线性分组码的编码原理

第8章差错控制编码

本章教学基本要求：

掌握：1.差错控制编码的基本概念、基本原理

2.线性分组码的G、H矩阵

3.位同步

理解：卷积码

了解：常用的简单编码

本章核心内容：

一、差错控制编码的基本概念、原理

二、常用的简单编码

三、线性分组码

四、卷积码

一、差错控制编码的基本概念、原理

1.差错编码的基本概念

差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。差错控制的目的是用信道编码的方法检测和纠正误码，降低误比特率。

数字信号在传输过程中受到干扰的影响，使信号波形变坏，发生误码，可以采用一些方法解决。同时设计系统时，还要合理地选择调制、解调、发送功率等因素，采用上述措施仍难以满足性能要求，就要采用差错控制措施了。

从差错控制角度来看，根据加性干扰引起的错码分布规律的不同，把信道分为三类，即随机信道、突发信道和混合信道，对不同类型的信道，采用不同的差错控制技术。差错控制方法常用的有以下三种：（1）检错重发法（ARQ）：检错重发方式只用于检测误码，需具备双向信道。收端在接收到的信码中发现错码时，就通知发端重发，直到正确接收为止。

（2）前向纠错法（FEC）：收端不仅能检测误码，还能纠正错码。这种方法实时性好，不需要反向信道，但纠错设备较复杂。

（3）反馈校验法：接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端，并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重发。

三种方法可以结合使用

2.纠错编码的基本原理

在信息码序列中加监督码就称为差错控制编码，也叫纠错编码。不同的编码方法，有不同的检错和纠错能力，增加监督码元越多，检（纠）错能力越强。差错控制编码原则上是降低 b R 来换取可靠性提高。（即

e P 更小）。

信息码元和监督码元之间有一种关系，关系不同，形成码的类型也不同。信息码元和监督码元用线性方程组联系，所形成的码称为线性分组码，包括汉明码和循环码。

在线性分组码中，两个码组对应位上数字不同的位数称为码组距离，简称码距，又称汉明（Hamming ）距离。

编码中各个码组间距离的最小值称为最小码距 0d ，最小码距是衡

量码组检错和纠错能力的依据，其关系如下:

(1)为检测 e 个错码，则要求最小码距 10+≥e d ，

(2)为纠正 t 个错码，则要求最小码距 120+≥t d ，

(3)为纠正 t 个错码，同时为检测 e 个错码，则要求最小码t e t e d >++≥,10。

二、 常用的简单编码

（1）奇偶监督码：可分为奇数监督码和偶数监督码两种，原理和

检错能力都相同。监督码只有一位，编码后码组中“1”的数目为奇数是奇监督，“1”的数目为偶数是偶监督，能够检测奇数个错码，适用于检测随机错误。

（2）二维奇偶监督码：又称为方阵码，它是把上述奇偶监督码的若干码组排成矩阵，每一码组写成一行，再按列的方向增加第二维监督位。能检测部分偶数个错码，适用于检测突发错码，检错能力较强。

（3）恒比码：在恒比码中，每个码组均含有相同数目的“1”（和“0”）。由于“1”和“0”的数目之比保持恒定，故得此名。在检测时，只要计算接收码组中的“1”的数目是否对，就知道有无错误。恒比码编码简单，适用于传输字母和符号，对二进制随机数字序列不适用。

（4）正反码：正反码是一种简单的能够纠错的编码。编码的监督位数目与信息位数目相同，监督码元是信息码的重复还是反码，由信息码中“1”的个数而定。“1”为奇数时是重复，“1”为偶数时是反码。

三、线性分组码

1.基本概念

(1) 分组码：先将信息码分组，然后给每组信码附加若干监督码的编码称为分组码，用符号)

n表示，k是信息码的位数，n是编码组

(k

,

总位数，又称为码长，k

=为监督位数。

n

r-

(2) 代数码：建立在代数学基础上的编码称为代数码。

(3) 线性码：线性码中信息位和监督位是按一组线性方程构成的。线性码是一种代数码。

(4) 线性分组码：信息码分组后，附加的监督码和信息码由一些线性代数方程联系着的编码称为线性分组码。

(5) 编码效率η ：指码组中的信息码元个数与码组长度的比值n

r n k -==1η。 2. 线性分组码的编码原理

一般说来，若码长为n ，信息位为k ，则监督位为k n r -=，如果希望用 r 个监督位构造出r 个监督关系式来指示一位错码的n 种可能位置，则要求：

以汉明码为例来说明编码原理。汉明码是一种能够纠正一位错码且编码效率较高的线性分组码。（7，4）汉明码的编码效率：

（1）监督矩阵：（7，4）汉明码码位之间满足下式，其中 3456a a a a 为信息码，012a a a 为监督位。

式中的“+”指模2加，改写为矩阵形式：

1

212++≥≥-k r n r r 或。很大时，1,7

41→=-=ηηn n r 0

10011010

01010110

0010111012345601234560123456=?+?+?+?+?+?+?=?+?+?+?+?+?+?=?+?+?+?+?+?+?a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

上式还可以简记为

其中

H 称为监督矩阵，只要 H 给定，编码时监督位和信息位的关系就完全确定了， H 的行数是监督关系式的数目，等于r 。H 矩阵的各行应是线性无关的。H 可化为典型监督矩阵，包含两部分：

（2）生成矩阵：0

123456a a a a a a a 码位之间还可以改写成下式： )2(0001001101010101100101110123456模??????????=??????????

??????????????????????a a a a a a a 0

0=?=?T T T H A A H 或????

??????=100110101010110010111H []

0123456a a a a a a a A =[]

0000=[]r PI H =?????

???????=100010001110110110111

式中，Q 为一r k ?阶矩阵，它为 p 的转置

上式表明，信息位 []3456a a a a 给定后，用信息位的行矩阵乘矩阵 Q 就产生出监督位。

将 Q 的左边加上一 k k ? 阶单位方阵就构成一矩阵G :

G 称为生成矩阵，可以由此产生整个码组，即

所以如果给出码的生成矩阵，则编码方法就完全确定了。具有[k I ]Q 形式的生成矩阵称为典型生成矩阵，得到的码组 信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。

线性码具有封闭性，因此线性码的最小距离即是码的最小重量（除全“0”外）。

[][]Q

a a a a a a a 3456012

=?????

???????==110101011111T P Q []

????????????==1101000101010001100101110001Q I G k []G

a a a a A ?=3456

四、循环码

1.循环码的编码原理

循环码是一种重要的线性分组码。这种码的编码和解码设备都不太复杂，且有较强的检（纠）错能力。循环码具有循环性，即码中任一码组循环一位以后，仍为该码中的一个码组。

讨论循环码时，用多项式代表许用码组，码组中各码元当作是多项式的系数，这种多项式有时称为码多项式，用 )(x T 表示。)(x T 可以按模运算，且运算规律符合循环性。如)(x T 是长为 n 的许用码组，则 )()(x T x x T i ?='在按模 1+n x 运算下，也是一个许用码组。

生成矩阵G ：在循环码中，一个 ),(k n 码有k 2 个不同码组，若用

)(x g 表示其中前 1-k 位皆为“0”的码组，

则 ),(),(x xg x g …)(1x g x k - 都是码组，且线性无关。找出任一 ),(k n 循环码的生成多项式，就可以构成此循环码的生成矩阵G 。

G 不是典型矩阵，可以通过初等变换，将其化为典型阵。

2. 循环码的编码方法和编码器的构造

编码方法：由循环码的构造可知，所有码多项式 )(x T 都可被 )(x g 整除。即若某多项式能被 )(x g 整除，且商的次数不大于1-k ，则其必???????

?????????=--)()()()()(21x g x xg x g x x g x x G k k

为码多项式。根据上述原理，编码步骤归纳如下：

（1）设 )(x m 为信息码多项式，用 k n x - 乘 )(x m 。

（2）用 )(x g 除)(x m x k n - ，即

其中，)(x r 是余式。

（3）)()(x r x m x k n +-能被)(x g 整除，我们就令)()()(x r x m x x T k n +=- ,认为 )(x T 是循环码多项式。

从编码的步骤看，编码的核心是如何确定式 )(x r ，找到 )(x r 后可直接将 )(x r 所代表的编码位附加到信息位之后，完成编码。实际上，)(x r 所代表的编码位可以理解为监督位,获取)(x r 可以采用除法电路。 )

()()()()(x g x r x Q x g x m x k n +=-