厦门理工学院 线性代数第三章向量与空间参考答案

线性代数 第三章向量

n维向量部分 这部分逻辑性非常强，考生必须要相当熟悉教材中的重要定理。从历年考试情况来看，线性相（无）关、线性表出、极大无关组、向量组的秩及等价、向量空间（数一）等内容是考试经常会涉及到的内容。常出现在选择题中。 回顾： n维向量的运算 1．定义：设　，，k为数域Ｐ中的数，定义 ,称为向量与的和； ,称为向量与数k的数量乘积． 2．向量运算的基本性质 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8），9），， 10）若，则即，若，则或 1 向量组的秩、极大无关组的相关题型 知识点 极大线性无关组定义：设为中的一个向量组，它的一个部分组若满足 i) 线性无关 ii)　对任意的，可经线性表出 则称为向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）． 向量组的秩 定义：向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩．性质： 1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同． 一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数．2）等价向量组必有相同的秩．（注意：反之不然．） 3）若向量组可经向量组线性表出，则 秩秩． 例1 设向量组 （1）求此向量组的秩； （2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。

例2 选择题 若向量组的秩为 r,则（） （A）必定r秩（向量组II） （C）秩（向量组I）<秩（向量组II） （D）不能确定秩（向量组I）与秩（向量组II）的大小关系 2 向量组的线性相关性的判定或根据向量相关性求参数 知识点：1对向量组，设 若如果存在不全为零的数，使上式成立，则向量组线性相关。 若当且仅当上式才成立，则线性无关。 2 设向量组I：可由向量组II：线性表现，若 r>s , 则向量组I线性相关。（注意它的逆否定理） 3 利用矩阵的秩或行列式 设有 s个n维列向量组，设A=()， 则当秩A=s时，线性无关；当秩A

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课后训

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 课后训练 1．设O(0,0,0)，M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若＝，则点B的坐标为( ) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 2．设l1的方向向量为a＝(2,4,5)，l2的方向向量为b＝(3，x,3y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( ) A．6,15 B．6， C．3,15 D．3， 3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( ) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1 4．已知直线l的方向向量为v＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－4,5,2)，则l与α的关系是( ) A．l⊥α B．l∥α C．lα D．l∥α或lα 5．已知平面α过点A(1，－1,2)，法向量有n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( ) A．(2,3,3) B．(3，－3,4) C．(－1,1,0) D．(－2,0,1) 6．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，＝α＋β，那么α＋β ＝__________. 7．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y ＝__________，z＝__________. 8．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则三角形ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是__________． 9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点，求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C. 10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B 上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1. 参考答案 1.答案：B 由＝得(5，－1,2)＝(x－4，y－2，z＋1)，可得点B(9,1,1)． 2.答案：B a∥b，故x，y的值分别是6，.

高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题

高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，

第三章 空间向量与立体几何(B卷)

第三章 空间向量与立体几何(B) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC → 为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、 C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面 2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45° 3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC → 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋x AB →＋y AD → ，则x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝1，y ＝1 2 C ．x ＝12，y ＝12 D ．x ＝12，y ＝1 3 5．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD → ＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP → 是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD → .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD → ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝??? ?－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－23612 11．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB → 取得最小值时，点Q 的坐标为( )

线性代数教案-向量与向量空间

线性代数教学教案 第3章 向量与向量空间 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质 教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容 一． 维向量的概念 1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量. 2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算 1．定义： （1）分量全为0的向量称为零向量； （2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等； （4）对于，，称为与的和； （5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为. 2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有： n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12?????????????? n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---T n a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---T n n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,

高中数学典型例题解析平面向量与空间向量

高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一

第三章 空间向量与立体几何 导学案

中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：https://www.360docs.net/doc/e59846360.html, §3.1.1空间向量及其运算 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 8486 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ， 和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长 度和方向规定如下： (1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与A. ； 当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为 两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， OB = ， AB = ， 试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,. a b a b +- a .b 2. 点C 在线段AB 上，且5 2 AC CB =,则 AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ． ※ 典型例题 例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；1'2 AB AD CC ++ ⑶ 1(')2 AB AD AA ++ ⑷． 变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和 'DB . 小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：

高中数学典型例题解析汇报平面向量与空间向量

实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。 二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同； 当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反； 当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a?

第三章空间向量与立体几何

第三章空间向量与立体几何 § 3.1空间向量及其运算 § 3.1.1空间向量的线性运算 一、空间向量的概念 1、空间向量：空间中既有______ 又有_______ 的量 __ 」 A ? B T彳 2、空间向量的表示：AB = a （）（） 3、零向量：________________________________ 记作： _______ 4、向量的模（长度）：________________________________ 记作：___________ 5、向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线 6、相等向量：_____________________________________________ 7、共线向量（平行向量）：基线互相________ 或______________ 记作：______________ 规定：零向量与任意向量平行。 二、空间向量的线性运算已知向量a，b 1、加法 2、减法 4 4^ T T T a - b 二a （-b） =0A AB 二_________ 二________ 屮寸 T T 即a -b = OA -OC二 __________ （三角形法则） 3、数乘 （1）---------------- | a ■+4 i，扌（2）__________________________________ ■ ^0 时，a 与a 方向 _____ ；' =0 时，a=；' :：0 时，a 与a 方 向______ ； 4 4 注：a//a 三、空间向量运算律 的向量叫做共线向量或平行向量。 a b =0A AB a b =0A OB ________ （三角形法则） _______ 平行四边形形法则） 注：若M为LOAB的边AB的中点，则OA 0B-

第三章 向量空间

第三章 向量空间 习题一 向量空间 一、证明集合 ?????? ==∑=-n i i n n x x x x x V 11210) ,,( 是一个向量空间，并求它的一组基及其 维数. 二、在四维向量空间R 4内，证明 α1=(1，1，1，1)，α2=(1，1，-1，-1)， α3=(1，-1，1，-1)，α4=(1，-1，-1，1) 构成一组基，并求向量β=(1，2，1，1)在这组基下的坐标． 三、设4 R 中的两个向量T )1,0,2,1(1=α,T )1,1,1,1(2-=α线性无关，试将其扩充为4 R 的一组基. 四、在线性空间V 4中，证明下列两组向量各构成一组基． α1=(1，2，-1，0)，α2=(1，-1，1，1)， α3=(-1，2，1，1)，α4=(-1，-1，0， 1)； β1=(2，1，0，1)，β2=(0，1，2，2)， β3=(-2，1，1，2)，β4=(1，3，1，2) 并求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，又如向量γ在基α1，α2，α3，α4下的坐标为(1，0，0，0)，求γ在基β1，β2，β3，β4下的坐标．

习题二 向量的内积 一、设n 维实向量βα,的内积组成的行列式),(),() ,(),(),(ββαββαααβα= G ，则0),(=βαG 的 充要条件是βα,线性相关. 二、利用施密特的正交化方法，试由向量组α1=????? ??110，α2=????? ??011，α3=????? ??101构造出一组标准正 交基． 三、已知向量α=(1，2，-1，1)、β=(2，3，1，-1)、γ=(-1，-1，-2，2)，求α、β、γ的长度，每个向量的内积及两个向量间的夹角．(指通常意义下的内积)． 四、用施密特正交化方法将线性无关的向量组n ααα,,,21 化为正交向量组n βββ ,,21，试问这个向量组是否唯一，并证明你的结论.

第三章 空间向量与立体几何

第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下． ［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？ ［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b ， -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ． ［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

空间向量和立体几何典型例题

空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B ． 3 C ．3 D ．2 3 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11AO AB =另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为1111 33 OA AA AB AC =- -,11AB AB AA =+ 2111126 ,,333 OA AB a OA AB ?= == 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为 111 12 3 OA AB AO AB ?= . 二、填空题： 1 ．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11 (),22 AN AC AB EM AC AE =+=-, 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=1 2 故EM AN ，所成角的余弦值 1 6 AN EM AN EM ?= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,

线性代数第三章向量与向量空间

线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 维向量 第二节 向量间的线性关系 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有无穷多解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===ααα 则T )1,0,1(21-=-αα T )2,1,0(23321=-+ααα 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则(1,2,3,4)T α= 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2

三．计算题： 1． 设向量()T k 1,1,11+=α，T k ),,(1112+=α，T k ),,(1113+=α，T k k ),,(21=β，试问当k 为 何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一 （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一 （3）β不能由321ααα,,线性表示 (向量组的秩ppt) 21123 31 211131********* 100(3)1 1 1 3 1 1 0r r c c c r r k k k k k k k k k k k k k -++-++++=++= =++++ 2． 设向量T ),,,(32011=α，T ),5,3,1,1(2=α，T a ),,,(12113+-=α，T a ),,,(84214+=α T b ),,,(5311+=β，试问当b a ,为何值时，（1）β不能由4321αααα,,,线性表示 （2）β有4321αααα,,,的唯一线性表达式并写出表达式。 31413212421 111 11111 1201121011212324301 2133 518502 252111111 02100112101121001 000102000100 0010r r a b a b r r a a r r r r a b a b r r a a ???? ? ? --- ? ? ? ? +++- ? ? +-+???? -???? ? ? --- ? ?- ? ++- ? ++???? ? ? (1) a= -1,b ≠0.

第三章空间向量与立体几何

第三章空间向量与立体几何综合测试题 时间：120分钟 满分：150分 学号： 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ） A. ()()1,0,0,2,0,0a n ==- B. ()()1,3,5,1,0,1a n == C. ()()0,2,1,1,0,1a n ==-- D. ()()1,1,3,0,3,1a n =-= 2.已知向量(0,2,1),(1,1,2),==--a b 则a b 与的夹角为 （ ） A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 3．已知向量AM ＝(0，1，21)，＝(－1，2 1 ，1)，则平面AMN 的一个法向量是( ) A ．(－3，－2,4) B ．(3,2，－4) C ．(－3，－2，－4) D ．(－3,2，－4) 4．若{} ,,a b c 构成空间的一组基底，则( ) A. ,,b c b c a +-不共面 B. ,,2b c b c b +-不共面 C. ,,b c a a b c +++不共面 D. ,2,a c a c c +-不共面 5．在四面体OABC 中，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 的中点，若OG ????? =1 3 OA ????? +x 4 OB ????? +x 4 OC ????? ，则使G 与M 、N 共线的x 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 4 3 6.如图1，在三棱锥A -BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB=DC ，E 为BC 中点，则AE ????? ·BC ????? 等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7.若a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3），则 11b a ＝22 b a ＝3 3b a 是a ∥b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 8.已知a =（-2，1，3），b ? =（-1，2，1），若a ⊥(a -λb ? )，则实数λ的值为（ ） A.-2 B.-143 C.14 5 D.2 9.在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，平面OAB 的法向量为n =（2，-2,1），O 为坐标原点．已知P （﹣1，﹣3，8），则 P 到平面OAB 的距离等于（ ） A ．4 B ．2 C ．3 D ．1 10.把矩形ABCD 沿对角线BD 折成二面角A -BD -C ，若AB=1，3,7 2 AC =,则平面ABD 与平面BCD 夹角为 （ ） A 030 B 060 C 090 D 0120

第三章 空间向量与立体几何2

第三章综合素质检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．下列说法中不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行 C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D [解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确． 2．在下列条件中，使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 [答案] C [解析] ∵点M 在平面ABC 内，∴对空间任一点O ，有OM →＝xOA → ＋yAB →＋zAC → 且x ＋y ＋z ＝1，故A 、B 、D 均不对． 3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则

向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．0° [答案] A [解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )． 4．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC → ，则λ等于( ) A ．28 B ．－28 C ．14 D ．－14 [答案] D [解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC → ＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D. 5．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2 －e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·(12b )等于( ) A ．15 B ．3 C ．－3 D ．5 [答案] B [解析] (6a )·(1 2b )＝3a ·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2 ＝3. 6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB → ＝a ，

线性代数向量空间自测题(附答案)

《第四章 向量空间》 自测题 （75分钟） 一、选择、填空（20分，每小题4分） 1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。 （A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，分量是整数的所有向量； （C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量； （D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。 2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令 414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=， 则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。 3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。 4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即?? ? ???????∈???? ??=R a a a a a W ij 2212 1211，则它的维数为 ，一组基为 。 5．若A=????? ? ? ?????? ?? ? - 10 0021021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，= 。 二、计算题（60分） 1.（15分）设R 3的两组基为： T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ， 向量α=（2，3，3）T （1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。 （2）求α关于这两组基的坐标。 （3）将321,,βββ化为一组标准正交基。 2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，

自考线性代数第三章向量空间习题

第三章 向量空间 一、单项选择题 1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关 D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关 2．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法 惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ） A.α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α2，α3，α4线性相关 5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量 D ．s ααα,,,21 全是零向量 6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32 7.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 8.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 9.下列命题中错误．． 的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案

第三章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 §3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算 1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0； ②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。 A .1 B .2 C .3 D .4 2.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( ) A .（ 41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，3 2 ） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则 4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则 EF =_____________. 5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值. §3.1.3空间向量的数量积运算 1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A . 1010 B . 15 C .31010 D . 3 5 2．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ?=， _ _ D _ A _ P _ N _ B _ M

线性代数 向量空间

第五节 向量空间 分布图示 ★ 向量空间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 子空间 ★ 例6 ★ 例7 ★ 向量空间的基与维数 ★ 例8 ★ 例9 ★ 向量在基下的坐标 ★ 例10 ★ 关于集合的坐标系的注记 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5 内容要点 一、向量空间与子空间 定义1 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即 (1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间. 记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间. 注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间; 2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1=n 时, 一维向量空间1R 表示数轴. 3>n 时, n R 没有直观的几何形象. 定义2 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ?, 则称1V 是2V 的子空间. 二、向量空间的基与维数 定义3 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足 (1) r αα,,1 线性无关; (2) V 中任一向量都可由r αα,,1 线性表示. 则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间. 注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基; (2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩; (3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为 }.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ 此时, V 又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间. 故数组r λλ,,1 称为向量x 在基r αα,,1 中的坐标. 注: 如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为 ,2211r r a a a x λλλ+++= 数组r λλλ,,,21 称为向量x 在基r a a a ,,,21 中的坐标.