高考高中数学《数列》基础知识清单与典型例题

高考数列基础知识清单与典型例题

一、基础知识清单

1、观察数列写出n a

2、一般数列n a 与n S 法

1,1,2

n S n a n =?=?

≥?

3、一般数列通项的求法

①若11a =,1n n a a n +-=,可用 法,求得n a = ；有时也用于图象找规律. ②若11a =,

1

1+=+n n

a a n n ,可用 法,求得n a = ③若212323n a a a na n +++=，则n a =

④若123

n a a a a n ??=，则n a =

⑤若111

2,1n n

a a a +==-

，则2015a = ⑥若121n n a a +=+，则n a = 4、等差数列

①定义:当1n n a a +-= 时,数列{}n a 为等差数列,可用于等差数列的证明. ②通项:n a = =m a + ③前n 项和:n S = = ④设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2

b

a A += 可用于等差数列的证明(证11n n n n a a a a -+-=-).

⑤通项性质：若p q r s +=+,则 ；特别地,若r q p 2=+,则 ⑥前n 项和n S 的性质： m m m m m S S S S S 232,,--成等差数列. ⑦数列147,,a a a 成等差数列.

5、等比数列

①定义:当

1

n n

a a += 时,数列{}n a 为等比数列,可用于等比数列的证明. ②通项:n a = =?m a

③前n 项和,1,1

n q S q =??

=?

≠??

,用该公式时特别关注项数n 的考虑.

④ 特设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±=

⑤通项性质:若p q r s +=+,则 ，特别地, 若r q p 2=+,则 ⑥前n 项和n S 的性质（ 0≠m S ）： m m m m m S S S S S 232,,--成等比数列. ⑦数列147

,,a a a 成等比数列.

6、等差、等比数列公式规律研究

如：若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则21

21

m m m m a S b T --= 7、数列{}n a 的前n 项和n S 的求法 （1）公式法.

（2）分组求和法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和. （3）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和.

适用于数列11n n a a +????

???

和??（其中{}n a 等差），可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-?

1

d

=

（4）错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和.

（5）倒序相加.

（6）特殊的一些求和（比如分奇偶，分项数）.

二、典型例题

1、已知数列{}n a 的前n 项之和为12

++=n n S n ,求数列{}n a 的通项公式n a .

解：(1)当1n =时,1a = （2）当2n ≥时,1n n n a S S -=-= .

n S ?∴=??

2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(2-=n n a S ,则n a = . 解：(1)当1n =时,有11a S == ,从中解得1a = ;

(2)当2n ≥时,1n n n a S S -=-= ,化简得n a = 1n a -,知数列{}n a 为 数列,进而得通项n a = .

n a ∴=

3、 (1)已知数列{}

n a 中,

111,21

n n a a a +==+,令

1

+=n n a b .①证明:数列

{}

n b 是等比数列.

②求数列{}

n a 的通项.

(2)在数列}{n a 中，n

n n a a a 22,111+==+，令1

2-=

n n

n a b .①证明数列}{n b 是等差数列. ②求数列{}n a 的通项. （3）

4、在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d = n S =

5、在等差数列中已知1

2

d =

，a 7=8，则a 1 =_______________ 6、在等比数列}{n a 中，13

2

a =

，公比21-=q ，则_____=n a n S =

7、在等比数列}{n a 中，公比32

=q ，首项89，末项为3

1，则项数n =______

8、等差数列{}

n a ，

13248,12,a a a a +=+=则?n a =

9、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =？ 10、设等比数列{a n }的前n 项和为{S n }，若66a =,13630a a +=,则?n a = 11、等比数列{a n }中，若33a =,39S =，则?n a =

12、在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，则5a 的值为______

13{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则162log a =______ 14、等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为______ 15、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =______

16、设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，则这个数列的前5项和等于______ 17、在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =______ 18、在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=______

19、等差数列{}n a 的前m 项和为20，前2m 项和为70，则它的前3m 的和为______

20、已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +??

????

的前n 项和n

T 为？

22、已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且

1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式;(Ⅱ)求数列{}n n a b 前n 项和n T .

23、已知22()1x f x x =+，则111

()()()(1)(2)(3)(4)432

f f f f f f f ++++++=？

解：由2

222222

111()111111x x x f x f x x x x x ??

?????+=+=+= ?+++????

+ ???

∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422

f f f f f f f ???

?????????=++++++=

+++= ? ? ???????????????????

24、

（1）已知119,(1)(2)n n a s na n n n ==+-≥，令cos()2n

n n b a n π=+，求n b 的前n 项和.

（2）已知122n a n =-，求||n a 的前n 项和.