染色知识总结全解
第一讲工作的意义
好的开始是成功的一半。
培养的是“技术型人才”
干好工作的基本条件
⑴态度：态度决定一切，敬业精神，不服输精神
⑵技能：靠勤奋培养，学习和积累。较真的精神！刨根问底！
⑶身体：“细节决定成败”
“简单的招式练到极致就是绝招”不可好高骛远！
第二讲颜色的形成及基本理论知识
染色是指用染料按一定的方法使纤维、纺织品获得颜色的加工过程。
一、若要看到一个物体的颜色，必须满足三个条件：
（1）由光源把物体照亮（漆黑的晚上，没有光，世界漆黑一片，没有色彩）
（2）物体把照射到其表面的一部分光散射出来
（3）物体散射出来的光投射到人的眼睛中（电脑屏幕在有点角度看，是看不见东西的）
二、光是一种电磁波，其具有波粒二象性。电磁波波长短的小于1nm，长的超过103km。一般来说，可见光的波长在380～780nm。可见光的波长在整个电磁波中，仅仅占据其中很小的一段。
三、主要设备
灯箱：（5万元）美国Gretag Mibeth
测处方的机子（20万元）美国Verivide 四、光源：
①D65：人造日光daylight
②TL84或TL83是欧亚地区典型办公室零售照明
③CWF冷白光，美国办公，柜窗
④A或F白炽灯
⑤uv：紫外光，用于检测荧光染料，增白剂
⑥H：水平日光，检测用光
注：色温（colo(u)r temperature）是表示光源光色的尺度，单位为K（开尔文）。光源的色温是通过对比它的色彩和理论的热黑体辐射体来确定的。热黑体辐射体与光源的色彩相匹配时的开尔文温度就是那个光源的色温，它直接和普朗克黑体辐射定律相联系。
一些常用光源的色温为：标准烛光为1930K（开尔文温度单位）；钨丝灯为2760-2900K；荧光灯为3000K；闪光灯为3800K；中午阳光为5400K；电子闪光灯为6000K；蓝天为12000-18000K。
详解：
D65 ：色温6500K-平均北方日自然日光(或北窗光),代替自然光对色, 适合普通要求,大部分客户均指定用D65对色；
TL84 ：三基色荧光光源：色温4000K-欧洲商店灯光，欧洲及日本客户通常会指定用TL84对色;
CWF ：色温4200K-美国商店或办公光源（或称冷白光），美国客户常用；
F 光源：色温2700K-亦称A 光源,为钨丝灯。家居、橱窗灯光,主要是与其他光源配合使用来鉴别产品是否存在同色异谱现象；
UV ：荧光或紫外光，用于检测使用荧光及增白染料的物品；控制物品白度（如比较特白织物之效果）
U30 ：美国商业荧光-色温3000K, 稀土商业荧光灯，用于商场照明。
五、表示颜色的三要素，三个基本特征：孟塞尔（Munsell）系统
①明度：（Light）表示物体表面的明亮程度。凡物体吸收的光越少，反射率越高，明度越高。非彩色中，白色的明度最高，黑色的明度最低；在彩色中，黄色的明度较高，蓝色的明度较低。深浅，黑色亮度最低低→白色亮度最高，其他彩色介于其间。
②色相：（Hue）又称色调，色彩互相区分的特性，表示颜色的种类；如红、橙、黄、绿、蓝、紫等。光谱色的色相由波长决定，其他颜色的色相由光谱分部决定。
③饱和度：彩度又称纯度或饱和度，（C）表示色彩本身的强弱或彩色的纯度。单一波长的光谱色，完全不含非彩色的成分，故彩度最高。在某色相的颜色中，非彩色的成分越少，则该颜色的彩度越高。色彩的纯度，鲜艳度，艳，脏，亮，污。
跳灯问题：（Metamerism）
染整用语,又称同色异谱,相同颜色的物体在更换光源后显示不
同颜色的现象,主要是因为光源波长的改变造成的。
所谓“等色”，肯定不是指一个样品，而是指两个样品，或者说两块布，在某一条件下（主要是某一光源下），看起来是等色的（无色差或小色差），而到了其他条件（即另外的某一光源下）又有较大色差了；其本质原因就是反射谱线（反射光谱）不同，所以又叫做“同色异谱”。
产生“跳灯”现象主要原因是，一是染料浓度变化，染料的结构的变化，染色的染料批号不同。染料之所以显现颜色，是因为染料吸收了照射光源中染料所显现出的互补色。两种染料在一个光源下是一个颜色，在另一个光源下就不是同一个颜色了。染料的吸收波峰比较狭窄的染料容易跳灯,所以选择吸收波峰比较宽的染料跳灯情况就比较好。用4拼色,甚至6拼色,这个原理就是增大颜色的吸收波峰的宽度。所以有时候用拼混的染料打色跳灯不严重就是这个道理.因为拼混的染料本身就是几个染料组成的,所以配方本身就是由3 X染料单色组成,增大了吸收波峰的宽度,减少了跳灯的可能性。二是原料的变化对不同染料吸尽力的变化，原料的批号不同吸收染料百分比就会不同, 染色布颜色变化也很大。
解决办法，一做染色配伍试验，选用光源配伍性好的染料染色，选用颜色和标样接近的色块，这样都分别与标样在测色配色仪器下测色，选跳灯最小的颜色配方；或者是不用常规的三原色拼色,你可以用嫩黄,翠蓝,酱红,棕色等这些颜色来拼色,可以缩小或解决跳灯现象。二是用相同批号的原料。
六、三原色
原色，又称为基色，即用以调配其他色彩的基本色。原色的色纯度最高，最纯净、最鲜艳。可以调配出绝大多数色彩，而其他颜色不能调配出三原色。
三原色通常分为两类，一类是色光三原色，另一类是颜料三原色，但在美术上又把红，黄，蓝定义为色彩三原色。
1、色光：（1）三原色光：红、绿、蓝；
（2）二原色光：
红光+绿光=黄光、绿光+蓝光=青光、蓝光+红光=紫光（3）消光：三原色光等量相加则无色光；
（4）增光：三原色光不等量相加则色光增强，更加明亮。
2、染色：（1）三原色：黄、红、蓝；
（2）混色：不等量三原色拼混在一起得到的效果；
等量三原色拼混在一起得到的灰色到黑色。
（3）二次色：橙、绿、紫；
橙 =黄 + 红；绿= 黄 + 蓝、；紫= 红 + 蓝。
（4）三次色：灰色系
橄榄（黄灰）、棕（红灰）、灰
橄榄= 橙 + 绿、棕= 紫 + 橙、灰= 绿 + 紫品红加少量黄可以调出大红（红=M100+Y100），而大红却无法调出品红；青加少量品红可以得到蓝（蓝=C100+M100），而蓝加绿得到的却是不鲜艳的青；用黄、品红、青三色能调配出更多的颜色，而且纯正并鲜艳。用青加黄调出的绿（绿=Y100+C100），比蓝加黄调
出的绿更加纯正与鲜艳，而后者调出的却较为灰暗；品红加青调出的紫是很纯正的（紫=C20+M80），而大红加蓝只能得到灰紫等等。此外，从调配其他颜色的情况来看，都是以黄、品红、青为其原色，色彩更为丰富、色光更为纯正而鲜艳。
颜色拼的次数越多，越脏
光的波长范围（nm）光的颜色补色（1nm=10-9m）770～605 红青
605～595 橙绿、蓝
595～580 黄蓝
580～560 黄、绿紫
560～500 绿紫红
500～490 青红
490～480 绿、蓝橙
480～435 蓝黄
435～390 紫黄绿
七、色差
看颜色，距离30～40㎝，45°角
目前常用与评价变色的公式有：CIELAB色差式、JPC79 色差式、CMC(1:1 )色差式和我国新推出的评价变色牢度所使用的公式等。
评价方法是，首先用选定的色差式计算被测试样前后的色差，然后根据计算出的色差值查相应的色差与牢度级别对照表，即可确定出被测试样的牢度级别。
Datacolour 计算机电子测色与配色，处理前后的布样经测试后，计算机将由操作者选定的色差公式自动完成色差的计算，并给出相应的各项指标。操作者只要读出总色差，根据应用的色差公式查色差值相应的色差与牢度级别对照表即可。在测色配色中，总色差与视觉存在以下关系：
一般在测色配色中认为只要△E＜1，就认为仿样与标样的颜色基本相同。
在DATACOLOUR中所用到的色差评价公式有ANLAB色差式、CIELab 色差式、HUNTER色差式。
ANLAB色差式的指标有：DE、Da、Db、Dc、Dh。
HUNTER色差式有指标:DE、Da、Db 。
CIELab 色差式有以下指标DE、Da、Db、Dc、Dh、Dl。CIELab 色差公式如下表示：
DE=[（Dl）2+（Da）2+（Db）2]1/2
式中：DE为总色差;
a,b 为色度指数，分别表示红绿度和黄蓝度；
L为明度值。
当仿样与标样之间有色差时，在Lab表色空间两点就不会重合，两点相比较得出色度差值Da,Db和明度的差值Dl:
Dl>0偏浅,Dl<0偏深;
Da>0偏红，Da<0偏绿；
Db>0偏黄, Db<0偏蓝。
色差值DE与视觉之间存在以下关系：当处理后的织物表面色光变化时，不能单凭DE判断织物的颜色变化，而必须根据L,a,b值的变化，综合分析颜色的变化情况。
第三讲纤维的分类及特性
一、纺织纤维
直径细到几微米或几十微米，长度比直径大千百倍的细长柔软物体一般都称作纤维。
长度达到数十微米以上，具有一定的强度，一定的可挠曲性和互相纠缠抱合性能和其他服用性能而可以生产纺织制品（如纱线、绳带、机织物、针织物等）的，叫做纺织纤维。
二、纺织纤维的分类
1、天然纤维：（1）纤维素纤维：①种子毛纤维：棉，木棉等；②韧皮纤维：亚麻，苎麻，大麻，黄麻等；③叶脉纤维：剑麻、蕉麻等；（2）蛋白质纤维：①兽皮纤维：羊毛，开司米羊毛，马海毛，羊驼毛，骆驼毛；②蚕丝纤维：蚕丝（家蚕，野蚕）、柞蚕丝等；③羽毛纤维：鸭毛，鹅毛等禽类羽毛。（3）矿物纤维：石棉。
2、化学纤维：
（1）再生纤维（regenerated fibers）：
①再生纤维素纤维：粘胶纤维、天丝纤维、铜氨纤维等；
②再生蛋白质纤维：大豆纤维、花生纤维等；
③醋酯纤维；
④特种有机化合物纤维：甲壳素纤维、海藻胶纤维等；
⑤无机纤维：玻璃纤维、金属纤维、碳纤维等。
（2）合成纤维（synthetic fibers）：
①聚烯烃纤维：聚乙烯纤维、聚丙烯纤维、聚氯乙烯纤维、聚乙烯缩甲醛纤维、聚丙烯腈纤维（腈纶）；
②聚酰胺类纤维（锦纶）：聚酰胺6、聚酰胺66、聚酰胺1010、芳香聚酰胺纤维等；
③聚酯类纤维（涤纶）：a.聚对苯二甲酸二乙二醇酯纤维（涤纶，PET纤维）b.聚对苯二甲酸二丙二醇酯纤维（PTT纤维）c.聚对苯二甲酸二丁二醇酯纤维（PBT纤维）d.聚萘二甲酸二乙二醇酯纤维（PEN 纤维）；聚对苯二甲酸乙二酯纤维等；
④其他类：聚甲醛纤维、聚氨酯纤维【聚胺酯（PU）纤维（氨
纶、Spandex）】、聚四氟乙烯纤维、芳纶等功能纤维和智能纤维、纳米纤维等。
三、详细介绍
1、棉花
棉纤维制品吸湿和透气性好，柔软而保暖。棉花大多是一年生植物。它是由棉花种子上滋生的表皮细胞发育而成的。棉纤维的生长可以分为伸长期、加厚期和转曲期三个阶段。
棉纤维是我国纺织工业的主要原料，它在纺织纤维中占很重要的地位。我国是世界上的主要产棉国之一，目前，我国的棉花产量已经进入世界前列。我国棉花种植几乎遍布全国。其中以黄河流域和长江流域为主，再加上西北内陆、辽河流域和华南、共五大棉区。
（1）按棉花的品种分类
Ⅰ.细绒棉：又称陆地棉。纤维线密度和长度中等，一般长度为25~35mm，线密度为2.12~1.56 dtex(4700~6400公支）左右，强力在4.5cN左右。我国目前种植的棉花大多属于此类。
Ⅱ.长绒棉：又称海岛棉。纤维细而长，一般长度在33mm以上，线密度在1.54~1.18dtex(6500~8500公支）左右，强力在4. 5cN以上。它的品质优良，主要用于编制细于10tex的优等棉纱。目前，我国种植较少，除新疆长绒棉以外，进口的主要有埃及棉、苏丹棉等。
此外，还有纤维粗短的粗绒棉，目前已趋淘汰。
（2）按棉花的初加工分类
从棉花中采得的是籽棉，无法直接进行纺织加工，必须先进行初加工，即将籽棉中的棉籽除去，得到皮棉。该初加工又称轧花。籽棉经轧花后，所得皮棉的重量占原来籽棉重量的百分率称衣分率。衣分率一般为30~40%。按初加工方法不同，棉花可分为锯齿棉和皮辊棉。
Ⅰ.锯齿棉：采用锯齿轧棉机加工得到的皮棉称锯齿棉。锯齿棉含杂、含短绒少，纤维长度较整齐，产量高。但纤维长度偏短，轧工疵点多。目前，细绒棉大都采用锯齿轧棉。
Ⅱ.皮辊棉：采用皮辊棉机加工得到的皮棉称皮辊棉。皮辊棉含杂、含短绒多，纤维长度整齐度差，产量低。但纤维长度操作小，轧工疵点少，但有黄根。皮轧棉适宜长绒棉、低级棉等。（3）棉纤维性质
Ⅰ.长度
棉纤维长度是指纤维伸直时两端间的距离，是棉纤维的重要物理性质之一。棉纤维的长度主要由棉花品种、生长条件、初加工等因素决定。棉纤维长度与成纱质量和纺纱工艺关系密切。棉纤维长度长，整齐度好，短绒少，则成纱强力高，条干均匀，纱线表面光洁，毛羽少。
棉纤维的长度是不均匀的，一般用主体长度、品质长度、均匀度、短绒率等指标来表示棉纤维的长度及分布。主体长度是指棉纤维中含量最多的纤维的长度。品质长度是指比主体长度长的那部分纤维的平均长度，它在纺纱工艺中，用来确定罗拉隔距。短绒率是指长度短于某一长度界限的纤维重量占纤维总量的百分率。一般当短绒率超过15%时，成纱强力和条干会明显变差。此外，还有手扯长度、跨距长度等长度指标。
Ⅱ.线密度
棉纤维的线密度是指纤维的粗细程度，是棉纤维的重要品质指标之一，它与棉纤维的成熟程度、强力大小密切相关。棉纤维线密度还是决定纺纱特数与成纱品质的主要因素之一，并与织物手感、光泽等有关。纤维较细，则成纱强力高，纱线条干好，可纺较细的纱。
Ⅲ.成熟度
棉纤维的成熟度是指纤维细胞壁的加厚程度，即棉纤维生长成熟的程度，它与纤维的各项物理性能密切相关。正常成熟的棉纤
维，截面粗、强度高、转曲多、弹性好、有丝光、纤维间抱合力大、成纱强力也高。所以，可以将成熟度看成棉纤维内在质量的一个综合性指标。
Ⅳ.强度和弹性
棉纤维的强度是纤维具有纺纱性能和使用价值的必要条件之一，纤维强度高，则成纱强度也高。棉纤维的强度常采用断裂强力和断裂长度表示。细绒棉的强力为3.5~4.5cN,断裂长度为21~25km;长绒棉的强力为4~6cN,断裂长度为30km.由于单根棉纤维的强力差异较大，所以一般测定棉束纤维强力，然后再换算成单纤维的强度指标。棉纤维的断裂伸长率为3%~7%，弹性较差。
Ⅴ.吸湿性
棉纤维是多孔性物质，且其纤维素大分子上存在许多亲水性基因（—OH），所以其吸湿性较好，一般大气条件下，棉纤维的回潮率可达8.5%左右。
Ⅵ.耐酸碱性
棉纤维耐无机酸能力弱。棉纤维对碱的抵抗能力较大，但会引起横向膨化。可利用稀碱溶液对棉布进行“丝光”。
此外，棉纤维中还夹着杂质和疵点，杂质有泥沙、树叶、铃壳等，疵点有棉结、索丝等。它们即影响纺织的用棉量，也影响加工和纱部质量，所以必须进行检验，严格控制。
棉纤维分级：
棉花标准分：国家标准、地方标准和企业标准。细绒白棉----国家标准(GB1103--1999) 长绒棉----地方标准（新疆）彩色棉----企业标准机采棉----企业标准下面重点介绍细绒白棉国家标准：（一）几个主要概念：1．主体品级：含有相邻品级的一批棉花中，所占比例80%以上的品级。 2．毛重：棉花用其包装物之和。3．净重：毛重扣掉包装物重量后的重量。 4．准重：净重按棉花标准含杂率折算后的重量。 5．公量重或公定重量：准重按棉花公定回潮率折算后的重量。 6．危害性杂物：指金属、砖头及异性纤维或色纤维。 7．短纤维率：长度短于16毫米及以及的纤维重量占纤维总重量的百分率。 8．棉结：棉花加工过程中，纤维纠缠在一起的死结。
（二）棉花质量主要指标 1．品级。品级是指棉花品质的级别。根据棉花的成熟程度、色泽特征和轧工质量，分为7个级，7级以下为级外。品级标准级是3级。主体品级：含有相邻品级的一批棉花中，所占比例80%及以上的品级。同一批棉花中，除了主体品级的比例达到80%及以上外，还不允许有跨主体品级的棉花。不符者应挑包整理或协商处理。（注：跨主体品级是指主体品级及其上下相邻品级之外的其它品级，即同一批棉花中，不能有与主体品级相差2个级及以上的棉花）。如：一批棉花中，
(1)若1级占10%，2级占80%，3级占10%，该批棉花的主体品级是2级。
（2）若1级占10%，2级占75%，3级占15%，则该批棉花无主体品
级（没有占到80%及以上的级别），需重新整理。
（3）若1级占90%，3级占10%，虽然主体品级1级的比例达90%，但有3级棉花存在，属跨主体品级1级的范围，该批棉花不符合国家标准的要求，需重新整理。
2．长度。棉花长度是指棉纤维伸直后的长度。国家标准规定：以1毫米为级距，采用“保证长度”的原则，分为7个级。分级如下：
25毫米，包括25.9毫米及以下；
26毫米，包括26.0—26.9毫米；
27毫米，包括27.0—27.9毫米；
28毫米，包括28.8—28.9毫米；
29毫米，包括29.0—29.9毫米；
30毫米，包括30.0—30.9毫米；
31毫米，包括31.0毫米及以上。
5级棉花长度在于27毫米时，按27毫米计；6、7级棉花长度均按25毫米计。长度标准级是28毫米。
3．马克隆值。这是反映棉花成熟程度和细度的综合指标，国家标准规定分为A、B、C三个级，标准级是B级。各级的范围
是：
A级：3.7-4.2；
B级：3.5-3.6，4.3-4.9；
C级：3.4及以下，5.0及以上。
4．回潮率。过去叫做含水率，为了与国际接轨，改叫回潮率。但这两个词的概念是不一样的。含水率是指棉花中所含的水分与湿纤维重量的百分比，而回潮率是指棉花中所含的水分与干纤维重量的百分比。国家标准规定，棉花公定回潮率为8.5%，回潮率最高限度为10.5%。 5．含杂率。国家标准规定，棉花标准含杂率：皮辊棉为3.0%，锯齿棉为2.5%。
6．危害性杂物要求棉花中严禁混入危害性杂物；棉花加工过程中，不得混入危害性杂物。 7．短纤维率限量规定：品级标准级以上（即1、2级）的棉花应小于、等于12%，最高不得超过18%；品级标准级及下一级（即3、4级）的棉花应小于、等于15%，最高不得超过20%；其它品级棉花不作要求。（注：之所以用标准级以上、以下，而不用1、2、3、4级来表示，主要是根据商检部门对外检验的需要所定）超量处理：品级标准级以上（即1、2级）棉花短纤维率大于12%小于或等于15%的，超出12%的部分，按超出百分率的一半相应扣减结算重量；短纤维率超过15%小于或等于18%的，超出12%的部分，按超出的百分率相应扣减结算重量。
品级标准级及下一级（即3、4级）棉花短纤维率大于15%小于或等于18%的，超出15%的部分，按超出百分率的一半相应扣减结算重量；短纤维率超过18%小于或等于20%的，超出15%的部分，按超出的百分率相应扣减结算重量。 8．棉结限量要求：锯齿棉标准级以上每百克不超过500粒，标准级每百克不超过700粒，标准级以下
不作要求。
超量处理：棉结超过限量要求的棉花，品级顺降一级。第7、第8这两项指标是国家今年新修订的标准，目前还未正式公布，正在征求WTO成员国意见，过了缓冲期，就正式实施。实施后可能产生的影响：由于棉花国家标准是强制性执行的标准，新出台的短纤维率和棉结两项指标，作为国家标准的一部分也将被强制执行，而外棉的短纤维率和棉结含量均高于这两项指标，商检部门在检验进口棉时，估计每批都要提出索赔要求；对国棉也是不利的：（1）有些轧花厂的皮棉清理机将不能用；（2）出具检验证书的棉花加工、经营企业，要增加相应的人员和仪器设备；（3）国家没有统一的“棉花短纤维率标准样品”和“原棉棉结标准样品”；（4）需要培训人员，统一操作方法，减少误差；（5）限制了新疆机采棉的发展。但也有有利的一面：（1）有利于农业部门改良品种；（2）有利于加工企业改进轧花工艺，杜绝人为的掺入回收棉、棉短绒的行为，提高原棉质量；（3）有利于纱厂降低成本，提高纺织产品质量和经济效益。 9．等级和标准级。等级是品级和长度的总称，如该批棉花等级是129，所表示的意思是：品级是1级，长度级是29毫米。人们常说“我的棉花等级是1级”，这是错的，正确的说法应是：我的棉花品级是1级。注意：千万不能把等级和品级混为一谈。我国棉花的标准等级328B，简称为标准级328B。《棉花质量检验证书》（以下简称《证书》）是棉花质量的凭证。新的棉花国家标准只对《证书》内容做了统一规定，但对《证书》格式未做统一规定。因此，《证书》的格式可分为
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A 专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注： 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。 如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b 第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a 注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O , 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P 2. 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ 点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ＝ρcosθ， ＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 2＝x2＋y2， θ＝y x（x≠0）. 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin : 高考数学：极坐标与参数方程知识点总结 极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！ 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表： 二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 第一部分：坐标系与参数方程 【考纲知识梳理】 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()() ?? ?>?='>?='0,0,:μμλλ?y y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图(1)所示,在平面取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于是点M 直角坐标()y x , 极坐标()θρ, 互化公式 ?? ?==θ ρθ ρsin cos y x () 0tan 2 22≠=+=x x y y x θρ 在一般情况下,由θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 曲线 图形 极坐标方程 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是 (),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公式 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 过极点,倾斜角为的直线 (1) (2) 过点,与极轴垂直的直线 过点,与极轴平行的直线 坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 三角函数和解三角形知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点及原点重合，角的始边及x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α 为第几象限 角．第一象限角的集合为 {}360 36090,k k k αα?<，则，，． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11 、 角 三 角 函 数 的基本关系：()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； z 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b < 极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换 一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实 数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确 定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 （二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数） （1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2 －4t 1t 2.解三角形知识点归纳总结
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