0)a ≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即

(0)a a a ==-≤；

2、a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；

3、化简a ，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：2

1、不同点：22表示一个正数a 的算术平方根的平方，

而a 的平方的算术平方根；在2中，0a ≥a 可以是正实数，

0，负实数。但220≥0≥.

2、相同点：当被开方数都是非负数，即当0a ≥时，20a ≤时，2无意义，

而a =-.

实数的开方与二次根式(总复习)

初中数学总复习 1.3数的开方和二次根式一：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1） ①20,a ≥=若则；③= (0,0)a b ≥≥ ( )()a a a ?==?-?0,0)a b =≥ （2）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式； 0,0)a b =≥≥； 0,0)a b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。二：【课前练习】 1.填空题

2. 判断题 3. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A 5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1；（2 （3 3．当x ≤2时，下列等式一定成立的是（） A 2x =- B 3x =- C 、= D 4. 那么x 取值范围是（）

A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 5. 当a 则实数a 在数轴上的对应点在（） A ．原点的右侧 B ．原点的左侧 C ．原点或原点的右侧 D ．原点或原点的左侧 6. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；是17的平方根，其中正确的有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7. ______． 8. 当a ≥0= 9.计算（1）（2）、))20032 （3）、(2；（4） 10. 已知：x y 、为实数，3x+4y 的值。

平方根知识点总结讲义

平方根知识点总结讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

平方根知识点总结【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数. 要点诠释：有意义时，a≥0，a≥0. 2.平方根的定义 =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方如果2x a a≥a的算与开平方互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0) 术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1； ∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，

算术平方根、平方根知识点

学科教师辅导讲义

知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（） A.10<

2. 例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（） A.2 B.-1 C.1 D.0

随堂巩固一、选择题. 1. 4的算术平方根是（） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说法正确的是（） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与最接近的是（） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ；（2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 30 04.0

(完整版)中考数学第一章《数的开方与二次根式》复习教案新人教版

章节第一章课题数的开方与二次根式课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育） 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。教学重点使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点二次根式的化简与计算. 教学媒体学案教学过程一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1）（2）（3）（4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥f （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式；

②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥f ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）23x -+；（2）211x x -+；（3）14 x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2222 1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：

新人教版第六章实数知识点归纳

实数知识点总结一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1）如果一个正数x的平方等于a，即,那么这个正数ｘ叫做a的算术平方根。（２)如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的平方根。 (3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做ａ的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做a 的立方根。 2、运算名称 (1）求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号（1）正数a的算术平方根,记作“a”。（2)ａ(a≥0)的平方根的符号表达为。 (３）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结，ａ的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那(1)若a≥０，则a的平方根是a 个叫它的算术平方根;０的平方根和算术平方根都是０;负数没有平方根。实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0。（2)若ａ<0，则ａ没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。（3）正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。二、小数点移动规律平方根（如果被开方数的小数点,向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位)立方根（开立方的小数点移动规律:被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位）三、实数的概念及分类 1、实数的分类

(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型

“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a ≥0。 4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0 例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151 ； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81± ；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-. （5） 44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-

例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时，a 的平方根是± a ，即a 是非负数. 例4、若 ,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习：已知 ,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2 =36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y= )1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 23(2)0y z -++=，求xyz 的值。

平方根和立方根知识点

平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。如：23与－23都是529的平方根。因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。知识点二：概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。知识点三：（1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？－7和7是哪个数的平方根？正数m 的平方根怎样表示？（2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解：例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49±

平方根知识点汇总讲义

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平方根知识点总结【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 2(0)||0 (0)(0) a a a a a a a >??===??-

数的开方与二次根式讲义

数的开方与二次根式讲义〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． (2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). 0;0();0;0(); 0(), 0(||); 0()(22>≥=≥≥?=?? ?<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥= ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

实数知识点总结

平方根的有关概念例1:写出下列各数的算术平方根。 81 」 2 （1）0.0009 ；（2）方；（3） -5 49 ?平方根 1. 定义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。即如果x 负平方根用“-2 a ”表示，根指数是2时，通常省略不写。一 J. a 记作士 Pa ，读作“正、负根号 a ”。实数那么x 就叫做a 的平方根。如： _22 =4，所以4的平方根是_2 ； 9 25 所以 9 3 — 的平方根是二—；02 = 0 ,所以 25 5 0的平方根是0。 2.表示方法一个数a 的正的平方根，用符号“ 2 a ” 表示，a 叫做被开方数, 2叫做根指数, 如Va 记作需，读作“根号a ”,

温馨提示 ① 任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根。 ② “ 5是25的平方根”这种说法是正确的，反过来说“ 25的平方根是5”就错了，因为“正数有两个平方根”，所以必须说“ 25的平方根是土 5”。 ③求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来, 个数的平方根，只要把这个数平方，看其是否等于另一个数即可。 3?平方根的性质 (1 )一个正数a 有两个平方根，它们互为相反数，记作 a 。 (2) 零的平方根是零。 (3) 负数没有平方根。厂温馨提示条件。例2:判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 一 6的平方根是36；( 2)1的平方根是1；( 3)-9的平方根是—3 ；( 4) 361 二-19 ； (5) 9是一 9 2的算术平方根。而判断一个数是不是另 ①a _ 0时，、a 表示a 的算术平方根， -,a 表示a 的平方根。 ②因为负数没有平方根，所以被开方数 a _ 0。女口 x - 3中隐含着x-3_0，即x_ 3这一■ ③ G/a f=a (a H 0 ), J a 2=* a, a -a, a : 0. -0,

人教版七年级下册第六章实数第一讲平方根讲义(解析版)

实数第一讲平方根【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．考点一、算术根知识讲解定义：如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 补充： 1.有意义时， ≥0，≥0. 2. 规定0的算术平方根还是0. 3.算术平方根等于他自己本身的有0和1. 典型例题例1.下列说法正确的是（） A.0的算术平方根是0 B.9是3的算术平方根 C.±3是9的算术平方根 D.-3是9的算术平方根【答案】A 【考点】算术平方根的定义课堂巩固 1. 下列说法正确的是 ( ) A.因为 52 =25，所以 5 是 25 的算术平方根. B.因为(-5)2=25，所以-5 是 25 的算术平方根. C.因为(±5)2=25，所以 5 和-5 都是 25 的算术平方根. D.以上说法都不对. 【答案】A 2. 下列各式正确的是（） 3 - .3B - 3± 3± 【答案】B 3. 算术平方根等于它本身的数是_______ 【答案】0和1 例2.求下列各数的算术平方根（1）100 （2）0.04 （3） 1681 （4）()2 2- （5）0 （6）10 x a 2 x a =x a a a a a a

【答案】（1）10 （2）0.2 （3）4 9 （4）2 （5）0 （6 课堂巩固 1. 求下列各数的算术平方根（1）121 （2）169 （3）964 （4）1121 （5）0.01 （6）2 25?? - ??? （7）149 【答案】（1）11 （2）13 （3）38 （4）111 （5）0.1 （6）2 5 （7 ）3 2. 求下列各式的值（1 ；（2 ；（3 ；（4 【答案】1000 （2 （3）0.7 （4）9 【点睛】算术平方根为正数的算术平方根是______ 的算术平方根的相反数是______ 【答案】 2，-3 例3. . 【答案】 6 【解析】解：∵25＜ 35＜36 即5＜＜6 ∵35比较接近 36， 6. 课堂同步 1. ） A. 4 和 5 之间 B. 5 和 6 之间 C. 6 和 7 之间 D. 7 和 8 之间【答案】C 2. .估计与1最接近的整数 <35

初三数学总复习教案-数的开方和二次根式

2013初三数学总复习教案数的开方和二次根式一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1）（2）（3）（4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。（二）：【课前练习】 1.填空题

2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）23x -+；（2） 211x x -+；（3）4 x -

27.平方根和二次根式

1 （一）平方根知识点1：平方根的认识 1、先填写下面的空： ______的平方等于9，______的平方等于169 ，_____的平方等于0，______的平方等于9-， _______的平方等于2 5，______的平方等于()25-，______的平方等于2 316。例1：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有说明理由。 ()()()2322322973634,,259a a - ---，，，1，-5，4，，-a , 0 总结：1、________有平方跟，________没有平方根；的平方根是0； 2、2a a == 举例：25= ()25-= 3、只要找到一个数的平方根，肯定是一个正一个负成双成对出现的，切记；练习4： 2a 等于（） A ．a B ．－a C ．±a D ．以上答案都不对知识点2、算术平方根的认识：算术平方根的概念：一般地，一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a,那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根，特别的0的平方根是0.非负数a 的算术平方根表示为 a ，读作根号 a ，例如：42=16,16的算术平方根是4，表示为 16=4 算术平方根的性质：1、正数a 的算术平方根为； 0的算术平方根为；负数的算术平方根为； 2、算术平方根具有双重非负性 (1) ;(2) . 例2：求下列各数的算术平方根：()22257121 31449-，1，，2，15，，a 练习5：下列说法正确的是（） A ．5是25的算术平方根 B ．±4是16的算术平方根 C ．－6是（－6）2的算术平方根 D ．0.01是0.1的算术平方根练习6：36的算术平方根是（） A ．±6 B ．6 C ．±6 D ．6 计算规律大总结： 1、 25= 26= 28= 2a =

平方根和立方根、二次根式

教学课题：平方根和立方根、二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算. 1.基本要求：（1）了解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根. （2）了解二次根式概念，会确定二次根式有意义的条件. （3）理解二次根式的加、减、乘、除运算法则. 2.略高要求：（1）会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根. （2）会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求立方根. （3）会利用二次根式的性质进行化简；能根据二次根式的性质对代数式作简单变形，在特定条件下，确定字母系数的值. （4）会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（二次根式的个数不超过三个，不要求分母有理化）一、基础知识(投影片) 1．二次根式的有关概（1）正数有_________个平方根，__________没有平方根，0的平方根是______. （2）二次根式：式子 )0 (≥ a a叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．（3）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（4）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). ;0 ( ); ;0 ( ); ( ), ( | | ); ( ) ( 2 2 > ≥ = ≥ ≥ ? = ? ? ? < - ≥ = = ≥ = b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ). ,0 (≥ ≥ = ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． (3)二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

【强烈推荐】七年级数学平方根知识点复习

七年级数学平方根知识点复习 1、二次根式的概念（a ≥0）的式子叫做二次根式。注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0 2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0 3a ≥0）的非负性 a ≥0）表示a （a ≥00（a ≥0）。注意：a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2（a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若0=，则a=0,b=0；若 20b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。 4、二次根式2的性质：2a =（a ≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注意：二次根式的性质公式2a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2a =，如：22=，212=。 5、二次根式的性质 (0)(0)a a a a a ≥?==?-

1.414 1.732 2.236 ≈≈≈ ；；； 2a的取值范围可以是任意实数，即不论a 3a，再根据绝对值的意义来进行化简。 6、2 1、不同点：22表示一个正数a 示一个实数a的平方的算术平方根；在2中a可以是正实数，0，负实数。但2 20 ≥0 ≥。因而它的运算的结果是有差别的，2a =（a≥0）， (0) (0) a a a a a ≥ ? ==? -< ? 2、相同点：当被开方数都是非负数，即a≥0时，2a＜0时，2a =-。 7、二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =；=（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

中考数学习题精选：数的开方和二次根式

一、选择题 1．x 的取值范围是（A ）x ≥0 （B ）x ≠4 （C ）x ≥4 （D ）x ＞4 答案C 2．（2018有意义，则x 的取值范围是 A ．2x >- B ． x ≥2- C ．2x > D ．x ≥2 答案：B 3．（2018北京市朝阳区初二期末）下列各式中，是最简二次根式的是 A ．2.0 B ．18 C ．12+x D ．2x 答案：C 4．（2018北京市东城区初二期末）下列式子为最简二次根式的是 B. C. D. 解：C 5．（2018北京市丰台区初二期末）若二次根式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．2x ≥ B ．2x > C ．2x ≤ D ．2x < 答案：A 6．（2018北京市怀柔区初二期末）3的算术平方根是 A B ． D ．9 答案： B 7．（2018北京市怀柔区初二期末）下列代数式能作为二次根式被开方数的是 A ．3 -π B ．a C ．a 2+1 D ． 2x+4 答案： C 8 ．（2018有意义，那么x 的取值范围是 A ．3x ≥ B ．0x ≥ C ．3x ＞ D ．3x ≠ 答案：A 9．（2018北京市石景山区初二期末）9的算术平方根是 A ．3 B ．3- C ．3± D ．45. 答案：A 10.（2018北京市平谷区初二期末）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是 A ． B C 答案：B 11．（2018 A ．13x > B ．13x ≥ C ．13x ≤ D ．3x ≤ 答案：B 12．（2018有意义，则x 的取值范围是

A ．1x >-且 1x ≠ B ．1x ≥- C ．1x ≠ D ．x ≥-1且 1x ≠ 答案：D 13.（2018北京大兴区八年级第一学期期末）2．9的平方根是 A ．±3 B ． 3 C ．81 D ．±81 14.（2018北京大兴区八年级第一学期期末）6．下列二次根式中，最简二次根式是 A ．8 B ．23m C ．21 D ．6 15. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）实数9的平方根是 A ．3 B ．±3 C ．3± D ．81 答案：B 16、（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考） 17．（2018北京市门头沟区八年级期末）如果实数a =a 在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是 A B C D 答案：D 18．（2018北京市平谷区初二期末）9的算术平方根 A ．-3 B ．3 C ．3± D ．81 答案：B 二、填空题 19.（2018北京市门头沟区八年级期末）如果实数a 在数轴上的位置如图所示，=．答案：1 20.（2018北京西城区二模）有意义，那么x 的取值范围是．答案： x ≤2 21．（2018北京市顺义区八年级期末）25的平方根是 . 答案：5± 22．（2018北京市平谷区初二期末）若1-x 有意义，则x 的取值范围是___________. 解： x -1a x -1430a a -1x a 034-1x 1≥x

平方根知识点总结讲义汇编

平方根知识点总结【学习目标】 1?了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根. 2?了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根. 【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即X2 =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定 o的算术平方根还是0）: a的算术平方根记作?.a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数? 要点诠释：当式子,a有意义时，a 一定表示一个非负数，即?a >o, a >o. 2.平方根的定义如果X2 =a，那么X叫做a的平方根?求一个数a的平方根的运算，叫做开平方?平方与开平方互为逆运算?a（ a〉o）的平方根的符号表达为_,a（八0），其中日是a的算术平方根? 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 i.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和?、a 2 ?联系：（1）平方根包含算术平方根；（2 ）被开方数都是非负数；（3） 0的平方根和算术平方根均为0. 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根. （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根?因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根?要点三、平方根的性质 a （a 0） \ a2 =| a | = 0 （a = 0） -a （a :: 0） .a = a a - 0 要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者

向左移动1 位?例如：.62500 =250 , 、625 =25 , 625 =2.5 , 0.0625 =0.25. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念 CI、若2m — 4与3m — 1是同一个正数的两个平方根，求m的值. 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m — 4二一（3m —

(完整)初中数学复习数的开方与二次根式教案

第6课数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． (2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). 0;0();0;0();0(), 0(||);0()(22>≥=≥≥?=?? ?<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两