斜拉桥非线性分析

斜拉桥几何非线性分析方法综述

摘要:近些年来，随着我国交通建设事业的发展，需要修建大跨度的桥梁以满足交通的要求，斜拉桥以其美观的造型和经济跨度，成为大跨度桥梁中非常有竞争力的桥型之一。本文介绍了斜拉桥几何非线性分析的基本理论，阐述影响斜拉桥几何非线性的三个主要因素:大变形、斜拉索垂度效应和弯矩与轴力的组合效应，并介绍了几何非线性方程的求解方法以及非线性分析中的两个重要的问题。

关键词:斜拉桥;几何非线性分析;非线性方程求解

1．概况

斜拉桥是一种由桥塔、斜拉索和主梁构件组成的组合桥梁结构体系，是一种桥面体系受压，支承体系受拉的桥梁形式。这种结构形式节奏明快，韵律感强烈，受力均匀，更主要的是他有优越的经济跨度。其桥面体系由加劲梁构成，其支承体系由钢索组成。是一种跨越能力较大的桥梁结构形式。其结构特点是由塔柱伸出的斜拉索为主梁的弹性支撑代替中间支撑，借以降低主梁的截面弯矩，减轻自重，显著的增加跨越能力。同时，斜拉索拉力的水平分力对主梁起着预应力的作用，能够增强主梁的抗裂性。

1.1斜拉桥的发展历史

现代斜拉桥的历史虽短，但是利用斜向缆索、铁链或铁杆，从塔柱或桅杆悬吊梁体的工程构思以及实际应用可追朔到16世纪，1938年德国工程师迪辛格尔在研究一座双线铁路悬索桥时，发现在高应力状态下用高强钢索作为斜缆，可以显著提高桥梁的刚度。1955年，他设计并建成的瑞典斯特姆斯(stromsund)钢斜拉桥，其跨径是74.7+182+747m，塔是门形框架，拉索辐射形布置，加劲梁由两片板梁组成。在现代斜拉桥历史上写下了第一页.

20世纪60年代初期，结构分析有了新的突破，采用计算机分析技术，导致密束体系的产生。密索体系的优点是减轻了主梁自重，简化了斜拉索的锚固装置，有利于悬臂施工，增强了抗风稳定性，从而进一步提高了斜拉桥的跨越能力。此后,由于有限元的出现和电算技术的发展,高强度优质新型钢材的大量生产,模型试验技术和预应力混凝土技术的飞速发展,使斜拉桥在近30年间取得突破性的发展.近几年,中国和世界各国相继出现了修筑斜拉桥的高峰期。

从80年代末开始了大跨径斜拉桥的设计与施工，至今己建成跨径大于20Om的斜拉桥近50余座，其中跨径超过4O0m的已有18座。由于混凝土斜拉桥造价低廉，在我国得到最优先展，我国也是世界上建造混凝土斜拉桥最多的国家。目前，我国已建成的苏通大桥，一跃成为世界上跨度最大的斜拉桥，斜拉桥主孔跨度IO88m，列世界第一;主塔高度3O6m，列世界第一;斜拉索的长度580m，列世界第一;群桩基础平面尺寸113.75mx48.lm，列世界第一。这些大跨度斜拉桥的建成标志我国斜拉桥的建造技术达到了世界先进水平。

由于斜拉桥良好的力学性能、建造相对经济、景观优美，已成为大跨径桥梁建设中最有竞争力的桥型。新世纪里斜拉桥将扮演更加重要的角色。我国分别于2002年和2003年动工建造的特大跨径斜拉桥一江苏苏通大桥、香港昂船洲大桥则堪称世界桥梁建设史上里程碑式的项目。

1.2斜拉桥的结构特点

斜拉桥结构由塔、索、梁组成，结构体系丰富多彩。按塔的数量，可分为单塔和双塔；按索面数可分为单索面和双索面；按索的形状可分为放射形、扇形、竖琴形。在密索体系的前提下，按塔、梁和墩的相互连接方式，可分为塔墩固结、塔梁固结、塔梁墩固结和漂浮体系等。

斜拉桥的结构特点是由索塔引出的斜拉索作为梁跨的弹性中间支撑，以降低梁跨的截面弯矩，减轻梁重，提高了梁的跨越能力。此外，斜拉索的水平

分力对主梁产生轴向预加压力的作用，此水平分力增强了主梁的抗裂性能，减少了高强度钢材的用量。

1.3斜拉桥几何非线性分析的现状

自从本世纪60年代以来，各国的学者就开始研究斜拉桥静力几何非线性行为。德国学者Ernst将斜拉索看成直杆，提出采用等效弹性模量双。来考虑斜拉索自重垂度引起的非线性。F.LeonhardiTang，也得出了与Ernst一样的结果。Ozdemir采用拉格朗日函数插值法，Jayaraman用小应变弹性悬连线法，Gamblli:用曲线单元法，来模拟缆索的非线性行为。这些方法中以等效弹性模量法最为简便，因此被普遍采用。

1971年，M.C.Tang根据斜拉索的受力分析及塔柱和主梁小挠度平衡微分方程，用虚拟荷载模拟梁一柱效应及斜拉索垂度和转角变化，采用传递矩阵法分析了斜拉桥的几何非线性。由于建立的平衡方程是基于斜拉桥的初始未变形位置及小挠度的平衡微分方程，该法不能考虑结构大位移问题。

1978年，J.F.Fleming用等效弹性模量考虑斜拉索垂度效应，用稳定函数考虑压一弯构件的梁一柱效应，用拖动坐标系考虑大位移的影响，用迭代法对非线性方程进行求解，给出了考虑斜拉桥几何非线性的平面分析程序。

1989年，Nazmy等将Fleming的稳定函数理论推广到空间来考虑梁、塔等构件的梁一柱效应，用Ernst公式考虑拉索垂度效应。再与结构几何刚度矩阵叠加，以横载状态下的切线刚度矩阵作为活载分析的起始状态，用荷载增量法对斜拉桥进行几何非线性分析。

1996年，P.H.Wang与C.GYang用Ernst公式考虑拉索垂度效应，用稳定函数考虑梁一柱效应，用转换系数考虑大位移影响，用增量法和迭代法求解非线性方程，分析了各种非线性因素对斜拉桥静力行为的影响。

我国学者对斜拉桥的几何非线性也进行了广泛的理论分析与试验研究。程庆国、潘家英等总结了斜拉桥几何非线性研究的现状，对各种斜拉桥几何

非线性分析方法做了总结，指出:(1)等效弹性模量法用直杆单元模拟斜拉索，给斜拉桥的分析带来了很大方便，而且效果很好。但是当斜拉索两端节点位移比较大时，等效弹性模量法具有一定的局限性;(2)分析梁一柱效应时可采用几何刚度矩阵法和稳定函数法，其中稳定函数法具有比较高的精度，是处理梁一柱非线性的经典有效的方法;(3)目前己有的斜拉桥非线性计算理论可大致分为切线模量表达的增量求解法和割线模量表达的全量求解法;理论框架可分为总体拉格朗日描述(T.L.)和修正拉格朗日描述(U.L)。但是斜拉桥非线性有限位移理论在有限元格式的建立过程中作了不同程度的简化和近似。因此，所得到的计算模型也不尽相同。从现有的各种非线性计算方法存在的差异可以看出，大跨度斜拉桥的非线性计算理论还有待进一步深入研究，这大致可以归纳为以下三个方面:

（1）斜拉桥各种非线性单元模式合理性及其精度的研究;

（2）斜拉桥几何非线性描述参考构形及非线性求解方法的研究;

（3）斜拉桥有限元离散方法、结构模型化方法对几何非线性分析结果的影响研究。

综上所述，早期对斜拉桥的几何非线性分析中，除用Ernst公式修正弹性模量考虑斜拉索垂度效应外，基本上按线弹性的理论进行分析。进入70年代以来，开始用几何刚度矩阵或稳定函数来考虑几何非线性中的梁一柱效应，并用增量法、迭代法或增量一迭代法进行非线性方程的求解，分析各种非线性因素对斜拉桥受力和变形的影响。目前，己发展为采用基于非线性连续介质力学理论的T.L.列式法或U.L.列式法来分析大跨度斜拉桥的几何非线性。

2.大跨度斜拉桥几何非线性分析的主要影响因素

斜拉桥是由桥塔、主梁、斜拉索构成的组合结构，在荷载作用下，锚固于桥塔上的斜拉索为梁跨提供了弹性支承，而斜拉索的水平分力对主梁产生轴向预加压力的作用。斜拉索在自重作用下存在较大的垂度，而桥塔、主梁

处于压、弯荷载组合作用下，因此，斜拉索的存在使得斜拉桥成为一种柔性结构。归纳起来，斜拉桥的几何非线性来自三个方面：(1)斜拉索垂度的效应；

(2)轴力与弯矩组合效应；(3)大变形产生结构几何形状变化引起的非线性效应。下面结合斜拉桥几何非线性问题，分别讨论上述三种非线性因素

的处理。

2.1斜拉索垂度效应

斜拉索作为一种柔性构件，在自重和轴力作用下将呈悬链线线形。斜拉索的轴向刚度随垂度而改变，而垂度又取决于斜拉索张力，因此斜拉索张力与变形之间存在着明显的非线性。在荷载作用下，斜拉索两端的相对运动受三个因素影响：

（1）索受力后产生的应变可认为是线弹性的，受索材料弹性模量控制；（2）在荷载作用下，索中各股钢丝作相对运动，重新排列的结果使横截面更为紧密。这种变形引起的构造伸长大部分是永久持续的，它发生在一定的张力下，一般可在斜拉索制作过程中，用预张拉的办法来消除；而非永久性的伸长会导致索材料有效弹性模量的降低；

（3）在荷载作用下，索中除产生应变外，还会导致索垂度变化，这种垂度变化与材料应力无关，完全是几何变化的结果，它受索内张力、索长和索自重分布控制。索抗拉刚度随轴力变化而变化，垂度变化与索拉力不是线性关系。

斜拉桥缆索产生的非线性随着斜拉索自重及水平投影长度的增加而增加，随着斜拉索预拉力的增大而减小。对于大跨度斜拉桥，斜拉索产生的非线性效应在全桥非线性效应中占有相当的比重。因此，合理地描述斜拉索的非线性特性在斜拉桥分析中起着重要的作用。

2.1 斜拉索受力及变形示意图

考虑斜拉索一个比较简单而且适用的方法是把它视为与它的弦长等长度的桁架直杆,其等效弹性模量包括材料变形、构造伸长和垂度变化3 个因素的影响,其表达式为:

经过这样处理后,斜拉索的单元刚度矩阵和空间或平面杆件系统的刚度矩阵基本一致,唯一的区别是斜拉索单元采用的是等效弹性模量E eq ,长度则取为L 。

2.2大变形效应

在荷载作用下，斜拉桥上部结构的几何位置变化显著。从有限元法的角度来说，结点坐标随荷载的增量变化较大，各单元的长度、倾角等几何特性也相应产生较大的改变，结构的刚度矩阵成为几何变形的函数，因此，平衡方程{F}=[K]{δ}不再是线性关系，小变形假设中的迭加原理也不再适用。

因此在计算应力和反力时应当计入结构位移的影响，也就是位移理论。平衡条件是根据变形后的几何位置给出的，荷载和位移并不再保持线性性质。内力与外荷载之间的正比关系也不再存在。由于结构大变形的存在，产生了与荷载增量不成正比的附加应力。

附加应力的计算可以采用逐次逼近的方法。根据结构初始几何状态，采用线性分析的方法求出结构内力和位移，使用带动坐标的混合法对几何位置加以修正，这时各单元的刚度矩阵也相应有所变化。利用变形后的刚度矩阵和结点位移求出杆端力，由于变形前后刚度不同，产生了结点不平衡荷载，将此不平衡荷载作为结点外荷载作用于结点上，再次计算结构位移，如此迭代直至不平衡荷载小于允许范围为止（可以得出结点的准确位移，从而得出相应的应力和内力）。

迭代过程中的初始荷载和每次迭代时的不平衡荷载都是以增量的形式加载的。在每个荷载增量加载期间假设刚度矩阵为一常数，即增量区间的左端点处对应的刚度矩阵。求解平衡方程，得出该荷载增量下的位移增量，由此可以在该荷载增量区间末对几何位置进行修正，用于下一个荷载增量计算。这样，每次荷载增量下的结构刚度矩阵和杆端力计算都与当时的几何位置相对应，虽然在各荷载增量加载过程中作了线性假设，但只要荷载分得足够细，迭代的次数足够多，就可以用这种分段线性来代替大变形引起的非线性。

除了大变形外，斜拉索垂度变化和弯矩轴向力相互作用引起的非线性效应都和结构的几何变形有关。此处把以上效应均归入几何非线性的范畴，所以把几何非线性直接称为大变形非线性时不够全面的。

2.3弯矩与轴向力的组合效应

对于处理梁一柱效应的有效的方法是引入稳定函数，用此函数修正刚度矩阵后进行线性计算。

图2.3 轴向受压构件

如上图所示同时受轴向压力和弯矩作用的构件的Y方向的挠度方程为:

q=0时，通解为

式中：

令该问题的边界条件为：

将边界条件代入通解方程，有：

式中：

将上式记为：

{F}为构件两端的剪力和弯矩向量：

对通解方程两端两端求解，并代入上式有：

将上式简记为：

因此有：

令

则可得到{T}为单元的刚度矩阵

上式代入{T}有

当轴向压力N为0时，此时u趋于0。而此时的矩阵{T}应与单元线性刚度矩阵相等，即有:

引入稳定函数系数来修正线性刚度矩阵中的各系数，则可得：

由上式可得

其中：

S即为稳定函数修正系数。当单元受轴向拉力作用时的稳定函数系数可同理推得。用得到的修正系数修正单元刚度矩阵，以此来考虑非线性分析中的梁一柱效应。

3．非线性分析的基本方法

考虑几何非线性的有限元方程是建立在结构变形后构形上的平衡方程，结构刚度矩阵是所求位移的函数，无法直接求解，通常只能采用逐步逼近的数值方法。目前常用的数值方法有:荷载增量法、迭代法和混合法。

3.1增量法

增量是指荷载以增量的形式逐级加上去,对每个荷载增量作用过程中假定结构的刚度是不变的,在任一荷载增量区间内结点位移和杆端力都是由区间起点处的结构刚度算出,然后利用所求得的结点位移和杆端力求出相对于增量区终点变形后位置上的结构刚度,作为下一个荷载增量的起点刚度。在任一荷载增量i 级作用下的平衡方程为:

增量荷载区间终点处的结点位移为起点处位移和位移增量之和，可见结构

的集合状态要在每个荷载增量后进行调整。

3.1 增量法原理图

3.2迭代法

迭代法的基本思想是。根据作用在结构上的荷载，进行迭代计算，取结构刚度为一数值，迭代后计算总荷载的不平衡力，并把它作为下一步迭代的荷载，计算出附加位移值，反复计算直至结果达到预定精度。

3.2迭代法原理图

3.3增量迭代混合法

增量迭代混合法是将增量法和迭代法联合运用，在对所施加的荷载分级的同时，每级荷载加载过程中也进行迭代计算。该方法即克服了增量法的误差，又能克服迭代法计算量大的缺点。

3.3 混合法原理图

3.4带有拖动坐标系的混合法

求解大位移效应引起的几何非线性问题，可采用基于U.L.列式法的拖动 坐标系对结构几何位置进行修正，简称这种方法为CR 式法。这种方法在计算由节点位移增量产生的单元内力增量时，可精确扣除单元的刚体平动和转动，对杆系结构的几何非线性分析特别显示其优越性。

图3-4(a)为t 时刻整体坐标系XOY 中一个已处于平衡状态的梁单元，根据单元节点i 、j 的坐标值，可以算出t x 、t y 、t L 、t θ，从时刻t 到时刻t+?t ， 单元变形后移动到图3-4(b)所示的位置，此时单元的节点位移为i μ?、i ν?、i θ?、j μ?、j ν?、j θ?。

从图中可以看出，从时刻t 到时刻t+?t ，单元拖动坐标系的运动可分为两部分，即从t x t y 刚体平移到图3-4(b)中的虚线位置，然后从虚线位置刚体移到t t x ?+t t y ?+的位置。

（a ）单元ij 变形前的形态 (b) 单元ij 变形后的形态

3.4拖动坐标系

此时：

于是，在t 至t+?t 时段增量步内，局部坐标系t t x ?+t t y ?+下单元运动中真正能引起起单元变形的那部分位移增量可以表示为：

于是，在t 至t+?t 时段增量步内，单元在拖动坐标系xy 中的节点位移增量可表示为：

如果变形后单刚用{}e T

K ''表示，则变形后的单元节点力{}e F '可以用节点位

移表示为：

式中，{}e T K''、{}e

F'、{}e'δ都系局部坐标系t t x?+t t y?+，通过坐标变换，转换到整体坐标系XOY后，上式可表示为：

由于单元刚度矩阵[]e T K是由局部坐标系转换到整体坐标系而得到的，转换矩阵[T]的方向余弦为位移的函数，从而：

上式表明单元刚度矩阵是单元节点位移列阵的函数。若首先把结构以线性理论计算得到的弹性位移作为第一次近似值，然后通过计算算出各变形单元作用到节点上的力：

从而各节点上产生的不平衡力为：

把该不平衡力作用到结构的各节点上去，算出位移的第二次近似值。重复以上过程，反复迭代直至{?F}={0}为止。

3.5 拖动坐标混合法在斜拉桥分析中的应用

现介绍带动坐标混合法在斜拉桥中的应用。在带动坐标的混合法中设置了两重主要的循环计算，即迭代循环和荷载增量循环。荷载增量循环嵌套于迭代循环中，目的是加快收敛速度，提高计算精度。

3.5.1迭代循环

在迭代循环开始前，整个结构位移为零，杆端力除斜拉索单元外均为零。

斜拉索轴向抗力为初始拉力，结构各单元稳定性函数值为1.0（在分析弯矩与轴向力的组合效应时用此函数对刚度矩阵加以修正后再实施线性计算）。斜拉索的弹性模量为初始拉力下的等效弹性模量，恒载及外荷载被分配到各节点上，得到等效节点力。迭代循环的计算步骤如下：

（1）将恒载、外荷载的等效节点力以及斜拉索的初始张拉力施加到斜拉桥

结构上，施加过程实际上是逐步进行的，尤其是表现在荷载增量循环

中，计算出结构杆端力及节点位移；

（2）根据上一步计算出来的节点位移，重新调整结构的几何位置，并计算

当前状态下的稳定性函数值Si和斜拉索的等效弹性模量，用于下次

迭代计算，这一步骤同样表现在荷载增量循环中；

（3）不平衡荷载的计算是将第一步算出的杆端力反号后与荷载的等效节

点力相加，得到第一次迭代后的不平衡荷载；

（4）检验不平衡荷载的大小是否小于限制值，如果不满足要求，将不平衡

荷载视为作用荷载，重复以上三步的计算，直到不平衡荷载小于限制

值为止。

3.5.2荷载增量循环

对斜拉桥几何非线性各因素的处理手段主要体现在荷载增量循环过程中，

荷载增量循环完全嵌套于迭代循环中，每次迭代运算中增量循环的次数取决于荷载增量的个数。为加快收敛速度，在第一次迭代和其后的各次迭代中采用了不同的荷载分级方法。第一次迭代的荷载增量区间分得较细，其后的各次迭代则相对分得粗一些。在以下描述中将第一次迭代的作用荷载包括恒载、外荷载和斜拉索初始拉力以及每次迭代后的不平衡荷载统称为增量循环计算的初始荷载。结合斜拉桥几何非线性分析的特点，荷载增量循环的计算步骤如下：

（1）初始荷载的分级可采用等步长分级，进入第一个荷载增量循环；

（2）计算结构整体刚度矩阵，即当前荷载增量区间左端处的刚度矩阵；（3）引入约束条件；

（4）求解平衡方程，得出位移增量，再将位移增量加到上一个荷载状态下的节点位移上去，得到当前荷载状态下的节点位移；

（5）根据上一步得到的位移增量，计算当前荷载增量区间末段结构的几何位置，包括节点坐标的移动和杆件长度、倾角的变化等；

（6）计算当前荷载增量区间末端新的几何位置上的杆端力；

（7）斜拉索等效模量的修正，即当前荷载状态的等效弹性模量；第2章大跨度斜拉桥的几何非线性分析理论

（8）稳定性函数Si的修正；

（9）检验是否完成了最后一级荷载的加载，若未完成，重复进行第（2）—第（8）步的计算直到加载完成为止。

从以上步骤可知，在每个荷载增量区间计算过程中，第（5）步修正了结构的几何位置，使第（6）步的杆端力计算与当前的几何位置能对号入座，这就是对大变位效应的处理手段。第（7）步和第（8）步分别对斜拉索的等效弹性模量和非斜拉索单元的稳定性函数作了修正，这样，返回到第（2）步计算出的下一个荷载增量区间左端点处的刚度矩阵较为符合实际情况，做到了斜拉索垂度变化和刚度矩阵的对应。同时，通过稳定性函数Si对刚度矩阵的修正，达到了考虑弯矩和轴向力组合效应的目的。

4.非线性分析中两个关键问题

4.1增量步长选择

在用前述增量法或混合法求解几何非线性有限元方程时，都要合理选择荷载增量步长。步长过大则计算结果不收敛或不可靠，步长过小则计算机时太长。增量法是一种线性化方法，如把步长最大(只需一个增量步)的线性弹

性问题看成是非线性程度最低的非线性问题，那么，随着非线性程度的增高， 步长应当减小。不同结构物的非线性程度不同，同一结构物的非线性程度也 随加载过程而变，所以只有按具体的非线性程度来选择步长才是合理的。 P.G.Bergan 等提出第i 增量步的刚度用下式度量:

初始(线性弹性)刚度用下式度量：

于是，第i 增量步的刚度参数可用下面的无量纲参数定义:

由于:

从而：

这样，如果给定进入非线性状态后的第一个载荷增量因子i λ?和刚度参数的变化值s ?-

(可在0.05-0.2范围内选取)，那么就可以按下式选择载荷增量步长:

4.2收敛准则

对几何非线性有限元方程，没有直接解法，通常采用前述增量迭代法求解。如何保证迭代解的收敛性是首要问题。因此必须给出一个切实可行的收敛标准，不给出收敛标准，就无法中止迭代，收敛标准如取得不合适，就太不精确或太费机时，甚至导致计算失败。

在迭代计算过程中，首先选择一个初始解()0

u (即迭代初始解，或取为线性解，或取为某一特定解)，并由此依据迭代方法而产生一个解的序列()0

u、

()1

u使

u……()n

u、()2

在实际应用中，针对具体工程结构，可凭借已有的结构设计经验和对结构性质的了解，提供一个初始解，再由此构造出一个解的序列，并检查其收敛趋势。在确定()0

u后，就可以开始迭代过程，并在每一迭代终了，都要检查一下过程是否是发散的，或者己经收敛。

检查发散的准则可以有以下两种:

1).迭代次数n已经超过某一预定最大限值N( n＞ N)，即认为是发散的。

2).当迭代解()n

u越来越大，即出现:

时，亦认为已发散。

这两种准则各有其优缺点:如果过程发散得很快，第一种准则不能及早地发现，计算过程会使毫无希望的迭代继续下去，直至达到极限迭代次数为止;如果过程并非单调收敛，呈现某种振荡特性，则第二种准则会将它误判为发散，从而造成迭代过程及早地终止。为弥补这种不足，可以规定:在连续若干次迭代次数内，上式成立，过程认为是发散的。