导数与积分总结

导数与积分

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 处有增量，那么函数y 相应地有增量

=f （x +）－f （x ），比

值叫做函数y=f （x ）在x 到x +之间的平均变化率，即=

。如果当

时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 处的导

数，记作f’（x ）或y’|。

即f （x ）==

。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x ，f （x ））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x ，f （x ））处的切线的斜率是f’（x ）。相应地，切线方程为y －y =f`（x ）（x －x ）。

3．几种常见函数的导数:

①②③; ④

;

⑤⑥

; ⑦

; ⑧.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

(‘=（v 0）。

复合函数的导数：

单调区间：一般地，设函数

在某个区间可导，

如果

，则为增函数；如果，则为减函数；

如果在某区间内恒有

，则为常数；

0x ?y ?0x

?0x y

??00x ?x

y

??x

x f x x f ?-?+)

()(000→?x x

y

??0000x x =00lim →?x x y

??0lim

→?x x x f x x f ?-?+)()(000000000000;C '=()

1;n n x nx -'=(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-();x x e e '=()ln x x

a a a '=()1ln x x '=

()1

l g log a a o x e

x '=.)'''v u v u ±=±.)('''uv v u uv +=??? ??v u 2

'

'v uv v u -

≠)(x f y ='f )(x 0>)(x f 'f 0)(

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f 在[a ，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?在(a ，b)内的极值； ②求函数?

在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0

小区间，在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式In ＝(ξi)△x （其中△x 为小区

间长度），把n→∞即△x→0时，和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：

，

即

＝

(ξi)△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式：

＝C ；＝＋C （m ∈Q ， m≠－1）

；

dx ＝ln ＋C ；＝＋C ；＝＋C ；

＝sinx ＋C ；＝－cosx ＋C （表中C 均为常数）

。

（2）定积分的性质 ①

（k 为常数）；

②

；

③

（其中a ＜c ＜b 。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x ＝a ，x ＝b （a

。

)(x )(x )(x )(x ∑n

i f

1

＝?

b

a

dx

x f )(?b

a

dx x f )(∑=∞

→n

i n f 1

lim ?dx 0?dx x m

1

11++m x

m ?x 1

x ?dx e x x e ?dx a x a

a

x ln ?xdx cos ?xdx sin ??=b

a b

a

dx

x f k dx x kf )()(???±=±b

a b a

b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(?

??+=b

a

c

a

b

c

dx

x f dx x f dx x f )()()()

?=b

a

dx

x f S )

(

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a

形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝。

?

?-b

a

b

a

dx

x f dx x f )()(21