高等数学不定积分讲义.doc

第3、4 次课 4 学时

不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式.

2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I上，如果可导函数??Fx的导函数为()fx，即对任一x?I，都有

??'()Fxfx?或()dFx=?dxxf)(，

那么函数??Fx就称为()fx(或??fxdx)在区间I上的原函数.

（2）原函数存在定理如果函数()fx在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数??Fx, 使对任一x?I都有F?(x)?()fx.

注： 1、如果函数()fx在区间I上有原函数??Fx, 那么()fx就有无限多个原函数. ()FxC?都是()fx的原函数. (其中C是任意常数)

2、()fx的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果?(x)和??Fx都是()fx的原函数,则

??()xFxC???(C为某个常数).

简单地说就是,连续函数一定有原函数.

定义2 在区间I上, 函数()fx的带有任意常数项的原函数称为()fx(或?dxxf)()在区间I上的不定积分. 记作?dxxf)(, 其中记号?称为积分号, ()fx称为被积函数, ?dxxf)(称为被积表达式,x称为积分变量.

3、例题讲解.

例1 因为sinx是cos x的原函数,所以Cxxdx???sincos.

因为x是x21的原函数, 所以Cxdxx???21.

例2. 求函数xxf1)(?的不定积分

解：当0x?时，(ln x)?x1?，Cxdxx???ln 1(0x?).

当0x?时，[ln(x)]?xx1)1(1????? ，Cxdxx????)ln( 1(0x?).合并上面两式,得到