2019年四川省攀枝花市中考数学真题(解析版)
四川省攀枝花市2019年高中阶段教育学校招生统一考试
数学试题
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.(﹣1)2=()
A .﹣1
B .1
C .﹣2
D .2 2.在0,﹣1,2,﹣3这四个数中,绝对值最小的数是()
A .0
B .﹣1
C .2
D .﹣3 3.用四舍五人法将130542精确到千位,正确的是() A .131000 B .0.131×106 C .1.31×105 D .13.1×104 4.下列运算正确的是()
A .222
32a a a -=B .2
2
(2)2a a -=-
C .2
2
2
()a b a b -=- D .2(1)21a a --=-+
5.如图,AB ∥CD ,AD =CD ,∠1=50°,则∠2的度数是()
A .55°
B .60°
C .65°
D .70° 6.下列判定错误的是() A .平行四边形的对边相等 B .对角线相等的四边形是矩形 C .对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D .正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形
7.比较A 组、B 组中两组数据的平均数及方差,以下说法正确的是()
A .A 组、
B 组平均数及方差分别相等
B .A 组、B 组平均数相等,B 组方差大
C .A 组比B 组的平均数、方差都大
D .A 组、B 组平均数相等,A 组方差大
8.一辆货车送货上山,并按原路下山.上山速度为a 千米/时,下山速度为b 千米/时.则货车上、下山的平均速度为( )千米/时. A .
1
()2
a b + B .
ab a b +C .2a b ab +D .2ab
a b
+ 9.在同一坐标系中,二次函数2
y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图象可能是()
10.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 边上的一点,BE =4,EC =8,将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ,延长EF 交DC 于G ,连接AG ,现在有如下4个结论:①∠EAG =45°;②FG =FC ;③FC ∥AG ;④S △GFC =14.其中正确结论的个数是()
A .1
B .2
C .3
D .4 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 11.3-的相反数是. 12.分解因式:2
a b b -=.
13.一组数据1,2,x ,5,8的平均数是5,则该组数据的中位数是.
14.已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根,则22
12x x +=.
15.如图是一个多面体的表面展开图,如果面F在前面,从左面看是面B,那么从上面看是面.(填字母)
16.正方形A1B1C1A2,A2B2C2A3,A3B3C3A4,…按如图所示的方式放置,点A1,A2,A3,…和点B1,B2,B3,…分别在直线y kx b
=+(k>0)和x轴上.已知点A1(0,1),点B1(1,0),则C5的坐标是.
三、解答题:本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分6分)解不等式
24
3
52
x x
-+
->-,并把它的解集在数轴上表示出来.
18.(本小题满分6分)如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.求证:
(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.
19.(本小题满分6分)某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班.为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况,对学生进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示),将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表.
请你根据统计表中提供的信息回答下列问题:
(1)统计表中的a=,b=;
(2)根据调查结果,请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数;(3)王妹和李要选择参加兴趣班,若她们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机选取一类,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同一类的概率.
20.(本小题满分8分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象在第二象限交于点B ,与x 轴交于点C ,点A 在y 轴上,满足条件:
CA ⊥CB ,且CA =CB ,点C 的坐标为(﹣3,0),cos ∠ACO
(1)求反比例函数的表达式;(2)直接写出当x <0时,kx b +<m
x
的解集.
21.(本小题满分8分)攀枝花得天独厚,气候宜人,农产品资源极为丰富,其中晚熟芒果远销北上广等大城市.某水果店购进一批优质晚熟芒果,进价为10元/千克,售价不低于15元/干克,且不超过40元/千克.根据销售情况,发现该芒果在一天内的销售量y (千克)与该天的售价x (元/千克)之间的数量满足如下表所示的一次函数关系.
(1)某天这种芒果的售价为28元/千克,求当天该芒果的销售量;
(2)设某天销售这种芒果获利m 元,写出m 与售价x 之间的函数关系式.如果水果店该天获利400元,那么这天芒果的售价为多少元?
22.(本小题满分8分)如图1,有一个残缺圆,请作出残缺圆的圆心O (保留作图痕迹,不写作法).如图2,设AB 是该残缺圆⊙O 的直径,C 是圆上一点,∠CAB 的角平分线AD 交⊙O 于点D ,过D 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点E .
(1)求证:AE ⊥DE ;
(2)若DE =3,AC =2,求残缺圆的半圆面积.
23.(本小题满分12分)已知抛物线2
y x bx c =-++的对称轴为直线x =1,其图象与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C (0,3).
(1)求b ,c 的值;
(2)直线l 与x 轴相交于点P .①如图1,若l ∥y 轴,且与线段AC 及抛物线分别相交于点E ,F ,点C 关于直线x =1的对称点为点D ,求四边形CEDF 面积的最大值;②如图2,若直线l 与线段BC 相交于点Q ,当△PCQ ∽△CAP 时,求直线l 的表达式.
的24.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,2),动点P在y x
图象上运动(不与O重合),连接AP.过点P作PQ⊥AP,交x轴于点Q,连接AQ.
(1)求线段AP长度的取值范围;
(2)试问:点P运动的过程中,∠QAP是否为定值?如果是,求出该值;如果不是,请说明理由.
(3)当△OPQ为等腰三角形时,求点Q的坐标.
【参考答案】
1.B
【解析】(-1)2=(-1)×(-1)=1 2.A
【解析】|0|=0,|-1|=1,|2|=2,|-3|=3,显然0最小,所以,选A. 3.C
【解析】把一个数表示成a 与10的n 次幂相乘的形式(1≤a <10,n 为整数),这种记数法叫做科学记数法.所以,130542=1.30542×105,又精确到千位,所以,130542=1.30542×105≈1.31×105. 4.A
【解析】合并同类项,可知,A 正确;B.错误,因为22
(2)4a a -=-; C 错误,因为2
2
2
()2a b a ab b -=-+;D 错误,因为2(1)22a a --=-+. 5.C
【解析】因为AD =CD ,所以,∠DCA =
1
(18050)2
?-?=65°, 又因为AB ∥CD ,所以,∠2=∠DCA =65°,选C. 6.B
【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形,如等腰梯形的对角线也相等,所以,B 错误. 正确的说法是:对角线相等的平行四边形是矩形.A ,C ,D 都是正确的. 7.D
【解析】A 组的平均数为:
19[5×3+(-1)×4]=119
B 组的平均数为:19[4×2+3+0×4]=11
9
,所以,A 、B 组的平均数相等,
由图可知,A 组波动大,B 组波动小,所以,A 组的方差大,选D. 8.D
【解析】设上山的路程为S ,则下山的路程也为S ,上山的时间为:S
a ,下山的时间为:S b
, 上.下山的平均速度为:
22S ab
S S a b
a b
=
++,选D. 9.C
【解析】一次函数y bx a =-与y 轴交点为:(0,a -), 对于A ,由直线与y 轴交点可知,a -〈0,即a 〉0, 一次函数的图象中,y 随x 的增大而增大,所以,b 〉0, 因此,2b a -
<0,但由图可知,抛物线的对称轴2b
x a
=->0,矛盾,排除; 对于B ,由2y ax bx y bx a
?=+??=-??,得:2
ax a +=0,△=-4a 2<0,
即直线与抛物线无交点,所以,B 排除;
对于D ,因为抛物线必经过原点,所以,D 排除;只有C 符合. 10.B
【解析】由题易知AD AB AF ==,则Rt Rt ADG AFG ???(HL ), ∴GD GF =,DAG GAF ∠=∠,又FAE EAB ∠=∠ ∴11
()4522
EAG GAF FAE BAF FAD BAD ∠=∠+∠=
∠+∠=∠=?,所以①正确; 设GF x =,则GD GF x ==,又4BE =,8CE =∴12DC BC ==,
4EF BE ==∴12CG x =-,4EG x =+,
在EDG ?中,由勾股定理可得222
8(12)(4)x x +-=+,解得6x =,
∴6FG DG CG ===,又60FGC ∠≠?,∴FGC ?不是等边三角形,所以②错误; 由①可知AFG ?和ADG ?是对称型全等,则FD AG ⊥,又FG DG GC ==, 则DFC ?为直角三角形,∴FD CF ⊥,∴FC ∥AG ,∴③成立; 由②可知8EC =∴1
242
ECG S EC CG ?=
=, 又
35FCG ECG S FG S EG ??==,∴372
55
FCG ECG S S ??==,∴④错误,故正确结论为①③.
二、填空题 11.3-
【解析】3-=3,3的相反数为-3. 12.(1)(1)b a a +-
【解析】2a b b -=2
(1)(1)(1)b a b a a -=+-.
13.5
【解析】1
(1258)55
x ++++=,解得:x =9,所以,数据为:1,2,5,8,9,中位数为5. 14.6
【解析】由韦达定理可得122x x +=,121x x =-, ∴2222121212()2226x x x x x x +=+-=+=. 15.C 或E
【解析】当C 为底面时,F 为前面,A 为后面,B 为左面,D 为右面,上面是E ; C 与E 是相对面,B 与D 为相对面,A 与F 为相对面,E 在底面时,则上面是C . 16.(47,16)
【解析】由勾股定理,得:A 1B 1,
B 1
C 1=A 1B 1,C 1的坐标为:C 1(2,1),
B 2
C 2=A 2B 2=,C 2的坐标为:C 2(5,2),
B 3
C 3=A 3B 3=,C 3的坐标为:C 2(11,4),
B 4
C 4=A 4B 4=,C 4的坐标为:C 2(23,8),
B 5
C 5=A 5B 5=C 5的坐标为:C 2(47,16). 三、解答题
17.解:2(2)5(4)30x x --+>-,2452030x x --->-,36x ->-,2x <. 18.证明:(1)连接DE ,
∵CD 是AB 边上的高,∴CD AB ⊥,∴90ADC ∠=?, ∵BE 是AC 边上的中线,∴AE CE =,∴1
2
DE AC CE AE ===, ∵BD CE =,∴DE BD =,
∴点D 在线段BE 的垂直平分线上.
(2)∵BD DE =,∴22ADE ABE DEB ∠=∠=∠,
∵DE AE =,∴2A ABE ∠=∠,∴3BEC ABE A ABE ∠=∠+∠=∠. 19.解:(1)60a =,0.25b =; (2)最喜欢绘画兴趣的人数为700人 (3)
14164÷=
,所以,两人恰好选中同一类的概率为1
4
. 20.解:(1)如图作BH x ⊥轴于点H ,
则90BHC BCA COA ∠=∠=∠=?,∴BCH CAO ∠=∠, ∵点C 的坐标为(3,0)-,∴3OC =,
∵cos ACO ∠=
AC =6AO =, 在BHC ?和COA ?中,有90BC AC BHC COA BCH CAO =??
∠=∠=???∠=∠?
,
∴BHC ?≌COA ?,∴3BH CO ==,6CH AO ==,
∴9OH =,即(9,3)B -,∴9327m =-?=-,∴反比例函数解析式为27y x
=-
. x
(2)因为在第二象限中,B 点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方, 所以当0x <时,m
kx b x
+<
的解集为90x -<<. 21.解:(1)设该一次函数解析式为y kx b =+,则2535
2238k b k b +=??
+=?
,解得:160k b =-??=?,
∴60y x =-+(1540x ≤≤),∴当28x =时,32y =, ∴芒果售价为28元/千克时,当天该芒果的销售量为32千克.
(2)由题易知(10)m y x =-(60)(10)x x =-+-270600x x =-+-, 当400m =时,则270600400x x -+-=,
整理得:2
7010000x x -+=,解得:120x =,250x =,
∵1540x ≤≤,∴20x =,所以这天芒果的售价为20元. 22.解:图1做图题作法:
①在残缺的圆上取两条不平行的弦PQ 和TS ;
②以点P 为圆心大于PQ 一半长为半径在PQ 两侧作圆弧;
③以点Q 为圆心,同样长的半径在PQ 两侧作圆弧与②中的圆弧交于M ,N 两点; ④作直线MN 即为线段PQ 的垂直平分线;
⑤以同样的方法做线段TS 的垂直平分线LK 与直线MN 交于点O 即为该残缺圆的圆心
图2解答过程:
(1)证明:连接OD 交BC 于H , ∵DE 为
O 的切线,∴OD DE ⊥,
∵AD 平分CAB ∠,∴CAD DAB ∠=∠,
∵OD OA =,∴DAB ODA CAD ∠=∠=∠,∴OD ∥AE ,∴AE DE ⊥. (2)解:∵AB 是
O 的直径,∴90ACB ∠=?,
∵OD ∥AE ,∴OD BC ⊥,∴2BC CH =,四边形CEDH 为矩形, ∴3CH ED ==,∴6BC =,∵2AC =
,∴AB =
,∴AO = ∴21
=
π5π2
S AO =半圆. 23.解:(1)由题可知123
b
c ?-
=?-??=?,解得23b c =??=?.
(2)①由题可知(2,3)D ,CD EF ⊥,∴2CD =, 由(1)可知(3,0)A ,(1,0)B -,∴AC l :3y x =-+,
设2(,23)F e e e -++,则(,3)E e e -+,∴2
3EF e e =-+,
∴12CEDF S CD EF =
四边形22393()24
e e e =-+=--+, ∴当32e =时,四边形CEDF 的面积最大,最大值为9
4
.
②由(1)可知45OAC OCA ∠=∠=?,
由PCQ ?∽CAP ?可得45QCP OAC ∠=∠=?,
B
A
∴QCP OCA ∠=∠,∴ACP BCO ∠=∠, 由(1,0)B -,(0,3)C 可得1tan 3BCO ∠=
,∴1tan 3
ACP ∠=, 作PH AC ⊥于H 点,设(,0)P m ,则3AP m =-,
∴(3)2PH AH m ==
-
,)2
CH m =+,
)1tan 32
m PH ACP CH -==∠=,即
3133m m -=+,解得32m =, ∴3(,0)2P ,∴l :32
y x =-+
. 24.解:(1)作AH OP ⊥,则AP AH ≥, ∵点P
在3
y x =
的图像上,∴30HOQ ∠=?,60HOA ∠=?, ∵(0,2)A
,∴sin 60AH AO =?=
AP ≥
(2)法一:(共圆法)
①当点P 在第三象限时,由90QPA QOA ∠=∠=?可得Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴30PAQ POQ ∠=∠=?.
②当点P 在第一象的线段OH 上时,
由90QPA QOA ∠=∠=?可得Q 、P 、O 、A 四点共圆,
∴180PAQ POQ ∠+∠=?,又此时150POQ ∠=?,∴18030PAQ POQ ∠=?-∠=?. ③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时,
由90QPA QOA ∠=∠=?可得180APQ AOQ ∠+∠=?,
∴Q 、P 、O 、A 四点共圆,∴30PAQ POQ ∠=∠=?. 法二:(相似法)如图设直线AP 与x 交于点B ,
①当点P 在第三象限时,由90QPA QOA ∠=∠=?,可得QPB ?∽AOB ?, ∴
PB QB
OB AB
=,∴QBA ?∽PBO ?,∴30PAQ POQ ∠=∠=?. ②当点P 在第一象限且点B 在AP 延长线上时, 由90QPA QOA ∠=∠=?可得90BPQ BOA ∠=∠=?, ∴BPQ ?∽BOA ?,∴
BP BQ
BO BA
=,∴BPO ?∽BQA ?,∴30PAQ POB ∠=∠=?.
③当点P 在第一象限且点B 在PA 延长线上时,
由90QPA QOA ∠=∠=?可得90BPQ BOA ∠=∠=?,∴BPQ ?∽BOA ?, ∴
BP BQ
BO BA
=,∴BPO ?∽BQA ?,∴30PAQ POQ ∠=∠=?.
(3
)设(,
)3P m m ,则AP l
:623y m -=+,∵PQ AP ⊥
,∴PQ k =, ∴PQ l
:)3y x m m
=-+
,∴,0)Q , ∴2
243OP m =
,2216493OQ m =+
,2244
93
PQ m =+, ①当OP OQ =
时,则224164
393
m m =
+,
整理得:2
30m -+=
,解得:3m =
,∴14,0)Q
,24,0)Q . ②当PO PQ =
时,则
22444393
m m =+,
整理得:2230m -=
,解得:2
m =
或m =
当m =
时,Q 点与O
重合,舍去,∴m =
3(0)Q -. ③当QO QP =
时,则
22164449393
m m +=+,
整理得:2
0m -=
,解得:m =
,∴40)Q .