-2017解析几何全国卷高考真题

2015-2017解析几何全国卷高考真题

1、（2015年1卷5题）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2

212

x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ）

（A ）（-

3，3） （B ）（-6，6

（C ）（3-

，3） （D ）（） 【答案】A

【解析】由题知12(F F ，2

2

0012

x y -=，所以12MF MF ?=

0000(,),)x y x y -?- =2220

003310x y y +-=-<，解得033

y -<<，故选A.

考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

2、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆

22

1164

x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24

x y -+=

【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则2

2

2

(4)2a a -=+，解得3

2

a =，故圆的方程为22325()24

x y -+=

. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2

4

x 与直线y kx a =+（a ＞0）

交与M,N 两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.

【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在

【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而

不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.

试题解析：

（Ⅰ）由题设可得)M a

，()N a -

，或()M a -

，)N a .

∵1

2y x '=，故24x y =在x

=

，C

在,)a 处的切线方程为

y a x -=-

0y a --=.

故2

4x y =在x

=-处的到数值为

C

在(,)a -处的切线方程为

y a x -=+

0y a ++=.

0y a --=

0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=

+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()

k a b a

+.

当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

4、（2015年2卷7题）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）

A ．26

B ．8

C ．46

D ．10 【解析】由已知得321143AB k -=

=--，27

341

CB k +==--，

所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为

22(1)(2)25x y -++=，令0x =

，得2y =±

，所以MN =C ．

考点：圆的方程． 5、（2015年2卷11题）．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A

．2 C

【解析】设双曲线方程为22

221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，

0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ?中，BN a =

，

MN =，故点M

的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即

222c a =

，所以e =D ．

考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．

6、（2015年2卷20题）（本题满分12分）已知椭圆2

2

2

:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(

,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．

【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将

y kx b =+代入

22

9x y m +=得

2222(9)20

k x kbx b m +++-=，故

122

29

M x x kb

x k +=

=-+， 299

M M b

y kx b k =+=

+．于是直线OM 的斜率9M OM

M y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直

线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(

,)3

m

m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,

9,

y x k

x y m ?

=-???+=?得222

2981P

k m x k =+，

即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，

因此2(3)

3(9)

M mk k x k -=

+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，

即2P M x x =

=

2(3)

23(9)

mk k k -?

+

．解得14k =

24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l

的斜率为

4

4OAPB 为平行四边形．

考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．

7、（2016年1卷5题）（5）已知方程22

2213x y m n m n

-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点

间的距离为4,则n 的取值范围是

（A ）()1,3- （B

）(- （C ）()0,3 （D

）( 【答案】A

考点：双曲线的性质

【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题

.

注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.

8、（2016年1卷10题）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、

E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B

考点：抛物线的性质.

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.

9、（2016年1卷20题）（本小题满分12分）设圆2

2

2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；

（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）13

42

2=+y x （0≠y ）

（II ）)38,12[ 试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.

又圆A 的标准方程为16)1(2

2

=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：

13

42

2=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .

由?????=+-=134

)1(2

2y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,3412

42221+-=k k x x .

所以3

4)

1(12||1||2

2212

++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--

=x k y ,A 到m 的距离为

1

2

2+k ,所以 13

44)1

2

(42||222

22

++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 3

41

112||||212++==

k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[

.

当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 考点：圆锥曲线综合问题

【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

10、（2016年2卷4题）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=

（A ）43- （B ）3

4

- （C

（D ）2

【解析】A

圆化为标准方程为：，

故圆心为，，解得，故选A ．

11、（2016年2卷11题）已知1F ，2F 是双曲线E ：22

221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E

上，1MF 与x 轴垂直，sin 211

3

MF F ∠= ,则E 的离心率为

（B ）3

2

（C

（D ）2 【解析】A

离心率，由正弦定理得． 12、（2016年2卷20题）（本小题满分12分）

已知椭圆E :22

13

x y t +

=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积；

22

28130x y x y +--+=()()2

2

144x y -+-=()14

，1d ==43

a =-1221F F e MF MF =

-122112sin 31

sin sin 13

F F M

e MF MF F F =

===---

（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

【解析】 ⑴当时，椭圆E 的方程为，A 点坐标为， 则直线AM 的方程为．

联立并整理得， 解得或，则

因为，所以 因为，，

，整理得， 无实根，所以．

所以的面积为． ⑵直线AM

的方程为，

联立并整理得，

解得或

所以

所以

因为

4t =22

143

x y +

=()20-，()2

y k x =

+()22

1432x y y

k x ?+=???=+?

()

2222

341616120k x k x k +++-=2x =-

22

8634k

x k -=-+222861223434k AM k k -=+=++AM AN ⊥2

1212413341AN k k

k =??

+

+?- ?

??

AM AN =0k >2

12124343k k k

=++

()()

21440k k k --+=2440k k -+=1k =AMN △2

2

1

1121442

23449

AM

?==?+?(y k x =(22

13x y t y k x ?+=???=+?

()

222223230tk x x t k t +++-=x =x =AM =+=3AN k k

+

2AM AN =

所以

，整理得，． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以，即，整理得

．

13、（2016

年3卷11题）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

2

21(0)x y a b a b +=>>的左

焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）

（A ）1

3

（B ）12 （C ）23 （D ）34

【答案】A

考点：椭圆方程与几何性质．

【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e

的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得b a 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特

殊位置，求出e ．

14、（2016年3卷16题）已知直线l ：30mx y m ++=与圆

22

12x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =，则||CD =__________________.

【答案】4

23k k

+23632

k k t k -=-3t >236332k k k ->-()()23

1202

k k k +-<-2k <