四年级上册数学试题-思维能力：统筹规划问题(解析版)全国通用

统筹规划问题

【分析】找规律可以发现，每次剩下的是2的乘方2n，最后剩下的是2的最高次方，210=1024,211=2048，所以最后剩下1024号.

【拓展1】有200个小朋友排成一排，从头至尾，一次报数1.2.3.1.2.3…….，凡报到3的小朋友留下，报到1的小朋友离开，再接着报到2的小朋友离开，报完一轮，又从头开始，直到只剩下一个小朋友，那么请问：剩下的这个小朋友原来排在第（）个.

【分析】找规律可以发现，每次剩下的是3的乘方数或者3的乘方数的2倍，3n和3n x2:；34=81,2x34=162,35=243，所以最后剩下162号.

【拓展2】（2013年12月四年级第十二届小机灵杯第18题）

有2012名学生排成一行，从左向右一次编成1.2……….2012号，第一次从左向右“1,2”报数，凡报到2的学生留下；从第二次起，每次都是让留下的学生从左向右“1.2.3”报数，凡报到3的学生留下，报到1.2的立即就离开了，直到只留下1名学生，请问这名最后留下的学生的编号是多少

【分析】第一次留下了所有偶数号

接下来相当于在1.2.3…….1006中留下最大的含有3n的数

36=729<1006<2x36=1458

所以在1.2.3…….1006中会留下729号

所以最后会留下729x2=1458号

【例2】80枚棋子围成一个圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1.2.3…..80，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止，如果第一个被拿走的棋子是2号，那么最后剩下的棋子是（）号.

【分析】（方法一）依次拿走了2.4.6.8.10.12.14.16.18.20.22.24.26.28.30.32这16枚棋子，此时还剩下80-16=64枚，64=26.

下一次拿走的是34号，剩下的是34号前面的这一枚33号.

（方法二）第一轮去掉的都是偶数，所以将剩下40个奇数写成一圈（大圈），枚举

可得33.

【拓展3】（2011年12月四年级第十届小机灵杯第13题）

50枚棋子围成一个圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1.2.3……50，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止，如果剩下的棋子的号码是42，那么第一个被取走的棋子是（）号棋子

【分析】如果先拿的是2号，那么最后余下37号，37-2=35

如果最后留下42号，那么第一个被取走的是42-35=7号

【拓展4】（2013年12月四年级第十四届中环杯初赛第8题）40个同学围成一圈，没个人依次编上号码1-40，老师随意点一位同学，这位同学开始顺时针1至3报数，凡是报1和2的同学都出列，不断进行下去，直到剩下最后一位同学，最后剩下的这位同学的号码为37，那么，老师一开始点中的是（）号同学.

【分析】（方法一）若一开始人数为3n，或者是3n x2,从1号开始，最后留下的是最后一人；

离40最近的形如3n的数为27，需要离开13人，是奇数，不好使用；

（不好使用的原因是1，2离开，离开的最后1个人报的是1，那下一个报2的也离

开，剩下的是26个，再123报数）这里是理解的难点

若一开始人数为2x3n,则从1号开始，最后留下的是最后一人；

离40最近的形如2x3n的数为18，需要离开22人，是偶数，可以使用；

（因为离开了22个，离开的最后一个人报2，剩下的18个，从123开始报数）

从1号开始，离开22人后，应报了33个数，此时34号同学变为第1个，则最后

留下的是33号；

现在留下的是37号同学，所以老师一开始点中的是5号

（方法二）枚举可得，从1，2开始划，最后留下的是33，那么要最后留下的是37，

需要从37-33+1=5开始划

【拓展5】60个同学围成一圈，每个人依次编上号码1-60，老师随意点一位同学，这位同学开始顺时针1至3报数，凡是报1和2的同学都出列，不断进行下去，直到剩下最后一位同学，如果老师一开始点中了6号，那么，最后剩下的是（）号.

【分析】若一开始人数为3n,或者是3n x2，则从1号开始，最后留下的是最后一人；

离60最近的形如3n或者是形如3n x2,的数为54，需要离开6人，是偶数，可以，

先离开的6个人分别是6，7，9，10，12，13

下一个离开的是15号，那么剩下的是14号（15开始，14就是结尾）

【例3】“24点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌（不包括大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=1,J=11,Q=12,K=13）通过加减

乘除四则运算得出24，最先找到算法的人获胜，游戏规则4张扑克牌都要用到，而

且每张牌只能用1次，比如2，3，4,Q，则可以由算法（2xQ）x(4-3)得到24，如果

在一次游戏中恰好抽到了9，7，3，2，则你的算法是（）

【分析】（9+7）÷2x3=24

【拓展6】“24点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌（不包括大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=1,J=11,Q=12,K=13）通过加减乘除四则运算得出24，最先找到算法的人获胜，游戏规则4张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用1次，比如2，3，4,Q，则可以由算法（2xQ）x(4-3)得到24，如

果在一次游戏中恰好抽到了7、Q、Q、K，则你的算法是（）

【分析】QxQ÷(K-7)=24

(KxQ+Q) ÷7=24

【例4】有2014名学生参加大联谊会，第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，第四个到会的女生只差3个男生没握过手，依此类推，最后一个到会的女生同5名男生握过手，问2014名学生中有（）个男生

【分析】每个女生与一个男生配对，那么最后发现多了5-1=4个男生

变成和差问题，那么男生有（2014+4）÷2=1009(人)

【拓展7】奥特曼和小怪兽发生了大混战，第1个到场的奥特曼和所有的小怪兽交手，第2个到场的奥特曼只差1个怪兽没有交过手，第3个到场的奥特曼只差2个小怪兽没有交过手，…..，最后到场的奥特曼和7个小怪兽交手了。

已知奥特曼和小怪兽共100头，那么其中小怪兽一共有（）头。

【分析】设奥特曼有x头，那么小怪兽有（100-x）头；

第1个奥特曼和（100-x）个小怪兽交手；

第2个奥特曼和（99-x）个小怪兽交手；

第3个奥特曼和（97-x）个小怪兽交手；

……..

第x个奥特曼和（101-2x）个小怪兽交手：

（发现前后两个数之和为101-x）；

那么101-2x=7，解得2x=94，x=47，所以奥特曼有47个，小怪兽有100-47=53个. 【例5】（2014年12月第十五届中环杯四年级初赛第19题）在一个神奇的国家，里面只住着两种人，A种人只说真话，B种人只说假话，一天，这个国家里的2014个国民排成一列，每个人都说：“每个人能都说：“在我后面的B种人比在我前面的A种人多“，那么，这2014个国民里一共有（）个A种人.

【分析】第一个人前面有0个人A种人

若一个人是B种人，则他后面的人都是B种人，这与这个国家有两种人矛盾；故

第一个人是A种人

最后一个有0个B种人，则他所说的是一定是假话，故最后一个人一定是B种人

现在，我们同时去掉第一个和最后一个，即最前面去掉一个A种人，最后面去掉

一个B种人，这样不改变其余中间的人所说的话真假

再按照前面的方法，可得剩下中间的人最前面一个是A种人，最后面的一个人是B

种人

再同时去去掉第一个和最后一个，…….

这样我们可以得到前一半的人都是A种人，后一半的人都是B种人

一共有2014÷2=1007人

【例6】某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元；超过10吨的，超过部分按每吨0.80元收费；张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数吨，问张家和李家各交水费多少元？

【分析】为了便于理解，题中所有单位为元的数字全部转化以分为单位，这样就没有小数了，由于张家比李家多交水费330分，而330分既不是45的整倍数，也不是80的整数倍，说明一定是张家的用水量超过10吨，而李家的用水量不到10吨.

设张家用水x吨，李家用水y吨，且x>10,y<10,x,y均为自然数

则80（x-10）+10x45-45y=330,即16x-9y=136,

x=(136+9y)+16=8+(8+9y)÷16

y可取1.2.3…..9，经尝试，只有y=8时，x才是整数，x=13

所以，张家交水费：10x45+3x80=690(分)=6.9元，李家交水费：6.9-3.3=3.6元

【拓展8】若干个小学生去买蛋糕，若每人买K块，则蛋糕店还剩下了6块蛋糕，若每人买8块，则最后一名学生只能买到1块蛋糕，那么蛋糕店共有蛋糕多少块？

【分析】盈亏问题，第一次，每人买K块，盈6块，第二次，每人买8块，亏8-1=7块，人数为（6+7）÷（8-K）=13+（8-K），显然13是质数，而8-K小于13

所以8-K=1，K=7，共有13个学生

蛋糕店有13x8-7=97或13x7+6=97（块）蛋糕

【例7】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作，按上述规则完成五次操作以后，减去所得小正方形的左下角，当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小孔洞？

【分析】①一次操作后，层数由1变为4，若剪去所得小正方形左下角，展开后只有1个小

洞孔，恰是大正方形的中心

②连续两次操作后，折纸层数为42，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形

上留有42-1=41=4个小洞孔

③连续三次操作后，折纸层数为43，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形

上留有43-1=42=16个小洞孔

④连续四次操作后，折纸层数为44，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形

上留有44-1=43=64个小洞孔

按上述规律不难断定：连续五次操作后，折纸层数为45，剪去所得小正方形左下

角，展开后大正方形上留有45-1=44=256个小洞孔

【拓展9】在一张四边形的纸上有100个点，如果把四边形的顶点算在一起，则一共有104个点，已知这些点中任意三个点都不在同一直线上，按下面两个规定把这些纸剪成一些三角形：

（1） 每个三角形的顶点都是这104个点中的3个

（2） 每个三角形内，都不再有这些点

问：这张四边形的纸最多能得到多少个这样的三角形？

【分析】①当四边形内只有1个点时，可剪出4个三角形，如图：

②当四边形内只有2个点时，可剪出6个三角形，如图：

2 1

3

4 1 2

3 4 5 6

③当四边形内只有3个点时，可剪出8个三角形，如图：

…….

所以四边形内有100个点时，最多可剪出4+2x99=202个符合题型的三角形

【拓展10】（2014年12月第十五届中环杯四年级初赛 第19题）将字母ABC 填入图中的小方格内，要求：

（1） 每个小方格要么填一个字母，要么不填作为空格

（2） 每行、每列中恰好出现一个A ，一个B ，一个C

（3） 相同字母所在小方格不会相邻（两个小方格有至少一个公共顶点就称为相邻）

（4） 表格外面的字母以及数字表示在这行、列中，两个对应字母之间所夹的小方格数量，

将这个表格完善后，对角线处看进去的一个英文字母串为？（按箭头指向顺序填写，空格用字母X 代替）

【分析】

1 2 3 4 5 6 7

8 A C 2 A B 0 B

C

4

A B 2 A B 3 A C 4

【例8】（2014年12月第十三届小机灵杯初赛四年级 第18题）甲、乙两个学校分别派出5名学生参加一次长跑比赛，规则是：第K 个到达终点的学生记K 分（没有学生并列到达终点），总分少的学校获胜，那么，获胜队的总分有（ ）种可能。

【分析】共10名学生，分数为1~10，总分55分，分数都为整数，要获胜，至多得27分，

至少得1+2+3+4+5=15，在15到27之间，共27-15+1=13（种）。

且这13种都可以取到。

【拓展11】（2014年12月第十三届小机灵杯初赛五年级 第15题）某公司的工作人员每周都工作5天休息2天，而公司要求每周从周一至周日，每天至少要有45人上班，那么该公司至少需要（ ）名工作人员。

【分析】周一到周日中挑2天休息，共C =21（种）不同方式。

最好的安排是让21人分别挑一种不同的方式,

这样每天都有21-（7-1）=15人在上班，

而题目要求每天有45人上班，则每种方式配3人执行，45÷15x21=63（名）

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