高中物理学的几个微积分解释

河南省汤阴县一中张淑强

在普通高中数学课程中，有关于对函数求导和简单微积分知识的应用。而“应用数学知识解决物理问题”是要求高中学生所具备的能力，也是高考中所要求的“五种能力”之中很重要的一种。在物理教学中，教师可以大胆尝试，创新教法，利用简单微积分知识解释和解决一些物理学问题，既锻炼了学生的思维能力，又使一些复杂问题变得简单易懂。

一．转动金属棒电磁感应问题：

长为l 的金属棒在磁感应强度为B 的匀强磁场中垂直磁感线方向转动，角速度为ω，则该金属棒产生的感应电动势为：

ωωω20200B 21B 21d d E l l l l B l Bv l l l ====??

若围绕棒所在直线上的任一点转动，由以上积分式容易看出结果相同。

二．航天器变轨过程中能量变化问题

21121-2-2

P 2121212

1d d E r GMm r GMm r GMm r GMm r GMm GMmr r GMmr r r GMm r r r r r r r r -=???? ??--=-=-===??? 根据万有引力提供向心力公式，有关系：

r mv r GMm 2

= 所以轨道半径为r 的航天器的动能r GMm mv E 2212k ==

容易得到动能减少量为：???? ??==

?2121k -212-2r GMm r GMm r GMm r GMm E 对比易得：k p 2E E ?=? 机械能变化量0-2121k p >???

? ??=?+?=?r GMm r GMm E E E 即航天器由低轨道变轨为高轨道环绕地球运动时，势能增加量是动能减少量的2倍，总机械能增加。

三．弹簧弹性势能问题：

设弹簧劲度系数为k ，伸长量由x1增加为x2,则根据弹性势能增加量等于克服弹簧弹力做功，得：

212222

12121d )(2121kx kx kx x kx E x x x x p -==--=??

又因为：12p p p E E E -=? 故弹簧弹性势能表达式为22

1kx E p =

反之，如果缩短，亦可证明其表达式，只是要注意式中两个x 都是矢量，在此不再赘述。

四．动能及动能定理的积分解释

一个质量为m 的物体受力而运动加快，我们探究其所受合力做功问题：

???=*==v mv t

x t ma x ma W d d d d 求其定积分：

212222

12121d 2121mv mv mv v mv W v v v v -===? 这就是动能定理，我们很自然地看出：表示物体因运动而具有的能量的物理量--动能的表达式为22

1mv E k = 五．简谐运动中的微分理解：例如：某简谐运动位移表达式为)sin(φω+=t A x ，其规律符合正弦函数规律，其速度即对位移求导，速度)cos()]'sin(['φωωφω+=+==t A t A x v ，易见速度变化情况符合余弦函数规律。

六．速度位移公式

位移、速度、加速度、时间是运动学中的四个关键物理量，它们的关系其实用微积分表达最准确，也便于学生真正对这几个物理量的理解。

1.积分理解：在匀速直线运动中，我们熟知位移x=vt,但对于匀变速直线运动，速度v 是变量，所以以上公式不适用，我们可以通过所学积分形式来计算，

200200002

121d )(d at t v at t v t at v t v x t

t t +=+=+==?? 2.微分理解：位移、速度、加速度、时间分别用x 、v 、a 、t 来表示，则可以写成：

a t

v v t x ==d d d d 即速度、加速度分别是位移、速度对时间的导数，简记为 x’=v v ’=a

利用中学数学的微积分知识不难证明此关系式：

v at v at t v x at t v x =+=+=+=020202

121）’（’因为位移这样我们利用微积分实现了运动学公式的整合，使之成为一个系统，对于学生理解物理公式以及学习数学知识非常有利，而且还开阔了学生的视野。