高一平面向量公式
1、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。向量的数量积的运算律
a?b=b?a(交换律);
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由a?b=a?c (a≠0),推不出b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b。
2、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b 的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
3、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
①当且仅当a、b反向时,左边取等号;
②当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时,左边取等号;
②当且仅当a、b反向时,右边取等号。
4、定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ,使向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
5、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
向量共线的重要条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a?b=0。
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。零向量0垂直于任何向量.
常用地一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ,b 和c 是三个矢量,组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中,设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ,令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此,三重标量积必有如下关系式: ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立,这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合,其结果相等。 2.三重矢量积 如a ,b 和c 是三个矢量,组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积,因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立,这就是说只有改变中间矢量时,三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质(证略):() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? (1-209) 将矢量作重新排列又有:()()() a b c b a c b a c ?=??+? (1-210) 3.算子( a ? ) ? 是哈密顿算子,它是一个矢量算子。( a ? )则是一个标量算子,将它作用于标量φ ,即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ,则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍,即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ,则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍,既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 ( 1-209 ) ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
高中数学-公式-平面向量
平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。(1)向量式:a ∥b (b ≠0)?a =λb ;(2)坐标式:a ∥b (b ≠0)?x 1y 2-x 2y 1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), (1)向量式:a ⊥b (b ≠0)?a b =0; (2)坐标式:a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0; 3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积; 4.设A (x 1,x 2)、B(x 2,y 2),则S ⊿AOB =1 2212 1y x y x -; 5.平面向量数量积的坐标表示: (1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; (2)若a =(x,y),则a 2=a a =x 2+y 2,22y x a += ; 十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、 a b ,平面αβ、的法向量分别是、u v ,则: (1)线线平行:l ∥m ?a ∥b ?=a kb (2)线面平行:l ∥α?a ⊥u 0?=a u (3)面面平行:////αβ??=u v u kv 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合. 2、设直线、m l 的方向向量分别是、 a b ,平面αβ、的法向量分别是、u v ,则: (1)线线垂直:⊥?l m a ⊥b 0?=a b (2)线面垂直:α⊥?l a ∥u ?=a ku
向量公式大全
向量公式大全 『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法 羈AB+BC=AC a+b=(x+x',y+y') a+0=0+a=a 运算律: 交换律:a+b=b+a 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 2.向量减法 罿AB-AC=CB 即“共同起点,指向被减”
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3.数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣ 当λ>0时,λa与a同方向 当λ<0时,λa与a反方向 当λ=0时,λa=0,方向任意 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0 『ps.按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0』实数λ
向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍 数乘运算律: 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb) 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ 4.向量的数量积
定义:已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?c os〈a,b〉若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣ 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y' 向量数量积运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|2 a⊥b〈=〉a?b=0
高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
向量公式汇总
向量公式汇总 平面向量 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ>0时,λa与a同方向; 当λ<0时,λa与a反方向; 当λ=0时,λa=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)b=λ(ab)=(aλb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作ab。若a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:ab=xx'+yy'。 向量的数量积的运算律 ab=ba(交换律); (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律); (a+b)c=ac+bc(分配律);