幂函数及其性质专题教案

幂函数及其性质专题

一、幂函数的定义

一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如

1

12

34

,,y x y x y x

-

===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

二、函数的图像和性质

（1）y x = （2）1

2y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =

用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：

3．幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义

对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质

对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；

过点（1，0），即当x =1，y =0；

在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，

在[0，+∞]上，y x =、2

y x =、3

y x =、1

2y x =是增函数，

在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】

例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；

简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45

m =-（4）25

m =-

（5）1m =-

变式训练：已知函数()()2

223

m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲

线。

简解：220230

m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞

小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 例2．比较大小：

（1）1

1

221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1

1

2

5.25,5.26,5.26

---（4）30.5

30.5,3,log 0.5

解：（1）∵12

y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11

2

21.5 1.7<

（2）∵3

y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-

（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴11

5.25 5.26-->；

∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴1

2

5.26 5.26

-->；

综上，1

1

2

5.25

5.26

5.26

--->>

（4）∵3

00.51<<，0.5

3

1>，3log 0.50<，

∴30.5

3log 0.50.53<<

例3．已知幂函数2

23

m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．

解：∵幂函数2

23

m

m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，

∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；

∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数；

（2）分别求出f －1（x ）＝f （x ），f －1（x ）＞f （x ），f －1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围．

解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f －1

（x ）＝x 31

．

（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1

（x ）＝x 31

的图象都经过点（0，0）和（1，1）． ∴f －1

（x ）＝f （x ）时，x ＝±1及0；

在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 f －1

（x ）＞f （x ）时，x ＜－1或0＜x ＜1； f －1（x ）＜f （x ）时，x ＞1或－1＜x ＜0．

点评：本题在确定x 的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．

例5、求函数y ＝5

2x ＋2x 51

＋4（x ≥－32）值域．

解析：设t ＝x 51

，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2

＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．

∴函数y ＝5

2x ＋2x 51

＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．

【同步练习】

1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）

Ａ．y = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1

y x

-=

答案：Ｃ

2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）

Ａ．1

3y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2

y x -=

答案：Ｂ

3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）

Ａ．2

3y x = Ｂ．3

2y x = Ｃ．23

y x -

= Ｄ．32

y x

-

=

答案：Ｄ

4．函数y ＝（x 2

－2x ）

2

1－的定义域是（ ）

A ．{x |x ≠0或x ≠2}

B ．（－∞，0） （2，＋∞）

C ．（－∞，0）］ ［2，＋∞］

D ．（0，2） 解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案：B

5．函数y ＝（1－x 2

）21

的值域是（ ）

A ．［0，＋∞］

B ．（0，1）

C ．（0，1）

D ．［0，1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2，则y ＝t ． ∵－1≤x ≤1，∴0≤t ≤1，∴0≤y ≤1． 答案：D

6．函数y ＝52

x 的单调递减区间为（ ）

A ．（－∞，1）

B ．（－∞，0）

C ．［0，＋∞］

D ．（－∞，＋∞）

解析：函数y ＝52

x 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B ． 答案：B

7．若a 21

＜a

2

1－

，则a 的取值范围是（ ）

A ．a ≥1

B ．a ＞0

C ．1＞a ＞0

D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C

8．函数y ＝3

2)215(x x －＋的定义域是 。 解析：由（15＋2x －x 2）3≥0．∴15＋2x －x ＜20．∴－3≤x ≤5． 答案：A 9．函数y ＝

2

21

m

m x

－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是________．

解析：m 的取值应该使函数为偶函数．故m ＝－1． 答案：m ＝－1

10、讨论函数y ＝52

x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．

思路：函数y ＝52

x 是幂函数．

（1）要使y ＝5

2

x ＝52

x 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．

（2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴y ≥0．

（3）f （－x ）＝52)(x －＝52

x ＝f （x ），

∴函数y ＝52

x 是偶函数； （4）∵n ＝

5

2＞0，

∴幂函数y ＝52

x 在［0，＋∞］上单调递增．

由于幂函数y ＝52

x 是偶函数，

∴幂函数y ＝5

2

x 在（－∞，0）上单调递减．

（5）其图象如下图所示． 11、比较下列各组中两个数的大小：

（1）5

35.1，5

37.1；（2）0.71.5，0.61.5

；（3）3

2)

2.1(－

－，3

2)

25.1(－

－．

解析：（1）考查幂函数y ＝53

x 的单调性，在第一象限内函数单调递增，

∵1.5＜1.7，∴53

5.1＜53

7.1，

（2）考查幂函数y ＝23

x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝3

22

.1－

，3

2)

25.1(－

－＝3

225

.1－

，又3

22

.1－

＞3

225

.1－

，

∴3

2)

2.1(－

－＞3

225

.1－

．

点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

12．已知函数y＝42

－．

x－

15x

2

（1）求函数的定义域、值域；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）求函数的单调区间．

解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝4t，

（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，

∴t＝16－（x－1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．

（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．

（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，

∴x∈［－5，1］时，t随x的增大而增大；x∈（1，3）时，t随x的增大而减小．

又∵函数y＝4t在t∈［0，16］时，y随t的增大而增大，

∴函数y＝42

2

x－

－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］．

15x

答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；

（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；

（3）（1，3］．

规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y＝αx，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．