微积分第二章典型例题

补充知识

一、数列和其子列之间的关系

定义从数列｛U n｝中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列｛U n｝的一个子数列，简称子列.记作

｛UnJ : U n i,U n2，,U n k「?

其中n k表示U n k在原数列｛u n｝中的位置，k表示U n k在子列中的位置.

例如：奇数子列U1,U3,........................ ,U2k1,.... ,

其中n1 = 1, n2 = 3,, n k = 2k—1

显然n k - k .

下面的定理给出了数列｛U n｝和其子列｛U n k｝之间的关系.

定理：对于数列｛U n｝,

(1) limu n二A的充要条件是对｛U n｝的任何子数列｛U n k｝都有lim u n A .

n—sc k

⑵limU n二A的充要条件是｛U n｝的偶数子列｛U2k｝和奇数子列｛U2k1｝满n一

i:

足lim U2k=lim U2k A .

k^^ k—Jpc

⑶若｛U n｝单调，则limU n - A的充要条件是存在一个子数列｛U n k｝满足

i m U n k 二A.

k

二、数列极限和函数极限的关系

定理2.18 (Heine定理) !吧心"的充要条件为:

对于任意收敛于!o的数列{!n} (X n =Xo)，都有佃f(X.) =A . n—JpC

常用结论：若Jim _f (x) = A，贝卩lim f (n) = A。

1 . n

si n—sin —

注（1）对于X > X o , X > X0-, Xr ?' , Xr ?: ' , Xr :等情形，

例如：由lim Si^X =1，可以推出lim n T , lim ----------------- 汇一=1等。

xT x n护 1 n

n2 1 只要将定理

中的条件作相应

修改，定理的结

论仍成立.

(2)该定理建立了函数极限和数列极限之间的联系，可以将函数的极限转化为数列的极限去研究，也可以将数列的极限转化为函数的极限来讨论.

(3)用该定理可以说明某函数极限不存在

例如：

1 广证明limsin 不存在.

X

证明：

取X n - , X n , n 一1,2,，显然

2^ 2n：：

2

limx n—O , limx n2）=0,

n n_.

1 1

但是lim sin 市=lim 1 = 1 , lim sin 页=lim 0 = 0。n Y

X n

“护n忙X n

1 由Heine定理可知，limsin -不存在.

T X

三、求极限的一般方法

(1) 利用极限的四则运算法则?往往结合对函数的恒等变形，常用的具体方法有：因式分解，通分，有理化，约去公因子，三角恒等变形等；(2) 利用无穷小量的性质、无穷小量和无穷大量之间的关系(特别是利用有界变量和无穷小量的积仍是无穷小量的性质)等；

(3) 利用等价无穷小量的性质；

⑷利用高阶无穷小量的性质；

(5) 利用极限存在准则；

(6) 利用重要极限；

(7) 利用极限和左、右极限的关系(适用于求分段函数在分段点处的极限以及用定义求极限等情形)；

(8) 利用连续性(适用于求函数在其连续点处的极限)；

思考题解答

1.用定义证明lim- =1。

7 X

证：* >0，要使丄—1 =上勺￡总。

X |x|

由于X > 1时的极限只和自变量邻近1的函数值有关，不妨考虑0 ：：：| x —1 | ：：：1，即丄：：x ：：3，此时

11纽：：：2 | x - 1 | ,

2 2 2 |x |

故只需使2—即ix-1^-。

1

，贝y当O<|X—1|<6时—1 <

X 恒成立。

由极限定义得lim 1 =1。

T X

2、利用三角函数的周期性求极限(1)

何严.(2n)2 1：： =nim：8S ,(2n)2仁-22

=lim cos n—j：:

1

—-------- JT

W n)2+1 +2 n

=cosO 二

1

(2)

lim .cos . (2n)2 n 二=lim cos . (2n)2 n 懐-2n二

二lim cos

n—■

n

. —— ---- n

.(2n)2 n 2n

=lim cos

n j：: 4 +丄+2

兀42

二cos—

4 2

(3)

6 ，证明limu n 存在，并求其值。

n —^c

h

』2 ? 2 U i ，进而 U 3 = . 2 ? U 2 ?、2 ? U i = U 2，猜测

用数学归纳法证明。假设n=k 时不等式成立，即U k 「U k ，那么n 二k i 时,

U k 2 二.2—U k i 2 U k = U k i ， 即不等式成立。

所以对任意自然数n ,都有U ni U n ，即bn?单调增加。

由 0 乞 U n = . 2 ? U n4 — 2 ? U n ，得片'：::2 U n ，解得 0 -山 ”：2，所以'U 有 界。

再用数学归纳法证明） 因此lim U n 存在.

n T ：:

不妨设lim U n 二A ，在U n —7

A =2.

典型例题

f(x) =3x 2 2xlim f(x)，求 f

(x)。

lim sin . n 2

1 二 =lim (_i)n sin . n

2 1 恵-n

二

n _)pC 1

_______ ____ 31

2 ‘

n i n

n —］：: =lim ( -1)n sin n _. 二

0 其中最后一步用了 sin

i

-------- Tl

.n 2 i n

是无穷小量，（―1）n 是有界变量，乘

积仍为无穷小量。

（或先观察u 1 = 2 ： 2,

U i u^ 2 U i ::: 2, u^ . 2 U 2 ::: 2，猜测 U n ：：： 2， 证明：u^ _ 2, u 2

i 弋2 U n 两端令n 》：：得，. 2 A ，所以

例1、已知lim f （x ）存在,

解：设lim f (x) =A，贝S f (x^3x2 2Ax，两边令x > i，得 A = 3 - 2A，

X—i