等腰或直角三角形为背景的计算与证明
3.
专题提升(十)以等腰或直角三角形为背景的计算与 证明 类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明
【经典母题】
把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸
片都是等腰三角形?你能办到吗？请画示意图说明剪法.
解：如答图，作/ABC 的平分线，交AC 于点D.在BA 上截取BE
=BD ，连结ED ，则沿虚线BD ，DE 剪两刀，分成的3个三角形 都是
等腰三角形.
【思想方法】 等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平
分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在 经典
母题答图 一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长的计算.
【中考变形】
[2017湖南]已知△ ABC 的三边长分别为4, 4, 6,在厶ABC 所在平面内画一 条直线，将△ ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样
的直线最多可画
A . 3条 B.4条 C.5条
【解析】 女口答图，当AC = CD ，AB = BG ，AF =
CF ，
AE = BE 时，都能得到符合题意的等腰三角形.
[2016杭州]已知直角三角形纸片的两条直角边长分别 为m 和n(m v n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角
形，若这两个三角形都为等腰三角形，则
(C 2 2 2 2
A . m + 2mn +n = 0
B.m — 2mn +n = 0 2 2 2 2
C . m + 2mn —n = 0 D.m — 2mn —n = 0
【解析】 如答图，根据题意，得m 2 + m 2= (n — m)2,
2m 2= n 2—2mn + m 2, m 2 + 2mn —n 2= 0.
[2017绍兴]已知△ ABC ，AB =AC ，D 为直线BC 上 2.
中考变形2答图
一点，E为直线AC上一点，AD = AE，设/ BAD = a.
⑴如图Z10—1,若点D在线段BC上，点E在线段AC上.
①如果/ ABC = 60°,/ ADE = 70°，那么a= __20__, __10.
②求a, B之间的关系式；
(2)是否存在不同于以上②中的a, B之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由.
解：（1）①??? AB= AC, / B = 60°,A / BAC= 60°,
??? AD = AE,/ ADE= 70°,二/ DAE = 180°—2/ADE = 40°,
???a=/BAD = 60°—40°= 20°,
???/ ADC= / BAD+/ B = 60°+ 20°= 80°,
???B=/CDE = /ADC —/ADE= 10°.
②设/B = x,/ ADE = y,「./C= x,/ AED = y, 在厶DEC 中，y= B+ 乂，在厶ABD 中，a + x= y+ B= B+ x+ B, 二a = 2 B
⑵I .当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，如答图①，设/B = x, /ADE = y,.°./ C = x,/ E = y,
在厶ABD 中，x+ a= B—y,在厶DEC 中，x+ y+ 180°,
??? a = 2B- 180° .
图Z10—
1
中考变形3答图①中考变形3答图②
n .当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如答图②，同①的方法可得a 180°—2B
【中考预测】
[2016菏泽]如图Z10 —2,A ACB和厶DCE均为等腰三角形，点A, D, E在同一直线上，连结BE.
(1) 如图①，若/ CAB=Z CBA=Z CDE=Z CED= 50°，
①求证：AD a BE.
②求/ AEB的度数；
(2) 如图②，若/ACB=Z DCE = 120°，CM DCE 中DE 边上的高线，BN
ABE中AE边上的高线，求证：AE= 2 3CM + 2^BN.
解：（1）①证明：???/ CAB a Z CBA=Z CDE =Z CED = 50
???/ ACB=Z DCE= 180°—2X 50°= 80°.
vZ ACB=Z ACD+ Z DCB，Z DCE =Z DCB + Z BCE，
???Z ACD= Z BCE.
???△ ACB和△ DCE均为等腰三角形，
?AC= BC，DC = EC.
AC= BC，
在厶ACD 和厶BCE 中，Z ACD= Z BCE，
DC = EC，
?△ACD^A BCE（SAS，：AD = BE;
ACD BCE,：Z ADC= Z BEC.
v点A，D，E在同一直线上，且Z CDE = 50°，
?Z ADC= 180°—Z CDE = 130°,：Z BEC= 130°,
?Z AEB= Z BEC—Z CED= 130°—50°= 80°;
⑵证明：ACB和厶DCE均为等腰三角形，且 / ACB=/ DCE= 120 1
???/CDM = /CEM = 2X(180°—120° ) = 30° .
v CM 丄DE,A Z CMD = 90°, DM = EM.
在Rt A CMD 中，/ CDM = 30°,
vZ ACB=Z DCE= 120°,
???/ ACB—Z DCB= Z DCE —Z DCB，即Z ACD= Z BCE, 又v AC= BC, CD= CE,.」ACDBCE(SAS),
???Z ADC= Z BEC, AD= BE.
vZ BEC=Z ADC= 180°—30°= 150°,
Z BEC= Z CEM + Z AEB,
?Z AEB= Z BEC—Z CEM = 150°—30°= 120°,
?Z BEN= 180°—120°= 60°.
在Rt A BNE 中，Z N = 90°,Z BEN = 60°,
v AD = BE, AE = AD + DE,
? AE= DE + BE = 2 3CM + ^BN.
类型之二以直角三角形为背景的计算与证明
【经典母题】
已知：如图Z10 —3,在厶ABC中，AD丄BC于点D , E为AC上一点，且BF =AC, DF = DC.求证：BE丄AC.
证明：v AD 丄BC,.Z ADC =Z BDF = 90°, A
又v BF= AC, DF = DC, 7
?Rt△BDF也Rt A ADC(HL),.Z DBF = Z DAC, \
R ----------- D------- c vZ BFD =Z AFE,
?Z AEF= Z BDF = 90°,即卩BE丄AC. 图Z10—3【思想方法】直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用.
【中考变形】
1. 如图Z10— 4,将Rt △ ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°,得到△ AB'C ,连 (B )
图 Z10— 4 ??? Rt A ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到 △ A B C ,A AC = A C ，二△ ACA '是等腰直角三角形，二/ CAA ' = 45 ???/A ' B ' C = Z 1 + Z CAA = 20 ° + 45° = 65°,由旋转的性质，得 / B = / A B C = 65
2. [2016 济宁]如图 Z10 — 5,在厶 ABC 中，AD 丄BC , CE 丄AB , 垂足分别为D , E , AD , CE 交于点H ，请你添加一个适当条 件
_AE = CE （答案不唯一）__,使厶AEH ◎△ CEB.
【解析】 该题为开放型题，根据垂直关系，可以找出 △ AEH
与厶CEB 的两对相等的对应角，只需要找它们的一对对应边
图 Z10— 5
相等就可以了.
??? AD 丄BC , CE 丄AB ,垂足分别为 D , E , ???Z BEC =Z AEC = Z ADB = 90°,
在 Rt A AEH 中，Z EAH = 90°— Z AHE ,
在 Rt A ABD 中，Z EAH = 90°— Z B ,
? Z B = Z AHE.
?根据 AAS 添力卩AH = CB 或 AE = CE ，根据 ASA 添力卩EH = EB ，可证 △ AEH ◎△ CEB.
故填空答案：AH = CB 或EH = EB 或AE = CE （答案不唯一）.
3. 如图 Z10— 6,在厶 ABC 中，AB = CB ,Z ABC = 90°, D 为
AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上，且BE = BD ，连结AE ,
DE , DC.
(1) 求证：△ ABE ^A CBD ;
结AA',若/ 1= 20°,则/ B 的度数是 A. 70
°
B. 65
°
C. 60
° A
图 Z10—
6
⑵若/CAE= 30°，求/ BDC的度数.
解：(1)证明：vZ ABC= 90°,
???/DBE= 180°- Z ABC= 180°—90°= 90°,
???Z ABE= Z CBD.
在^ABE 和^CBD 中, Z ABE= Z CBD,
BE= BD,
? △ABE^A CBD(SAS；
(2) v AB= CB,Z ABC = 90°,
?△ ABC是等腰直角三角形，???/ ECA= 45
vZ CAE= 30°,Z BEA=Z ECA+Z CAE,
?Z BEA= 45°+ 30°= 75°.
由(1)知Z BDC =Z BEA,：Z BDC = 75°.
4. 如图Z10—7, △ ACB与厶ECD都是等腰直角三角形，Z ACB=Z ECD = 90 D
为AB边上的一点.
(1)求证：△ ACE^A BCD;
⑵若DE = 13, BD = 12,求线段AB的长.
解：(1)证明：???△ ACB与厶ECD都是等腰直角三角形,
?CE= CD, AC= BC,Z ACB=Z ECD= 90°,
?Z ACE=Z BCD= 90o— Z ACD,
CE= CD,
在厶ACE 和厶BCD 中，Z ACE= Z BCD,
AC= BC.
? △ACE^A BCD(SAS；