高二数学《圆锥曲线》单元测试题及答案

高二数学《圆锥曲线》单元测试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．下列曲线中离心率为2

6

的是（ ）

A 14222=-y x

B 12422=-y x

C 16422=-y x

D 110

422=-y x 2．椭圆

22

1102

x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．8

3．设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为32，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A x y 2±= B x y 2±= C x y 2

2

±

= D x y 21±=

4．抛物线y x 4

1

2=

上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) A. 16

17 B. 1615 C. 0 D. 87

5．已知1F 、2F 分别为椭圆22

1169

x y +=的左、右焦点，椭圆的弦DE 过焦点1F ，若直线DE 的倾斜角为(0)a α≠，则2DEF ?的周长为( )

A ．64

B ．20

C ．16

D ．随α变化而变化

6．若双曲线

22

2116x y b

-=（b >0）的一条准线恰好为圆0222=++x y x 的一条切线，则b 的值等于（ ）

A. 4

B. 8

C. 32

D. 7．已知P 是椭圆19

252

2

=+y x 上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若12

1212||||PF PF PF PF ?=?

，则△F 1PF 2的面积为( )

A ．3 3

B ．2 3

C ． 3

D ．

33

8．如图, 直线MN 与双曲线C: x 2a 2 － y 2

b 2 = 1的左右两支分别交于M 、N 两点,

与双曲线C 的右准线相交于P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又= λ (λ∈R),

则实数λ的取值为( ) A. 12 B. 1 C.2 D. 13

9．若双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准

线的距离相等，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A

． B

．(11] C

．)+∞ D

．1,

)+∞

10．如图，圆F ：1)1(2

2=+-y x 和抛物线4

2y x =

，过F 的直线与抛

物线和圆依次交于A 、B 、C 、D 四点，求

CD AB ?的值是 （ ）

A 1

B 2

C 3

D 无法确定

11． 椭圆22

22

1(1)x y m m +=-的准线平行于向量(,0)n m = ，则m 的取值范围

是（ ） A ．12m <

B ．12m >

C ．12m <且0m ≠

D ．1

2

m >且0m ≠ 12．下列命题:

(1) 动点M 到二定点A 、B 的距离之比为常数),10(≠>λλλ且则动点M 的轨迹是圆;

(2) 椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为22

,则c b =;

(3) 双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的焦点到渐近线的距离是b ;

(4) .已知抛物线)0(22>=p px y 上两点OB OA y x B y x A ⊥且),(),,(2211(O 是坐标原点),

则221p y y -=.

以上命题正确的是( )

A ．(2)、(3)、(4) B. (1)、(4) C. (1)、(3) D. (1)、(2)、(3) 二、填空题（每小题4分，共16分）

13． 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴长在y 轴上，离心率为

2

3

，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和是12，则椭圆的方程是—————————————————— 14． 动圆M 与圆C 1：

()1222=++y x 和圆C 2

：()1222=+-y x 都外切，则动圆M

圆心的轨迹方程是————————————————

15． 设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点是F （1，0），直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程是—————————————————————

16．已知双曲线14

22

=-y x ，点A （0,5-），B 是圆()

152

2

=-+y x 上一点，点M

在双曲线右支上，则MB MA +的最小值是—————————————— 三、解答题

17．经过双曲线13

22

=-

y x 的左焦点F 1作倾斜角为6π

的弦AB ， 求（1）线段AB 的长； （2）设F 2为右焦点，求AB F 2?的周长。

18．已知点C 为)

0(22

>=p px y 的准线与x 轴的交点,点F 为焦点，点B A ,为抛物线上两个点，若2++。 （1）求证：轴x AB ⊥；（2）求向量与的夹角。

19．已知A （1,0）和直线m ：01=+x ，P 为m 上任一点，线段PA 的中垂线为l ，过P 作直线m 的垂线与直线l 交于Q 。 （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）判断直线l 与曲线C 的位置关系，证明你的结论。

20．设椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 过M ()2,2、N

()1,6两点，O 为坐标原点，

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若直线()04>+=k kx y 与圆3

8

2

2=

+y x 相切，并且与椭圆E 相交于两点A 、B ，求证： ⊥

21． 如图，双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的两条渐近线分别为21,l l ，经过右焦点F 垂

直与1l 的直线分别交21,l l 于A 、B 两点与双曲线交于C ，D 两点，双曲线的离心率

2

5。 （1

AB ,依次成等差数列；（2）若F （,50），求三角形OCD 的面积。

22． 已知直线022=+-y x 经过椭圆C: ()0122

22>>=+b a b

y a x 的左顶点A 和上顶点D ，

椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线3

10

=

x 分别交于M 、N 两点。

（1）求椭圆方程； （2）求线段MN 的长度的最小值；

（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆上有两点T 1，T 2，使得△T 1SB,△T 2SB 的面积都为

5

1

，求直线T 1T 2在y 轴上的截距。

圆锥曲线单元测试题答案

13

19

362

2=+x y 14 0=x 15

x y = 16 110+

三 、解答题

17．解：（1）、()0,21-F 3

3

6

tan =

=π

k 设()11y x A ()22y x B 则直线()23

3

:+=

x y AB 代入03322=--y x 整理得013482=--x x 由距离公式8

12?

+=k AB 3= 6分 （2）、

221221,12x B F x A F -=-=

()()2

12212122422x x x x x x B F A F -+?=-=+∴3332

3

2=?

= 3332+=?∴L AB F 的周长 6分

18．解：（1）()

21,x x A ()22y x B ， ??

?

??-0,2),0,2(

p C p F ， ??

?

??-=??? ??-=2211,2,,2y P x y p x ()0.p FC -= 由题意得：

0.32121=+=+y y p x x ，

23,2121p

x x y y =

=-=即 p y p y 3,321-==

??

?

??-p p B p p A 3,23),3,23(关于x 轴对称，轴x ⊥∴AB 6分 （2）32

233tan =-=

p

p p AFG 即3

π

=

∠AFG

由对称得32π=

∠AFB ，即向量与的夹角为3

2π 6分 19．解：（1）设Q （x,y ）,由题意知QA PQ =,Q 在以A 为焦点的抛物线上，

2,12

==p p

Q 点轨迹方程C 为：x y 42= 4分 （2）设P （-1，y 0），当时00≠y ，20y k PA -

=,PA 中点坐标是??

?

??2,00y ，PA 中垂线方程：2

200y x y y +

=，联立抛物线方程x y 42=得022002

=+-y y y y ，有0=? 说明直线l 与曲线C 始终相切。

当时00=y 时，Q （0，0），l 是y 轴，与曲线C 相切。 8分

20．解:（1）因为椭圆E: 22

221x y a b

+=（a,b>0）过M （2

，

,1)两点,

所以2222421611a b a b +=+=???????解得2211

8

11

4a b

?=????=??所以2284a b ?=?=?椭圆E 的方程为22184x y += 4分 （2）设()11y x A ()22y x B ，由题意得：5,3

6

2142

==

+=

k k d 2分 联立?????=++=148

4

522y x x y 024516112=++x x 化简得，有1124,511162121=-=+x x x x ()(

)

16)(5464545212121

212121+++=+++=+x x x x x x x x y y x x =

01611

144

11320=++-

OB OA ⊥∴ 2分 222

5121.1,2,,tan ,tan tan 242

24

4,,3(0),4,51tan 332,,,c a b AOF BOF AOB a AB ta OA m m AB m OB m OA OA OB AB OA AB OB θθθ

θθ=∴=∠=∠==∠=====>==-+=∴

（）设则故n 即令则满足依次成等差数列

2

2

2

2

22

2224,1

4

:2(115840

4

4

3

1144

2,22233AB

OCD x a b y x l y x y x CD CD O CD S CD d θ?∴=-=∠∠∴=-=-+=∴===

=∴=?=??=

（）已知c =5,=1,双曲线方程为设直线AB 的斜率为k,则k=tan BFO=tan AFO=cot =2

代入得弦的长度设到距离为d,则 6分

22． 解（1）由已知得椭圆C 的左顶点A(-2，0)，上顶点D （0，1），得1,2==b a

故椭圆方程：14

22

=+y x 2分 （2）直线AS 的斜率k 显然存在，且大于0，故设直线AS ：)2(+=x k y ，得)3

16,310(

k M 由?????=++=14

)2(2

2y x x k y 得()

0416********=-+++k x k x k 2分 ）（即从而得）则（设2

22212

12111414,4182,414,4182,414162),,(k

k

k k S k k y k k x k k x y x S ++-+=+-=+-=-

B （2，0），直线BS ：)2(41

--=x k

y ??

?????? ??-=

--=k N x x k y 31,310310)2(41得，k k MN 31316+=，,

0>k 3

841,3831316231316长度最小值是时，线段当且仅当MN k k k k k MN ==?≥+=

（3）52454,56.02,41=

∴??

?

??=-+=

BS S y x BS k 的方程为：直线 椭圆上有两点使三角形面积为

51，则点T 1，T 2到BS 的距离等于4

2

， 2分

设直线T 1T 2：2

523,422

2,021-=-==

+=++t t t t y x 或得由

当适合检验得联立.044,0512523

14,23

22

21>=?=+-??

???=+=+-=x x y x y x t

舍去检验得联立.020,02120525

14,25

22

21<-=?=+-??

???=+=+-=x x y x y x t

综上所述，直线T 1T 2在y 轴上的截距是2

3

4分