初一数学绝对值典型例题精讲
第三讲绝对值
绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学
习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
严绝对值的定义及性质
绝对值彳简单的绝对值方程
一化简绝对值式，分类讨论(零点分段法)
绝对值几何意义的使用
绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。绝对值的性质：
(1) 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|初，这是绝对值非常重要的性质；
f
a (a > 0)
(2) |a|= 0 (a=0) (代数意义)
J
-a (a v 0)
(3) 若|a|=a，贝U a 初;若|a|=-a，贝U a ^0;
(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|淘，
且|a| Aa;
(5) 若|a|=|b|，贝U a=b 或a=-b ;(几何意义)
a | a |
(6) |ab|=|a| |b| ； |—|= (b老)；
b |b|
/ 、2 2 2
(7) |a| =|a |=a ;
(8) |a+b| 弓a|+|b| |a-b| 耳|a|-|b|||a|+|b| ^a+b| |a|+|b| ^a-b|
[例1]
（ 1
绝对值大于 2.1 而小于 4.2 的整数有多少个？
）
若ab<|ab| ，则下列结论正确的是（）
（ 2
）
A.a v0，b v0
B.a>0，b v0
C.a v0，b>0
D.ab v0
下列各组判断中，正确的是（）
（3
）
A .右|a|=b，则一疋有a=b B.右|a| > |b|,则一疋有a>b
C.若|a| > b，则一定有|a| > |b|
D.若|a|=b，则一定有a2 =（-b）2
（ 4
）设a，b 是有理数，则|a+b|+9 有最小值还是最大值？其值是多少？
分析：
结合数轴画图分析。绝对值大于 2.1 而小于 4.2 的整数有±3，±4，有4 个（ 1
）
（ 2
答案 C 不完善，选择 D. 在此注意复习巩固知识点3。
）
（3
选择 D 。
）
（ 4
）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|丸，则|a+b|为，有最小值9
［巩固］绝对值小于 3.1 的整数有哪些？它们的和为多少？
<分析>：绝对值小于3.1 的整数有0，±1，±2，±3，和为0。
［巩固］有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（）
A.a > b
B.a=b
C.a D.无法确定 分析：选择 D 。 ［巩固］若| x-3 | =3-x ，则x 的取值范围是 _________ 分析：若|x-3|=3-x，则x-3切，即x W3。对知识点3的复习巩固 ［巩固］若a > b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（） A.a v 0 B.a > 0 C.b v 0 D.b > 0 分析：选择C ［巩固］设a , b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少? 分析：|a-b| ^0, -8-|a-b|冬8，所以有最大值-8 ［例2］ (1) (竞赛题)若3|x-2|+|y+3|=0，则丄的值是多少？ x 2 — 4 n (2) 若 |x+3|+(y-1) =0,求( )的值 y —x y 3 分析：(1) |x-2|=0 , |y+3|=0 , x=2 ,y=-3 , =-一 x 2 2 —4 — 4 (2)由 |x+3|+ ( y-1) =0,可得 x=-3 , y=1。 ==-1 y_x 1+3 n 为偶数时，原式=1 ; n 为奇数时，原式=-1 2 小知识点汇总：(本源|a|丸b 丸) 若(x-a) 2 3 +(x-b) 2 =0,则 x-a=0 且 x-b=0 ; 若 |x-a|+(x-b) 2 =0,则 x-a=0 且 x-b=0 ; 若 |x-a|+|x-b|=0，则 x-a=0 且 x-b=0 ; 当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为 负数互为相反数时，两者均为 0 【例3】 2 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x= __________ 3 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x= _________ 0,两个非 (1) 已知x 是有理数，且 |x|=|-4|，那么 x= _______ （4）如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y 的值是多少？ 分 析：（1）4，-4 （2）2，-2，（3）2 , -2 （4）x= ±5, y= ±2，且|x-y|=y-x , x-y O ; 当x=5 , y=2时不满足题意；当x=5, y=-2时不满足题意； 当x=-5 , y=2时满足题意；x+y=-3 ;当x=-5 , y=-2时满足题意，x+y=-7。 【巩固】巩固|x|=4 , |y|=6，求代数式|x+y|的值 分 析： 因为|x|=4，所以x= ±4，因为|y|=6，所以y= ±3 当x=4 , y=6 时,|x+y|=|10|=10 ; 当x=4, y=-6 时,|x+y|=|-2|=2; 当x=-4 , y=6 时，|x+y|=|2|=2 ; 当x=-4 , y=-6 时，|x+y|=|10|=10 【例4】 3 解方程：(1) |x ? 5| -5 = 0 2 分析： (2)|4x+8|=12 (3)|3x+2|=-1 1 2 (4)已知|x-1|=2 , |y|=3，且x与y互为相反数，求x -xy-4y的值 3 10 10 5 25 (1)原方程可变形为：|x+5|= ，所以有x+5= 土-，进而可得：X—，-; 3 3 3 3 (2)4x+8= ±12 , x=1 , x=-5 (3)此方程无解 (4)|x-1|=2 , x-仁±2, x=3 , x=-1 , |y|=3 , y= ±3，且x与y 互为相反数，所以x=3 , 1 2 / c* a — ah + b 【例5】若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值a2+ab + 1 分析：a 与b 互为相反数，那么 a+b=O 。 分析：(1) 3.14< n, 3.14- nV 0, |3.14- TT |= n -3.14 (2) x^8, 8-x O , |8-x|=x-8。 a 「a b b _ a b 「ab ~2 a a b 1 a(a b) 1 0 -ab a 0 1 --ab,| a -b |二 4,a -b 二 4, 当 a-b=4 时，且 a+b=0，那么 a=2 , b=-2 , -ab=4 ; 当 a-b=-4 时，且 a+b=0，那么 a=-2， b=2， -ab=4 ； 综上可得 a - a b b 2 a a b 1 【例6】 (1) 已知a=-1 , 2 b=-1，求 3 (a 2b) 4 |a 2b | 的值 |4b 3_|2a _3|| (2) 若|a|=b ，求|a+b|的值 (3) 化简：|a-b| 分析：（1） |一1 一单| 原式= 2_ (丄 2)2 2 3 4 __1 __2" _ |-丄丄| | 2 4 3-| -1 -3|| 3 18 7 (2) |a|=b ，我们可以知道 b 丸，当a<0 时,a=-b , |a+b|=0 ;当 a 为时，a=b , |a+b|=2b (3) 分类讨论。 a-b > 0 时，即 a > b , |a_b|=a_b ; a-b=0 时，即 a=b , |a-b|=0 ; a-b v 0 时，即 a v b , |a-b|=b-a 。 【巩固】 化简：（1）|3.14- n (2) |8-x| 【例7】有理数a, b, c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b| ] 」I 1 * C B 0 A 分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a- (a+c) - (c-b ) =2b-2c 【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a| a o c―k* 分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a 【巩固】数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|| 分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=- ( a+b) + ( b-a) +b- ( -2a) =b a 【例8】(1)若a<-b 且0,化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| b (2)若-2 W a切，化简|a+2|+|a-2| (3)已知x<0 a 分析：(1)若a<-b 且0, a<0,b<0,a+b<0,ab>0 b |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a (2) 因为-2 W a切，所以a+2 丸,a-2 W0, |a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4 (3) 由x<0 分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x 【例9 】(1)已知x<-3,化简|3+|2-|1+x||| (2)若a<0，试化简2a^3a| ||3a|-a| 分析：(1)当x<-3 时，|3+|2-|1+ x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x