湖北省武汉市部分重点中学2020_2021学年高二数学上学期12月联考试题
湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二数学上学期12月联
考试题
考试时间:2020年12月25日下午14:30—16:30 试卷满分:150分
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1.抛物线2
2y x =的焦点坐标是( )
A .10,8?? ???
B .10,2?? ???
C .1,08?? ???
D .1,02?? ???
2.设,a b ∈R ,下列四个条件中,使a b <成立的必要不充分条件是( )
A .1a b <+
B .1a b <-
C .22a b <
D .33a b <
3. 若函数()2
x
f x x ke =-在(0,)+∞上单调递减,则k 的取值范围为( )
A .8,e ??+∞????
B .4,e ??+∞????
C .2,e ??+∞????
D .1,e ??
+∞??
??
4. 已知椭圆E :x 2a 2+
y 2
b 2
=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点。
若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的标准方程为( )
A .x 245+y 236=1
B .x 236+y 227=1
C .x 227+y 218=1
D .x 218+y 2
9
=1
5.如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别是11AB BC ,的中点,则异面直线
EF 与1C D 所成的角为( )
A .30
B .45?
C .60?
D .90?
6. 已知抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线E :22
22-=1x y
a b
(a >0,b >0)的渐近线的距离不大于
3E 的离心率的取值范围是( )
A .(1,2 ]
B .(1,2]
C .[2,+∞)
D .[2,+∞)
7. 如图,在正四面体P -ABC 中,D ,E ,F 分别 是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论不成立的是( ) A .BC ∥平面PDF B .DF ⊥平面PAE
C .平面PDF ⊥平面PAE
D .平面PD
E ⊥平面ABC
8. 设函数f ′(x )是奇函数 f (x ) (x ∈R)的导函数,f (-1)=0,当x >0时,x f ′(x )-f (x )<0, 则使得f (x ) > 0成立的x 的取值范围是( )
A .(-∞,-1)∪(0,1)
B .(-1,0)∪(1,+∞)
C .(-∞,-1)∪(-1,0)
D .(0,1)∪(1,+∞)
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是( )
A .“函数()f x 在(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在(),a b 内单调递增”的充要条件
B .已知()f x 在0x 处存在导数,则“()00f x '=”是“0x 是函数()f x 的极值点”的必要不充分条件
C .若命题0:12p x x <∈-?R ,,则命题P 的否定是:102
x x ?∈≥-R ,,
D .命题“?x ∈R ,?n ∈N *,使得n ≥2x +1”的否定形式是“?x ∈R ,?n ∈N *,使得
n <2x +1”
10. 如图,一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都等于1,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( ) A.
B .1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点
C .1AA 与平面ABC
D 所成角大于45o D . 1BD 与AC 所成角的余弦值为6
11. 已知函数f (x )=
x 2+x -1
e x
,则下列结论正确的是( )
A .函数f (x )存在两个不同的零点
B .函数f (x )既存在极大值又存在极小值
C .当-e D .若x ∈[t ,+∞)时,f (x )max =5 e 2,则t 的最小值为2 12. 关于圆锥曲线,有如下命题,其中错误的命题有( ) A .若a >b >0,则直线x b +y a =1与椭圆x 2a 2+ y 2b 2 =1 相交或相切; B .过圆锥曲线焦点的直线一定与该圆锥曲线相交; C .曲线C : () () 2 2 22113x y x y ++? -+=的图像关于原点对称 D .椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>中,A,B,C,D,是椭圆上不重合四点,若直线AB , CD 交于椭圆内一点M ,则必有MA MB MC MD = . 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 13. 已知命题:“?x ∈{x |1≤x ≤2},使x 2+2x +a ≥0”为真命题,则实数a 的取值范围是________. 14.过点(-1,1)的直线l 与曲线f(x)=x 3-x 2-2x +1相切,且(-1,1)不是切点,则直线l 的斜率=____________ 15.如图,P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 为AD 的中点, F 为PC 上一点,当PA ∥平面EBF 时,PF FC =_____________ 16. 已知曲线C :y 2=2px(p>0).O 为原点,A ,B 是C 上两个不同点, 且OA ⊥OB ,则直线AB 过定点_________. 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知,,OA OB OC 两两垂直, 3,2OA OC OB ===,M 为OB 的中点,点N 在AC 上, 2AN NC =. (1)求MN 的长; (2)若点P 在线段BC 上,设BP PC λ=,当AP MN ⊥时,求实数λ的值. 18. 已知函数f (x )= x -1x -ln x . (1)求f (x )的单调区间; (2)求函数f (x )在???? ?? 1e ,e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数). 19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆()22 2210x y a b a b +=>>相切的两条垂直切线的 交点轨迹为一个圆,该圆的方程为2 2 2 2 x y a b +=+,这个圆被称为蒙日圆,已知抛物线 24x y =的焦点是椭圆C 的一个短轴端点,且椭圆C 的离心率为 6 . (1)求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程; (2)若斜率为1的直线l 与“蒙日圆”E 相交于A,B 两点,且与椭圆C 相切,O 为坐标原点,求OAB 的面积. 20. 已知函数f (x )=1 3 x 3+x 2+ax 。 (1)若函数f (x )在区间[1,+∞)上单调递增,求实数a 的最小值; (2)若函数g (x )=x e x ,对?x 1∈??????12,2,?x 2∈???? ?? 12,2,使f ′(x 1)≤g (x 2)成立,求实数a 的 取值范围。 21. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面 ABD ,且AE =2. (1)求证:DE ⊥AC ; (2)求DE 与平面BEC 所成角的正弦值; (3)直线BE 上是否存在一点M ,使得CM ∥平面ADE , 若存在,求点M 的位置,不存在请说明理由. 22. 已知椭圆C 1:x 2a 2+ y 2 b 2 =1(a >b >0)的左右顶点是双曲线C 2:x 2 3 -y 2=1的顶点,且椭圆 C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为3 2. (1)求椭圆C 1的方程; (2)若直线l 与C 1交于M 1,M 2两点,与C 2交于Q 1,Q 2两点,且OQ 1→·OQ 2→ =-5,求|| M 1M 2的取值范围. 高二12月联考数学试卷参考答案 选择题: 填空题: 13.a ≥-8 14.-1 15. 1 2 16. (2p ,0) 8. 解析 当x ≠0时,构造函数g (x )= f (x )x , 则当x >0时,g ′(x )= xf ′(x )-f (x ) x 2 <0,故函数g (x )在(0,+∞)上单调递减。 又因为f (x )为奇函数,所以g (x )= f (x ) x 为偶函数,所以g (x )在(-∞,0)上单调递增。 又因为f (-1)=0,所以g (1)=g (-1)=0, 故当0 5 2 ,所以A 正确; f ′(x )=- x 2-x -2 e x =-(x +1)(x -2) e x ,当f ′(x )>0时,-1 或x >2, 所以(-∞,-1),(2,+∞)是函数的单调递减区间,(-1,2)是函数的单调递增区间, 所以f (-1)是函数的极小值,f (2)是函数的极大值,所以B 正确; 当x →+∞时,y →0,根据B 可知,函数的最小值是f (-1)=-e , 再根据单调性可知,当-e