函数展开成幂级数-泰勒级数

函数展开成幂级数

泰勒级数的概念

函数展开成幂级数的方法

泰勒级数的概念

回顾：

若函数()f x 在点0x 的某个邻域0()U x 内有1n +阶导数,

则函数在该邻域内有泰勒公式

()

00000()

()()()()()()!

n n n f

x f x f x f x x x x x R x n '=+-+

+

-+, 其中(1)

1

0()()()(1)!

n n n f R x x x n ξ++=-+ (ξ介于x 与0x 之间)

称为拉格朗日型余项. ()()n f x P x ≈.

泰勒多项式()n P x

若函数()f x 在点0x 的某个邻域0()U x 内有任意阶导数, 则得到幂级数

()

000

()()!

n n

n f

x x x n ∞

=-∑

()

2

0000000()()()()()()()2!

!

n n

f x f

x f x f x x x x x x x n '''=+-+-+

+-+

称此幂级数为函数()f x 在点0x 处的泰勒级数.

幂级数是否收敛?

若幂级数收敛,其和函数是否为给定的函数)(x f ?

定理 设函数()f x 在点0x 的某一邻域0()U x 内具有各阶导数,

则()f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 在该邻域内lim ()0n n R x →∞

=,0()x U x ∈.

证 ()f x 的n 阶泰勒公式为()()()n n f x P x R x =+, 其中

()

00000()()()()()()!

n n n f

x P x f x f x x x x x n '=+-+

+-, ()()()n n R x f x P x =-.

()n P x 就是级数()000

()()!n n

n f x x x n ∞

=-∑的前1n +项部分和,

根据级数收敛的定义,即有

()

000

()()()!

n n

n f

x x x f x n ∞

=-=∑

,0()x U x ∈, ? lim ()()n n P x f x →∞

=,0()x U x ∈,

? lim[()()]0n n f x P x →∞

-=,0()x U x ∈,

? lim ()0n n R x →∞

=,0()x U x ∈.

对于泰勒级数的几点说明:

1.若函数()f x 在点0x 的某个邻域0()U x 内有任意阶导数,

则可构造幂级数

()

000

()()!

n n

n f

x x x n ∞

=-∑

, 即使这个幂级数收敛,其和函数也不一定是函数()f x . 当且仅当lim ()0n n R x →∞

=时幂级数收敛于函数()f x

2.若函数()f x 在0()U x 内能展开成0x x -的幂级数, 则该级数必定是()f x 的泰勒级数.

这是因为: 2

010200()()()()n

n f x a a x x a x x a x x =+-+-+

+-+

,

若对任意0()x U x ∈有

2

1

120300()2()3()

()

n n f x a a x x a x x na x x -'=+-+-+-+

,

2

2300()232()

(1)()

n n f x a a x x n n a x x -''=+?-+--+

,

()

21020(2)!

()!(1)!()()2!

n n n n n f

x n a n a x x a x x +++=++-+-+

,

将0x x =代入各式, 即有()

01()!n n a f x n =

,(0,1,2,)n =, 所以级数00

()()n

n n f x a x x ∞

==-∑是()f x 的泰勒级数.

函数的幂级数展开式是唯一的.

在泰勒级数的表达式()

000

()()!

n n

n f

x x x n ∞

=-∑

中, 取00x =,得

()

2

(0)(0)(0)(0)2!

!

n n

f f

f f x x x n '''+++

+

+

()

(0)!

n n

n f

x n ∞

==∑

, 称为函数()f x 的麦克劳林级数.

则有()

(0)()!

n n

n f

f x x n ∞

==

∑

(||x r <), 称为函数()f x 的麦克劳林展开式.

若()f x 能在(,)r r -内展开成x 的幂级数,