八年级数学全等三角形一对一辅导讲义

八数第二周辅导资料（TH）2016.09.10

辅导内容：全等三角形（1）

知识梳理：一、全等图形（概念及其性质）

二、全等三角形（概念及其性质）

三、全等三角形的判定

（1）、判定全等三角形的方法：

（2）、找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

（1）缺个角的条件：

1、公共角

2、对顶角

3、两全等三角形的对应角相等

4、等腰三角形

5、同角或等角的补角（余角）

6、等角加（减）等角

7、平行线 8、等于同一角的两个角相等

（2）缺条边的条件：

6、等腰三角形

5、角平分线性质

4、等量差

3、等量和

2、中点

1、公共边

基础测试：

1．如图（1），△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，则__________≌__________．

2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等

腰三角形全等的根据是__________．

3．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE=9 cm ，EF=12 cm 则AB=____________，

BC=____________，AC=____________．

图（1） 图（2） 图（3）

10、等于同一线段的两线段相等

9、两全等三角形的对应边相等 8、线段垂直平分线上的点

7、等面积法

如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________

如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________．不能确定两个三角形全等的条件是（）

A．三边对应相等B．两边及其夹角相等

C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等

7·△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若△ABC≌△DEF还需要（）

A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．AC=DF D．前三种情况都可以

8·在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′② BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（）A．具备①②④B．具备①②⑤C．具备①⑤⑥D．具备①②③

9、如图，点O是线段AB和线段CD的中点．

（1）求证：△AOD≌△BOC；

（2）求证：AD∥BC．

例题讲解：

例1、（2016?黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）

A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC

例2、（2016?同安区一模）如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．

变式训练：1、已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

（1）求证：BD=CE；

（2）求证：∠M=∠N．

例3、（2016?官渡区二模）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE．

变式训练：

如图，,,,

A F E B四点共线，AC CE

⊥，BD DF

⊥，AE BF

=，

???。

AC BD

=。求证：ACF BDE

例4、（2015秋?泉港区期中）已知：Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连结CD、EB．

（1）请找出图中其他的全等三角形；

（2）求证：CD=EB；

（3）求证：CF=EF．

例5、如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE 在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证

明．

变式训练：如图，△ABC中，D是BC的中点，AC∥BG，直线FG过点D交AC于F，交BG于G 点，DE⊥GF，交AB于点E，连结GE、EF．

（1）求证：BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

例6、如图，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．

求证：BC=AB+CD．

反馈检测：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等

C. 两锐角对应相等

D. 斜边相等

2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ?的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA =

B. 4AB =，3BC =，30A ∠=o

C. 60C ∠=o

，45B ∠=o

，4AB =

D. 90C ∠=o

，6AB =

3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使ABC AED ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

4. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=o

，则D ∠等于( )

A. 67o

B. 46o

C. 23o

D. 无法确定

5. 如图，在ABC ?中，90C ∠=o

，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，

且:2:3CD AD =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；

6.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；

7. 如图，ABC ?为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。求AQN ∠的度数。

8. 如图，90ACB ∠=o

，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。求证：BF CE =。

9. 如图，已知AE ⊥AD ，AF ⊥AB ，AF=AB ，AE=AD=BC ，AD//BC. 求证：（1）AC=EF ，（2）AC ⊥EF

10. 已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.

11、已知：∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，证明：AD=DE+BE．

12、如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC+∠ADC=180°。

求证：①DC=BC；②AD+AB=AC．

参考答案：1．△ADB △ADC 2．ASA（或AAS）SSS 3．9 cm 12 cm 11 cm 4．∠ACB=∠DBC或AB=CD

△ACB AAS 6·D 7·D 8·A

参考答案

一、选择题：

1. A

2. C

3. B

4. C

二、填空题：

5. 4

6. 90o

三、解答题：

7. 解：Q ABC ?为等边三角形

∴AB BC =，60ABC C ∠=∠=o

在ABM ?与BCN ?中

Q AB BC ABC C BM CN =??

∠=∠??=? ∴ABM BCN ???(SAS) ∴NBC BAM ∠=∠

∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=o 。

8. 证明：Q AE CD ⊥，BF CD ⊥

∴90F AEC ∠=∠=o

∴90ACE CAE ∠+∠=o Q 90ACB ∠=o

∴90ACE BCF ∠+∠=o ∴CAE BCF ∠=∠

在ACE ?与CBF ?中

Q F AEC CAE BCF AC BC ∠=∠??

∠=∠??=? ∴ACE CBF ???(AAS) ∴BF CE =。

9.证明：

（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°

又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°，∠3=∠4=90°

∴∠DAB＋∠EAF=180°

∴∠B=∠EAF

在△ABC和△FAE中

∴△ABC≌△FAE（SAS）∴AC=EF

（2）∵△AB C≌△FAE

∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F

∴∠2=∠3又∵∠3=90°∴∠2=90°∴AG⊥EF，即AC⊥EF

10.

证明：延长BA、CE交于点F.

∵∠3=90°，∴∠5＋∠F=90°

又∵BE⊥CE，∴∠4=90°，∠7=90°∴∠1＋∠F=90°，∠6=180°－90°=90°∴∠1=∠5

在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA）

∴BD=FC

在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）

∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2E C