()0,(+∞--∞a
Y .
(2)432
113)42
(g a x x x x =++有且仅有3个极值点
?223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根,则0x =或210x ax ++=,2a <-
方程2
10x ax ++=有两个非零实根,所以2
40,a ?=->
2a ∴<-或2a >
而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点
其它例题:
1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R 上的函数3
2
()2f x ax ax b =-+)(0>a 在区间
[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11.
(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;
(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围. 解:(Ⅰ)32'2
()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-Q 令'
()f x =0,得[]124
0,2,13
x x ==
?-
因此)0(f 必为最大值,∴50=)(f 因此5=b , (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-Q ,
即11516)2(-=+-=-a f ,∴1=a ,∴ .52(2
3+-=x x x f )
(Ⅱ)∵x x x f 43)(2
-=',∴0(≤+'tx x f )
等价于0432≤+-tx x x ,
令x x xt t g 43)(2
-+=,则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时,求实数x 的取值范围,
为此只需???≤≤-0)10
)1((g g ,即?
??≤-≤-005322x x x x ,
解得10≤≤x ,所以所求实数x 的取值范围是[0,1]. 2、(根分布与线性规划例子)
(1)已知函数322
()3
f x x ax bx c =+++
(Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求)(x f 的解析式;
(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平面区域
为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.
解: (Ⅰ). 由2
()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,
∴ 220a b ++= ∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 1
2
a = ∴ 32
21()3132
f x x x x =
+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0
f f f '>??'?'>?
即 0
220480b a b a b >??
++?++>? 令(,
)M x y , 则 2
1
x b y a =-??=+?
∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20
220460
x y x y x +>??++?++>?
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ?=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC ABED S S ?=
四边形 ∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 0k >, 1S =四边形DEGF
由 220
y kx y x =??
++=? 得点F 的横坐标为: 2
21F x k =-+
由 460y kx y x =??
++=?
得点G 的横坐标为: 6
41G x k =-+
∴OGE OFD S S S ??=-四边形DEGF 61311222214121
k k =??
-?+?=+即 216250k k +-=
解得: 1
2
k =
或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 12y x =
综上,所求直线方程为: 0x =或1
2
y x = .…………….………….12分
(Ⅱ) 解法二: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0
f f f '>??'?'>?
即 0220480b a b a b >??
++?++>? 令(,
)M x y , 则 2
1
x b y a =-??
=+? ∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20
220460
x y x y x +>??++?++>?
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ?=
同时DE 为△ABC 的中位线, 13DEC ABED
S S ?=
四边形 ∴所求一条直线L 的方程为: 0x = 另一种情况由于直线BO 方程为: 1
2
y x =
, 设直线BO 与AC 交于H , 由 12
220y x
y x ?
=???++=?
得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ?=, 111
2222
DEC
S ?=??=, 11222211122H ABO AOH S S S ???=-=??-??=AB
∴ 所求直线方程为: 0x = 或1
2
y x =
3、(根的个数问题)已知函数3
2
f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。
(Ⅰ)求c d 、的值;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=,求函数f
( x )的解析式;
(Ⅲ)若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根,求实数a 的取值范围。 解:由题知:2
f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
(Ⅰ)由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且()1f '= 0
得332c 320d a b a b =??
++--=????
?==0
3
c d (Ⅱ)依题意
()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5
124323
846435
a b a b a b a b +--=-??
+--+=? 解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x 3
– 6x 2
+ 9x + 3
(Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a >0 )
()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由()5f '= 0?b = – 9a
①
若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根,当且仅当 满足f ( 5 )<8a <f ( 1 ) ②
由① ② 得 – 25a + 3<8a <7a + 3?11
1
<a <3
所以 当
11
1
<a <3时,方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12分 4、(根的个数问题)已知函数321
()1()3
f x x ax x a R =--+∈
(1)若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值,且122x x -=,求a 的值及()f x 的单调区间; (2)若12a <
,讨论曲线()f x 与215
()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数. 解:(1)2
()21f'x x ax =--
12122,1x x a x x ∴+=?=-
x
2-
(2,1)-
1
()x ?'
-
()x ?
982
a --
a
122x x ∴-===
0a ∴=………………………………………………………………………2分
22()211f x x ax x '=--=-
令()0f x '>得1,1x x <->或 令()0f x '<得11x -<<
∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-,(1,)+∞,单调递减区间为(1,1)-…………5分 (2)由题()()f x g x =得
3221151(21)326
x ax x x a x --+=-++ 即32111
()20326
x a x ax -+++= 令32111
()()2(21)326
x x a x ax x ?=-+++-≤≤……………………6分
2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ?'∴=-++=--
令()0x ?'=得2x a =或1x =……………………………………………7分
12
a <
Q 当22a ≤-即1a ≤-时
此时,9
802
a --
>,0a <,有一个交点;…………………………9分 当22a ≥-即1
1a -<<时,
2(32)036
a a -+>Q
, ∴当9802a -->即9
116a -<<-时,有一个交点;
当98002a a --≤≤,且即9
016a -
≤≤时,有两个交点; 当102a <<时,9
802
a --<,有一个交点.………………………13分
综上可知,当916a <-或1
02
a <<时,有一个交点; 当9
016
a -
≤≤时,有两个交点.…………………………………14分 5、(简单切线问题)已知函数23)(a
x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为510
2,函数
23()()3bx
g x f x a
=-
+. (Ⅰ) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式;
(Ⅱ) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42
x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围.
函数中任意性和存在性问题探究
高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究
一、相关结论:
结论1:1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>;【如图一】 结论2:1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>;【如图二】 结论3:1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>;【如图三】 结论4:1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>;【如图四】
结论5:1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空;【如图五】
【例题1】:已知两个函数
232
()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围; (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围;
(3) 若对
12,[3,3]
x x ?∈-,都有
12()()
f x
g x ≤成立,求实数k 的取值范围;
解:(1)设
32
()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,(1)中的问题可转化为:[3,3]x ∈-时,()0h x ≥恒成立,即
min [()]0
h x ≥。
'2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+;
当x 变化时,'
(),()h x h x 的变化情况列表如下:
因为(1)7,(2)20h k h k -=+=-,所以,由上表可知min [()]45
h x k =-,故k-45≥0,得k ≥45,即k ∈[45,+
∞).
小结:①对于闭区间I ,不等式f(x)k 对x ∈I 时恒成立?[f(x)]min>k, x ∈I.
②此题常见的错误解法:由[f(x)]max ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max ≤[g(x)]min ”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价.
(2)根据题意可知,(2)中的问题等价于h(x)= g(x)-f(x) ≥0在x ∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max ≥0. 由(1)可知[h(x)]max= k+7,因此k+7≥0,即k ∈[7,+∞).
(3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(x)]max ≤[g(x)]min ,x ∈[-3,3]. 由二次函数的图像和性质可得, x ∈[-3,3]时, [f(x)]max=120-k. 仿照(1),利用导数的方法可求得x ∈[-3,3]时, [g(x)]min=-21. 由120-k ≥-21得k ≥141,即k ∈[141,+∞). 说明:这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.
从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“?x ”恒成立,还是“?x ”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万
不要稀里糊涂的去猜.. 二、相关类型题: 〈一〉、"()"a f x ≥型;
形如"()","()"a f x a f x ≥≤型不等式,是恒成立问题中最基本的类型,它的理论基础是“()a f x ≥在
x D ?∈上恒成立,则max ()();a f x x D ≥∈()a f x ≤在x ∈D 上恒成立,则min ()();a f x x D ≤∈”.许多复杂的恒
成立问题最终都可归结到这一类型.
例1 :已知二次函数2
()f x ax x =+,若?[0,1]x ∈时,恒有|()|1f x ≤,求实数a 的取值范围. 解:Q |()|1f x ≤,∴2
11ax x -≤+≤;即2
11x ax x --≤≤-; 当0x =时,不等式显然成立, ∴a ∈R. 当01x <≤时,由211x ax x --≤≤-得:221111a x x x x --≤≤-,而min 211
()0x x
-=
. ∴0a ≤. 又∵max 211
()2x x
-
-=-,∴2,20a a ≥-∴-≤≤,综上得a 的范围是[2,0]a ∈-。 〈二〉、12"()()()"f x f x f x ≤≤型 例2 已知函数()2sin()2
5
x f x ππ
=+,若对?x R ∈,都有12"()()()"f x f x f x ≤≤成立,则12||x x -的最小
值为____.
解 ∵对任意x ∈R ,不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立, ∴12(),()f x f x 分别是()f x 的最小值和最大值.
对于函数sin y x =,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π,即半个周期.
又函数()2sin(
)25x f x ππ
=+的周期为4,∴12||x x -的最小值为2. 〈三〉、.1212()()
"()"22
x x f x f x f ++>型
例3: (2005湖北)在2
22,log 2,,cos y x y x y x y x ====这四个函数中,当1201x x <<<时,使
1212()()
"(
)"22
x x f x f x f ++>恒成立的函数的个数是( ) 解:本题实质就是考察函数的凸凹性,即满足条件1212()()
"()"22
x x f x f x f ++>的函数,应是凸函数的性质,画草图即知2log 2y x =符合题意;
〈四〉、.1212
()()
"
0"f x f x x x ->-型
例4 已知函数()f x 定义域为[1,1]-,(1)1f =,若,[1,1]m n ∈-,0m n +≠时,都有()()
"0"f m f n m n
->-,
若2
()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-,[1,1]a ∈-恒成立,求实数t 取值范围. 解:任取1211x x -≤<≤,则12121212
()()
()()()f x f x f x f x x x x x --=
--,由已知
1212()()0f x f x x x ->-,又120x x -<,∴12()()0f x f x -∵(1)1f =,∴[1,1]x ∈-,恒有()1f x ≤;
∴要使2
()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-,[1,1]a ∈-恒成立,即要2
211t at -+≥恒成立,
故2
20t at -≥恒成立,令2
()2g a at t =-+,只须(1)0g -≥且(1)0g ≥, 解得2t ≤-或0t =或2t ≥。 评注: 形如不等式1212()()"
0"f x f x x x ->-或1212
()()
"0"f x f x x x -<-恒成立,实际上是函数的单调性的另一种表
现形式,在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息. 〈五〉、."()()"f x g x <型: 例5: 已知1
()lg(1)2
f x x =+,()lg(2)
g x x t =+,若当[0,1]x ∈时,()()f x g x ≤)恒成立,求实数t 的取值范围.
解:()()f x g x ≤在[0,1]x ∈恒成立,
20x t -≤在[0,1]x ∈
恒成立2x t ?-在[0,1]上的
最大值小于或等于零.
令()2F x x t =
-
,'()F x =
,∵[0,1]x ∈
∴'
()0F x <,即()F x 在[0,1]上单调递减,F(0)是最大值. ∴()(0)10f x F t ≤=-≤,即1t ≥。 〈六〉、12"()()"f x g x <型 例6:已知函数32149()3,()332
x c
f x x x x
g x +=--+=-,若对任意12,[2,2]x x ∈-,都有12()()f x g x <,求c 的范围.
解:因为对任意的12,[2,2]x x ∈-,都有12()()f x g x <成立,
∴max min [()][()]f x g x <,∵'
2
()23f x x x =--,令'
()0f x >得3,1x x ><-x >3或x <-1;'
()0f x <得
13x -<<;∴()f x 在[2,1]--为增函数,在[1,2]-为减函数.
∵(1)3,(2)6f f -==-,∴max [()]3,f x =.∴1832
c
+<-,∴24c <-。 〈七〉、12"|()()|"f x f x t <<(t 为常数)型;
例7 :已知函数4
3
()2f x x x =-+,则对任意121,[,2]2
t t ∈-(12t t <)都有
12|()()|____f x f x -≤恒成立,当且仅当1t =____,2t =____时取等号.
解:因为12max min |()()||[()][()]|f x f x f x f x -≤-恒成立, 由4
3
1()2,[,2]2f x x x x =-+∈-,易求得max 327[()]()216f x f ==
,min 15
[()]()216
f x f =-=-,∴12|()()|2f x f x -≤。
例8 :已知函数()y f x =满足:(1)定义域为[1,1]-;(2)方程()0f x =至少有两个实根1-和1;(3)过()f x 图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1. (1)证明|(0)|1f ≤|;
(2)证明:对任意12,[1,1]x x ∈-,都有12|()()|1f x f x -≤. 证明 (1)略;
(2)由条件(2)知(1)(1)0f f -==,
不妨设1211x x -≤≤≤,由(3)知121221|()()|||f x f x x x x x -≤-=-,
又∵121212|()()||()||()||()(1)||()(1)|f x f x f x f x f x f f x f -≤+=--+-
122112112()2|()()|x x x x f x f x ≤++-=--≤--;∴12|()()|1f x f x -≤
〈八〉、1212"|()()|||"f x f x x x -≤-型
例9: 已知函数3
()f x x ax b =++,对于1212,(0,)3
x x x x ∈≠时总有1212|()()|||f x f x x x -<-成立,求实数a 的范围.
解 由3
()f x x ax b =++,得'
2
()3f x x a =+,
当(0,
3
x ∈时,'()1a f x a <<+,∵1212|()()|||f x f x x x -<-, ∴1212()()
|
|1f x f x x x -<-, ∴11011
a a a ≥-??-≤≤?+≤?
评注 由导数的几何意义知道,函数()y f x =图像上任意两点1122(,),(,)P x y Q x y 连线的斜率
21
1221
()y y k x x x x -=
≠-的取值范围,就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围,利用这个结论,可以解决
形如1212|()()|||f x f x m x x -≤-|或1212|()()|||f x f x m x x -≥-(m >0)型的不等式恒成立问题.
考前寄语:①先易后难,先熟后生;②一慢一快:审题要慢,做题要快;③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做;④我易人易我不大意,我难人难我不畏难;⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对;⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分;⑦对数学解题有困难的考生的建议:立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.
高三导数压轴题题型归纳
导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-1 0+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x -1 x +m = e x x +1-1 x +1 , 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1 x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1 x +22>0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -13 2 <0,g ′(0)=1-1 2>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-1 2,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1 t +2=0????-12g ′(t )=0,g (x )单调递增; 所以g (x )min =g (t )=e t -ln(t +2)=1 t +2+t = 1+t 2 t +2>0, 当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2), 所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-(2012全国新课标) (1)求)(x f 的解析式及单调区间; (2)若b ax x x f ++≥ 2 2 1)(,求b a )1(+的最大值。 (1)121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得:(0)1f =
最全导数解答题方法归纳总结
导数解答题归纳总结 19.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R . (I )若函数()f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (II )若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...,求a 的取值范围. 解析 (Ⅰ)由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又?? ?-=+-='==3 )2()0(0 )0(a a f b f ,解得0=b ,3-=a 或1=a (Ⅱ)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调,等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点,根据零点存在定理,有 0)1()1(<'-'f f , 即:0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得:0)1)(1)(5(2 <-++a a a ,解得15-<<-a 20.(2009北京文)(本小题共14分) 设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能 力. (Ⅰ)()' 233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切, ∴()()()'20340 4,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=????????=-+==????? (Ⅱ)∵()()()' 230f x x a a =-≠, 当0a <时,()' 0f x >,函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增, 此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时,由()' 0f x x a =?=± , 当() ,x a ∈-∞-时,()' 0f x >,函数()f x 单调递增, 当(),x a a ∈-时,()'0f x <,函数()f x 单调递减, 当(),x a ∈+∞时,()' 0f x >,函数()f x 单调递增,
高考导数压轴题型归类总结
导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令
导数各类题型方法总结(含答案)
导数各种题型方法总结 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” , 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-???>??<--? 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<?>-+>??? 2b a ∴-=
高考导数压轴题型归类总结材料
导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x .
所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 3 2)33(- =g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 1 1222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令 以下分两种情况讨论: ①a 若> 3 2 ,则a 2-<2-a .当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: )(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极小值在函数 ②a 若<3 2 ,则a 2->2-a ,当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: 所以)(x f .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极大值在函数
高考压轴题:导数题型及解题方法总结很全.
高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法: )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法:设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x )()()(000 求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f (x )=x 3 ﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169y x ) (2)若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线,求实数 m 的取值范围、 (提示:设曲线 )(x f y 上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。(答案: m 的范围是2,3) 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法:设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为( )(,11x f x )。()(,22x f x ); 建立 21,x x 的等式关系,12112)()(y y x f x x ,12 212 )()(y y x f x x ;求出21,x x ,进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。(答案02e y x e ) 二.单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有:(1)在求极值点的过程中,未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类;(2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与 0的 关系不定);(3) 在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类;(4) 在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 (1)求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点的大小关系分类)(2)若 e x ,2,求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类) 题型2 已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。 方法1:研究导函数讨论。 方法2:转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题, 方法3:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意:“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数,求实数 a 的取值范围. (答案 , 0) 题型 3 已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。 方法1:正难则反,研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题,再检验。方法3:直接研究不单调,分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ,R a 在区间 1,2 1内不单调,求实数 a 的取值范围。 (答案: 3, 2a ) )三.极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路:定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ,求在2,1x 的极小值。 (利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类) 题型 2 已知函数极值,求系数值或范围。 方法:1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。(答案:1)
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版0001
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题, 内容主要包 括函数零点个数的确定、 根据函数零点个数求参数范围、 隐零点问题及零点存在 性赋值理论 .其形式逐渐多样化、综合化 . 、零点存在定理 例1【. 2019全国Ⅰ理 20】函数 f(x) sinx ln(1 x),f (x)为f (x)的导数.证明: 1) f (x)在区间 ( 1, 2 )存在唯一极大值点; 2) f (x) 有且仅有 2 个零点. 可得 g'(x)在 1, 有唯一零点 ,设为 2 则当x 1, 时,g x 0;当 x ,2 时,g'(x) 0. 所以 g(x) 在 1, 单调递增,在 , 单调递减 ,故g(x) 在 2 值点 ,即 f x 在 1, 存在唯一极大值点 . 2 (2) f x 的定义域为 ( 1, ). (i )由( 1)知, f x 在 1,0 单调递增 ,而 f 0 0,所以当 x ( 1,0)时, f'(x) 0,故 f x 在 ( 1,0)单调递减 ,又 f (0)=0 ,从而 x 0是 f x 在( 1,0] 的唯 一零点 . 【解析】( 1)设 g x f x ,则 g x 当x 1, 时, g'(x)单调递减,而 g 2 1 1 sinx 2 1 x 2 cosx ,g x 1x 0 0,g 0, 2 1, 存在唯一极大 2
, 时, f '(x) 0.故 f (x) 在(0, )单调递增,在 , 单调递 22 3 变式训练 1】【2020·天津南开中学月考】已知函数 f (x) axsin x 2(a R), 且 在, 0, 2 上的最大值为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在( 0,π)内的零点个数,并加以证明 【解析】 (1)由已知得 f(x) a(sin x xcosx) 对于任意的 x ∈(0, ), 3 有 sinx xcosx 0,当 a=0 时,f(x)=- ,不合题意; 2 当 a<0时,x ∈(0,2 ),f ′(x)从<0而, f(x)在(0, 2 )单调递减, 3 又函数 f(x) ax sin x 2 (a ∈ R 在) [0, 2 ]上图象是连续不断的, 故函数在 [0, 2] 上的最大值为 f(0) ,不合题意; 当 a>0时,x ∈(0, 2),f ′(x)从>0而, f(x)在(0, 2 )单调递增, 3 又函数 f(x) ax sin x (a ∈R 在) [0, ]上图象是连续不断的, 33 故函数在[0, 2 ]上上的最大值为 f( 2)=2a- 23= 23,解得 a=1, 3 综上所述 ,得 f(x) xsinx 3(a R),; (2)函数 f(x) 在(0, π内)有且仅有两个零点。证明如下: 从而 f x 在 0, 没有零点 . 2 ( iii ) 当 x , 时 , f x 0 , 所 以 f x 在 单调递减.而 2 2 f 0, f 0 ,所以 f x 在, 有唯一零点 . 2 2 ( iv )当 x ( , ) 时,ln x 1 1,所以 f (x) <0,从而 f x 在( , ) 没有零点 . 减.又 f (0)=0 , f 1 ln 1 22 0 ,所以当x 0,2 时,f(x) 0. 综上, f x 有且仅有 2个零点. ii )当 x 0,2 时,由(1)知,f'(x)在(0, )单调递增 ,在 单调递减 ,而 f ' (0)=0 2 0 ,所以存在 ,2 ,使得 f'( ) 0,且当x (0, ) 时, f'(x) 0 ;当 x
导数题型方法总结绝对经典
第一章 导数及其应用 一.导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是( ) A. 4 1- B. 2 C. 41 D. -2 变式1:()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→( ) A .-1 B.-2 C .-3 D .1 变式2:()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 ( ) A .()02x f ' B .()0x f ' C .()03x f ' D .()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x <
(完整版)导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题,总结极值点偏移问题的解决方法。 1.设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ (1)试讨论函数()f x 的单调性; (2)()f x m =有两解12,x x (12x x <),求证:122x x a +>. 解析:(1)由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞,所以 ① 若0a >时,当(0,)x a ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; ② 若0a =时,当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立,函数()f x 单调递增; ③ 若0a <时,当(0,)2 a x ∈-时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)2 a x ∈- +∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; (2)要证122x x a +>,只需证12 2 x x a +>, (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证:12 x x ( )()02 f f a +''>=,即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++(*) 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得:
导数常见题型与解题方法总结
导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)('=x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 第三种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)。 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x <
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1.求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=(a>0),求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =(a>0)求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+,其中a R ∈。 (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值。 ! 解:(Ⅰ)当1a =时,曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 (Ⅱ)由于0a ≠,所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ,由 ()'0f x =,得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内,但不知它们之间 的大小。因此,需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时,则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ,(),a +∞内为减函数, 在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ; 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 (1) 当0a <时,则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞,),1 (+∞-a 内为增函数,在区间 )1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ;函数 ()f x 在 2x a =处取得极大值()1f a =。
导数题型方法总结(绝对经典)
第一章导数及其应用 一.导数的概念 1..已知的值是() A. B. 2 C. D. -2 变式1:() A.-1B.-2C.-3D.1 变式2:() A.B.C.D. 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数, (1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围; (2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值. 解:由函数得 (1)在区间上为“凸函数”, 则在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于
导数压轴题题型归纳
VIP免费欢迎下载 导数压轴题题型归纳 1.高考命题回顾 例1已知函数f(x)= e x- ln(x+ m).( 2013全国新课标n卷) (1)设x = 0是f(x)的极值点,求 m,并讨论f(x)的单调性; ⑵当m<2时,证明f(x)>0. 例 2 已知函数 f(x)= x2+ ax+ b,g(x)= e x(cx + d),若曲线 y= f(x)和曲线 y= g(x)都过点 P(0,2), 且在点P处有相同的切线 y= 4x+2 (2013全国新课标I卷) (I)求 a, b, c, d 的值 (n)若 x>-2 时, f(x) VIP免费欢迎下载 2.在解题中常用的有关结论探 (1)曲线y4(x)在X%处的切线的斜率等于f (x0),且切线方程为y=f'(x o)(x-x o)+f (x o)。 ⑵若可导函数y£(x)在X =x0处取得极值,则f'(X o)=0。反之,不成立。 ⑶ 对于可导函数f(X),不等式f -(x) ¥牡y勺解集决定函数f(x)的递增(减)区间。 ⑷函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是:?爵 f (x)逮(切恒成立(fix)不恒为0). (5)函数f (X)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值,则可等价转化为方程f'(x)m在区间I上 有实根且为非二重根。(若 f (x)为二次函数且I=R,则有△ > 0 )。 (6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数,进而得到f-(x)翅或f'(X)<在I上恒成立 (7)若 , f (X)次恒成立,则 f (x)min 次;若0$ , f (X) <0 恒成立,则f(X)max <0 (8)若玄目,使得f(X0):,则f(X)max ;若3 X0 弓,使得 f (X D)却,则f(x)min 哎. (9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为D,若灯X亡D f(x)》g(x)恒成立, 则有〔f(X)- g(x)]min >0
导数各种题型方法总结
导数各种题型方法总结
请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2 变更主元;3 根分布;4 判别式法 5、二次函数区间最值求法: (1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次, 分析每种题型的本质, 你会发现大部分都在解决 “不等式恒成立问题” 以及“充分应用数形结合思想” ,创建不等关系求出取值范围。b5E2RGbCAP 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ' ( x) ? 0 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种:
第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元) ;
(请同学们参看 2012 省统测 2) 例 1: 设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) , 若在区间 D 上,
g ( x) ? 0 恒 成 立 , 则 称 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ” ,已知实数 m 是常数,
f ( x) ?
x 4 mx3 3x 2 ? ? p1EanqFDPw 12 6 2 (1)若 y ? f ( x) 在区间 ? 0,3? 上为“凸函数” ,求 m 的取值范围;
(2)若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ,函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” ,求 b ? a 的最大
值.
x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? ? ? 3x 解:由函数 f ( x) ? 得 f ?( x) ? 12 6 2 3 2 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3
(1)
y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” ,
2
则 ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 gmax ( x) ? 0
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导数压轴题7大题型归类总结
导数压轴题7大题型归类总结,逆袭140+ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 设a> 0,函数g(x)= (a A2 + 14)e A x + 4?若E 1、E 2 € [0 , 4],使得|f( E 1) - g( E 2)| v 1 成立, 求a 的取值范围.
二、交点与根的分布 三、不等式证明 (一)做差证明不等式 LL期嗨敕门划=1扣 M】求的单调逼减区创! <2)^7 I >-1 r求证1 I ----- + x+ 1 W;的宦义域为(一4 +—=—-1 = ■―? x + 1 T t 4-1 I ■丈0 山厂w" 阳=」耳+ 1?二的中说逆减区簡为①,车呵一 ⑵国小由⑴得_虫(一1, ?时” /r Ct)>O f *庄曰① #8)时./'(XXO ?II /+(0) = 0 z.t>- 1 时.f骑)Wf(Qh ?〔耳口仇in(.T + h t T, I I x >X<^> = lnU + 1)+ ------ 1 t则K C<)* ----- -------- =------- -| r+1 立*1 {x+1)- G + I广/. — !< c<0时.X W Y O T ?A0时., JJ x F?h = <) 」?T A—l时、* S) (0)t UP \a(j[ + I M---------- 1MQ X + 1 ;.+1) ) ------- ,:心一1时t I------------- < ln{x + n^j. (二)变形构造函数证明不等式
Ehl&£ /I U li 故)白 )替换构造不等式证明不等式 >=/U ) “川理k C 1;/< <6 N 实出氓I:的崗散丿I + 20> I 沟申求齡./i (2JfiF(x) = /(.r)r-g(x> nt,护订} > 0 3r hH(f > [}). I J J //(:>- 2/0-^ . ft Injr". tl 中 i 堆fiU |他①5)的必人饥为hie' * = m 叫z ?削灯育公共恵?且在谆戍坯的也皱丹匸, %、b 、曲求占的E 大fh /(X) K (r K ). v = /Ol 存佥共C <^ r ()i 牡的岗绥翎同 ;In u J - 3导数各类题型方法总结(绝对经典)
第一章 导数及其应用 一, 导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是( ) A. 4 1- B. 2 C. 41 D. -2 变式1:()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→( ) A .-1 B.-2 C .-3 D .1 变式2:()()() 0000 3,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 ( ) A .()02x f ' B .()0x f ' C .()03x f ' D .()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0 g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-???>? ?<--? 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =- (03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立