《2011年高考安徽卷理科数学试题及答案解析版》

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项：

1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条

形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．

书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡．．．

规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。 4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式：

如果事件A 与B 互斥， 椎体体积1

3

V Sh =

，其中S 为椎体的底面积， 那么()()()P A B P A P B +=+ h 为椎体的高. 如果事件A 与B 相互独立，那么

()()()P AB P A P B =

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设 i 是虚数单位，复数

ai

i

1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2

(D) 1

2

（1）A 【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题. 【解析】设

()ai

bi b R i

1+∈2-=，则1+(2)2ai bi i b bi =-=+，所以1,2b a ==.故选A. （2） 双曲线x y 2

2

2-=8的实轴长是

（A ）2 (B)（2）C 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.

【解析】x y 2

2

2-=8可变形为22

148

x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C.

（3） 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2

=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３ (3)A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题. 【解析】2

(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A.

（４）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为

（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ （4）B 【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题. 【解析】不等式1x y +≤对应的区域如图所示，

当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以2x y +的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.

(5) 在极坐标系中，点 (,

)π

23

到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为

（A ）2

49

π+

2

19

π+

（3(5)D 【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离. 【解析】极坐标(,

)π

23

化为直角坐标为(2cos

,2sin )33

π

π

，即3).圆的极坐标方程2cos ρθ=可化

为2

2cos ρρθ=，化为直角坐标方程为2

2

2x y x +=，即22

(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（1,0），则

由两点间距离公式22

(11)(30)3d =-+-=故选D. (6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为

第（8）题图

（A ） 48 17 17 (D) 80 (6)C 【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.

【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()1

2244242

?

+?=，四个侧面的面积为(44221724817++=+面积为48817+.故选C.

(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数是偶数

（D ）存在一个能被2整除的数不是偶数

（7）D 【命题意图】本题考查全称命题的否定.属容易题. 【解析】把全称量词改为存在量词，并把结果否定.

（8）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ?且S

B φ≠的集合S 的个数为

（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8

（8）B 【命题意图】本题考查集合间的基本关系，考查集合的基本运算，考查子集问题，考查组合知识.属中等难度题.

【解析】集合A 的所有子集共有6

264=个，其中不含4,5,6,7的子集有3

28=个，所以集合S 共有56个.故选B.

（9）已知函数()sin(2)f x x ?=+，其中?为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2

f f π

π>，

则()f x 的单调递增区间是

（A ）,()3

6k k k Z π

πππ??

-

+

∈???

? （B ）,()2k k k Z πππ?

?+∈???

?

（C ）2,()6

3k k k Z π

πππ??+

+

∈???

?

（D ）,()2k k k Z πππ??-∈???? （9）C 【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin(

)16

3

f ππ

?=+=，所以

,3

2

k k Z π

π

?π+=+

∈，

,6

k k Z π

?π=+

∈.由()()2f f π

π>，

（k Z ∈），可知sin()sin(2)π?π?+>+，即sin 0?<，所以(21),6

k k Z π

?π=++

∈，代入

()sin(2)

f x x ?=+，得

()sin(2)

6

f x x π

=-+，由

32222

6

2

k x k π

π

πππ+

+

+

，得263

k x k ππ

ππ+

+

，故选C. (10) 函数()()m

n f x ax

x =1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是

（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==

(10)B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232

=1-=-2+，则()()f x a x x 2

'=3-4+1，

由()()f x a x x 2

'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3?? ???

递增，在1,13??

???递减，即在13x =

取得最大值，由()()f a 21111

=?1-=3332

，知a 存在.故选B. 第II 卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．

. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .

(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)

1232

k k T k +=++++=

，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （12）设()

x a a x a x a x 21

22101221-1=+++，则 .

（12)0【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.

【解析】101110

102121

(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以a a C C 111010112121+=-=0. （13）已知向量a ，b 满足（a +2b ）·（a -b ）=－6，且a =，2b =，则a 与b 的夹角为 . (13)60°【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.

【解析】()()

26a b a b +?-=-，则22

26a a b b +?-=-，即22

1226a b +?-?=-，1a b ?=，所以

1

cos ,2

a b

a b a b ???=

=?，所以,60a b ??=. （14）已知ABC ? 的一个内角为120o

，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ?的面积为

_______________

（14)153. 【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦定理得

222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---，则10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为

1

610sin1201532

S =???=（15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是

_____________（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点

③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点

④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

（15)①③⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大. 【解析】令1

2

y x =+

满足①，故①正确；若2,2k b ==，22y x =+过整点（－1,0），所以②错误；设y kx =是过原点的直线，若此直线过两个整点1122(,),(,)x y x y ，则有11y kx =，22y kx =，两式相减得1212()y y k x x -=-，则点1212(,)x x y y --也在直线y kx =上，通过这种方法可以得到直线l 经过无穷多个整点，通过上下平移y kx =得对于y kx b =+也成立，所以③正确；k 与b 都是有理数,直线

y kx b =+不一定经过整点，④错误；直线2y x =恰过一个整点，⑤正确.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）(本小题满分12分)

设()1x

e f x ax

=+*，其中a 为正实数

（Ⅰ）当a 4

3

=

时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

（17）（本小题满分12分）

如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，

1,2,OA OD ==OAB ,△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC∥EF；（2）求棱锥F—OBED的体积.

（18）（本小题满分13分）

在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .

（19）（本小题满分12分） （Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明

11

x y xy xy x

++

≤+， （Ⅱ）1a b c ≤≤≤，证明

log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++.

（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,p p p 123,,p p p 123，假设,,p p p 123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q 123，其中,,q q q 123是,,p p p 123的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；

（Ⅲ）假定p p p 1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

（21）（本小题满分13分）

设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P 的轨迹方程。