由合情推理看圆锥曲线切点弦的系列问题
由合情推理看圆锥曲线切点弦的系列问题
论文概要：
“新课程标准”首次明确将学生数学合情推理能力的培养作为高中数学教学的重要目标之一．在数学学科中，合情推理是论证推理的前提与基础，并与数学直觉思维与形象思维相辅相成．归纳与类比是数学中最常用的两种合情推理方法．随着时代的发展，合情推理进入高中数学课程已经是世界各国课程改革的普遍趋势．
归纳与类比两种推理既有联系，更有区别．它们是科学发明创造的引路人，尽管结论具有暂时性、冒险性及不可靠性，但两者都是提出猜想或发现结论的强大武器．拉普拉斯曾说过：甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳与类比．因此，将按逻辑演绎编写的教材还原为生动活泼的数学创造是教师的义不容辞的责任．教师不能单纯地按“定义、定理、推论”的形式演绎方法展开数学内容，而应讲原始思想、分析解决问题的念头、给出证明的思路等，把逻辑推理还原为合情推理，把形式演绎还原为归纳、类比演绎．“思想应当诞生在学生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事．”教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想．“学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数学教学最富有吸引力，切莫错过时机”．
本文从圆的切点弦的系列性质入手，利用合情推理对这些性质在椭圆、双曲线、抛物线进行大胆的类比和猜想，进而对圆的切点弦的系列性质的证明方法，用类比的思想在椭圆、双曲线、抛物线中实施了相应的证明，使所有的性质在椭圆、双曲线、抛物线中得到了全面的推广．从而，一方面阐述了合情推理在数学研究中的重要作用，同时又让学生感受到了数学知识(圆锥曲线性质)的内在统一与和谐之美．
关键词：合情推理；归纳与类比；切点弦；有心曲线；无心曲线．
一、切点弦的定义
平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦
圆锥曲线的切点弦内容丰富，变化多端，结构美丽，和谐统一，也是高考命题的热点之一，所以值得我们去深入研究．
二、圆的切点弦的相关问题
1．已知圆222x y R +=和一点00(,)P x y ，那么我们有下面的结论
①点00(,)P x y 在圆上时，直线200xx yy R +=为过点00(,)P x y 的切线（图1）
②点00(,)P x y 在圆外时，直线200xx yy R +=为过点00(,)P x y 的两切线的切点弦（图2）
③点00(,)P x y 在圆内时，直线200xx yy R +=为过以点00(,)P x y 为中点的弦端点的切线的交点，且垂直于OP 的直线．（图3）（点击图1可进入动态情境）
（图1） （图2） （图3）
④设圆心O 到直线的距离为1d ，O 到点P 的距离为2d ，则12d d r =2
常数（）
（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）．且点P 与直线200xx yy R +=沿直线PO 作反向运动．
2．已知圆222x y R +=，圆外一点00(,)P x y ，那么我们有下面的结论
①过圆心与圆外一点的直线与圆的交点处的切线平行于切点弦．（图4）（点击图4可进入动态情境）
②过圆外一点P 的任一直线与圆的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =uuu r uuu r uuu r uuu r
则点Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然．（图5）（点击图5可进入动态情境）
③过圆外一点P 的任一直线与圆的两个交点为C 、D ，与切点弦的交点为Q ，，则112||||PC PD PQ +=成立．反
之亦然．（图6）（点击图6可进入动态情境）
（图4） （图5） （图6）
圆中的上述结论我们并不陌生，所以这里不再证明．需要思考的问题是这些结论在椭圆、双曲线、抛物线中是否仍然成立，又能否与圆统一？由于圆锥曲线基于同一几何体（圆锥面截得）而得，从数学美的角度看应该能统一，但毕竟圆是最特殊的图形，它的某些结论在图形变形后会有所改变，我们的问题是怎样把它们统一起来．
现行新课标已把联想、类比、归纳等合情推理思想提到一定高度，因此我们不妨用这些数学思想类比出椭圆、双曲线、抛物线的相关结论，并以合情推理的思想给出相应证明．
三、归纳与类比
（一）有心圆锥曲线切点弦的相关问题
1．已知有心圆锥曲线221Ax By +=，和一点00(,)P x y ，那么我们有下面的结论
①点00(,)P x y 在有心圆锥曲线上，直线001Ax x By y +=为过P 点的有心圆锥曲线的切线．（图7）（点击图7可进入动态情境）
②点00(,)P x y 在有心圆锥曲线外，直线001Ax x By y +=，为过点00(,)P x y 的两切线的有心圆锥曲线的切点弦（图8）（点击图8可进入动态情境）
③点00(,)P x y 在有心圆锥曲线内，直线001Ax x By y +=为与有心圆锥曲线相离的直线（与切线平行）（图9）（点击图9可进入动态情境）
（图7） （图8） （图9）
然而，对于圆中的结论④在椭圆情况下，由于中心到直线（切点弦）的垂线与中心到点P 的直线不重合，故内在关系被破坏，这说明12d d r =2
常数（）式中的1d 的本质不一定是中心O 到直线的距离，r 也不一定是半径
（12d d r =2
常数（）
式中的常数可能是偶然），有可能1||d OQ =，||r ON =，结论可能是：2||||||OQ OP ON =，这样与12d d r =2
的结构也能统一，经动态验证正确．于是我们有
④设有心圆锥曲线中心O 与点00(,)P x y 的连线交有心圆锥曲线于N ，交切点弦于点Q ，则，2||||||OQ OP ON =．且Q 点平分切点弦AB ．（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）．且点P 与直线
001Ax x By y +=沿直线PO 作反向运动．（如右图10）
上式四个结论与圆的相应结论完全统一．
下面我们探究圆的切点弦的第2部分结论在有心圆锥曲线下的相关结论． 通过动态实验，我们有下列与圆对应的结论．
2．已知有心圆锥曲线221Ax By +=和有心圆锥曲线外一点00(,)P x y ，那么我们有下面的结论：
①过有心圆锥曲线中心与有心圆锥曲线外一点的直线与有心圆锥曲线的交点处的切线平行于有心圆锥曲线的切点弦001Ax x By y +=．（图11）
（图10）
②过有心圆锥曲线外一点P 的任一直线与有心圆锥曲线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足
CP QD PD CQ =uuu r uuu r uuu r uuu r
则点Q 的轨迹即为切点弦001Ax x By y +=，反之亦然．
（图12） ③过有心圆锥曲线外一点P 的任一直线与有心圆锥曲线的两个交点为C 、D ，与有心圆锥曲线切点弦
001Ax x By y +=的交点为Q ，则112||
||
PC
PD PQ +=成立．反之亦然．（图13）
（图11） （图12） （图13）
特别地，若点00(,)P x y 与焦点(,0)F c 重合时,00221x x y y a b =2201y cx a b
（与准线方程2a x c =合）（图16）
（图16）
（二）无心圆锥曲线（抛物线）切点弦的相关问题
由于抛物线是无心曲线，它与有心曲线又有所区别，问题也是我们能否给予与有心曲线的相关结论统一起来的解释，为此,我们不妨把抛物线看成是中心在无穷远处的有心曲线．再通过类比将得到下列结论．
1．已知抛物线22y px =和一点00(,)P x y ，那么我们有下面的结论
①点00(,)P x y 在抛物线上，直线00()y y p x x =+为过P 点的抛物线的切线．
（图17） ②点00(,)P x y 在抛物线外，直线00()y y p x x =+，为过点00(,)P x y 的两切线的抛物线的切点弦（图18） ③．点00(,)P x y 在抛物线内，直线00()y y p x x =+为与抛物线相离的直线（此直线恰好过以点P 为中点的中点弦端点的切线交点，且与中点弦平行）（图19）
（图17） （图18） （图19）
④设过点P 与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N ，交切点弦于点Q ，则，
2||||||O Q O P O N ∞∞∞=．且Q 点平分切点弦AB ．（无论点P 在
曲线的什么位置，上述结论均成立）．且点P 与直线
00()y y p x x =+作反向运动．
（图20） 2．已知抛物线22y px =，抛物线外一点00(,)P x y ，那么我们有下面的结论
①过抛物线中心（这中心在无穷远处）与抛物线外一点的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦（图21）．
②过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足
CP QD PD CQ =uuu r uuu r uuu r uuu r
则点Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然．
（图22） ③过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦的交点为Q ，，则
112||||
PC PD PQ +=
成立（图23）．反之亦然．
（图21） （图22） （图23）
（图20）
(注意：为作图方便下面的抛物线方程改为22x py =)
④过点00(,)P x y 作抛物线的两切线，得抛物线的切点弦00()x x p y y =+，则切点弦直线与对称轴的交点为
0(0,)S y ?（图24）．
当点00(,)P x y 在抛物线内时，直线00()x x p y y =+与对称轴的交点仍为0(0,)S y ?（图25）．
当点00(,)P x y 在抛物线上时，直线00()x x p y y =+为切线，但它与对称轴的交点仍为0(0,)S y ?（图26）． 特别地, 若点00(,)P x y 与焦点2p F 重合时,则上述直线00()x x p y y =+变为0(2
p
x p y =+（与准线方程2
p
y =?
吻合）
（图24） （图25） （图26）
四、关于切点弦方程的求法 （一）有心曲线的切点弦
由于圆的切点弦求法通常为：圆系法、方程法．因此，我们从类比与合情推理的思想看这些方法在椭圆、双曲线、抛物线也应该适用．于是我们有
1．由于从圆系角度看，对圆222x y R +=，和点00(,)P x y 而言，切点A 、B 应该在以线段PO 为直径的圆
00()()0x x x y y y ?+?=上，从而切点弦为两圆方程之差，即得切点弦方程为:200xx yy R +=
据此，下面我们从类比与合情推理得出椭圆的切点弦．
由于从椭圆系角度看，22221y x a b
=，和点00(,)P x y 而言，切点A 、B 应该在以线段PO 0022
()()
0x x x y y y a b
??+=上，从而切点00
221xx yy a b
=（图27） （图27）
2．由于从方程角度看，对圆222x y R +=，和点00(,)P x y 而言，过切点
1122(,)(,)A x y B x y 、的切线方程分别为：211xx yy R +=，222xx yy R +=，
因为点00(,)P x y 同在两切线上，所以有：20101x x y y R +=,20202x x y y R +=
从而切点弦方程为:200xx yy R +=．
据此，我们也从类比与合情推理得出椭圆的切点弦
22221y x a b
=，和点00(,)P x y 而言，过切点 1122(,)(,)A x y B x y 、11221xx yy a b 22221xx yy
a b
=，因为点00(,)P x y 同在两切线上，所以
0101221x x y y a b =0202221x x y y a b =，从而椭圆的切点弦方程为00221xx yy
a b
=．
（图28） 00221xx yy
a b
， 00()y y p x x =+
说明：可以证明，以1122(,)(,)N x y M x y 、22221y x a b =22221y x a b
=的长
短轴平行的椭圆方程为：
121222
()()()()
0x x x x y y y y a b ????=．（系数设为相同的目的，一是确保离心率不变，
二在于使曲线系中有直线产生）
一般地：对于有心圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线）以1122(,)(,)N x y M x y 、为直径的曲线方程可表示为：
1212()()()()0A x x x x B y y y y ??+??=
因此，对于有心圆锥曲线的切点弦，我们也可以用统一的方法证明． 方法一、利用曲线系
设有心圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线）的统一曲线方程为：221Ax By +=，设点00(,)P x y ，由于有心圆锥曲线上任一点对直径PO (O 为坐标原点)端点连线的斜率积为常数，所以,以PO 为直径,离心率与221Ax By +=相同的圆锥曲线方程为00()()y y y A
x x x B
?=?，即00()()0Ax x x By y y ?+?=．
两圆锥曲线方程相减即得切点弦方程为：001Axx Byy +=． 方法二、利用方程思想
由于11(,)A x y 点处的切线方程为： 111Ax x By y +=
22(,)B x y 点处的切线方程为： 221Ax x By y +=
又点00(,)P x y 同在两切线上，所以
（图28）
10101Ax x By y += 20201Ax x By y +=
从而过切点A 、B 的直线(切点弦)方程为：001Axx Byy += （二）无心曲线的切点弦
1．由于从抛物线系角度看，对抛物线22x py =，和点00(,)M x y 而言，从类比的角度看，切点A 、B 应该是
22x py =与00()()x x x p y y ?=?交点，从而切点弦为两抛物线方程之差，即00()xx p y y =+．
2．如从方程角度看，对抛物线22x py =，和点00(,)M x y 而言，过切点1122(,)(,)A x y B x y 、的切线方程分别为：切线P A ：1
1111)()x y x x y x x p y y p
=
?+?=+ 同理PB ：2
2222)()x y x x y x x p y y p
=
?+?=+ 因为点00(,)P x y 同在两切线上，所以有：1001()x x p y y =+
2002()x x p y y =+
所以，切点弦AB 的直线方程为： 00()x x p y y =+ 五、切点弦系列问题的证明
对问题1中的①②③④比较简单，由于篇幅有限不证了．对于问题2中的①②③我们分有心曲线与无心曲线分别统一证明．
（一）为清楚起见对有心曲线的结论2，①②③再一一列出：
①过有心曲线中心O 与另一点P 的直线OP 与有心曲线的两交点为C 、D ，则过交点C ，D 处的切线12,l l 平行于有心曲线的切点弦AB ．（图29）
证明：设有心曲线（圆、椭圆、双曲线）方程为：221Ax By +=，点00(,)P x y ，点C D ，的坐标分别为
1122()()x y x y ，，，，则直线OP 方程为：0
y y x x =
，代入曲线方程，得 2
2
00
(
)1y Ax B x x +=，
整理得00022
2
2
2
1,2,Ax x By x x x +==，
因为 0
1,21,20
,y y x =
所以 1,2x =
1,2
y =从而点C 、D 处的切线方程为：
1±±=
整理得：
00Ax x By y +=
00Ax x By y +=故与切点弦AB ：001Axx Byy +=平行
②若有心曲线外－点P 引任一直线交曲线于C 、D 两点，点Q 在此直线上，且满足CP QD PD CQ =uuu r uuu r uuu r uuu r
，则
点Q 的轨迹为切点弦．（图30）
反之： 曲线外－点P 引任一直线交曲线于C 、D 两点，交切点弦于Q ，则CP QD PD CQ =uuu r uuu r uuu r uuu r
成立
证明：设有心曲线（圆、椭圆、双曲线）的统一方程为：221Ax By +=，
点00(,)P x y ，点Q C D ，，的坐标分别为1122()()()x y x y x y ，，
，，，，（图30）
由题设知CP PD CQ QD uuu r uuu r uuu r uuu r
，，，均不为零，记CP CQ PD QD
λ==uuu r uuu r
uuu
r uuu r ． 则0λ>且1λ≠．
又C P D Q ，，，四点共线，从而CP PD CQ QD λλ=?=uuu r uuu r uuu r uuu r
，
． 于是12
012
011x x x y y y λλλλ
?=??=?．12
1211x x x y y y λλλλ
+=?+=
+． 从而上两式相乘，再乘A 222
12
02
1Ax A x Ax x λλ?=?， ………………①
下两式相乘，再乘B 222
12
021By B y By y λλ?=?． ……………② 22222
1122002
()()
1Ax By Ax By Ax x By y λλ
+?+=+? （图29）
（图30）
又由于点C D ，在曲线上，即 22
111Ax By +=，………………③
22221Ax By +=，………………④
从而点Q 的轨迹为：001Ax x By y +=（此直线恰为切点弦）
③有心曲线外－点P 引任一直线交曲线于C 、D 两点，交切点弦于Q ，则112||||PC PD PQ +=成立．
（图25）反之亦然．
证明：（图31）设有心曲线（圆、椭圆、双曲线）方程为：221Ax By +=，点00(,)P x y ，点Q C D ，，的坐标分别为331122()()()x y x y x y ，，，，，，设直线方程为：00()y k x x y =?+，即0000(),()y kx y kx y kx m =+??=记，则直线为：y kx m =+
代入曲线方程22()1Ax B kx m ++=，整理得
222()210A Bk x Bkmx Bm +++?=
由于要证112||||PC PD PQ +=只须证
102030112||||
x x x x x x +=
???又由于PC 、PD 、PQ
同向，故有
102030
112
x x x x x x =???
而左边
102012021020102012012()()211
()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?+?+?==?????++
2022
2022()12()
Bkm x A Bk Bm Bkm x A Bk ??+=?+++
20000022222
20000000000002()2()2()
()12()()()12()()
Bk y kx x A Bk Ax By k B y kx Bkx y kx x A Bk B y kx Bkx y kx x A Bk ???+?+==??+?++??+?++0022
00
2()
1Ax By k By Ax ?+=
?++又切点弦方程为：001Ax x By y +=．
把直线方程00()y kx y kx =+?代入后，得：0000()1,Ax x By kx y kx ++?=
（图31）
从而有：002230001Ax By x x Ax By k
???=
+
00
0022
301
1Ax By k x x Ax By +=???102030112
x x x x x x =???成立， 故112||||
PC PD PQ +=
本证法显得运算量大，但我们如果对坐标作变换，把点P 放在原点，曲线中心放在点00(,)x y 处（图32），对运算进行优化，就简便得多，下以椭圆为例说明之． 证明：
22
0022
()()1x x y y a b ??= 000022()()
1
x x x y y y a b ??=?原点引切线的切点弦方程：
任一直线方程为：y kx =
22
0022
()()1x x kx y a b
??= 0
222200022222212()10y x ky x k x x a b a b a b
+?+= 12
121211x x x x x x +=
3x 000022
()()
1x x x y kx y a b ??=? 00222222
32200a y k b x a b x b x a y k
+?=
+123
112
x x x =（二）为清楚起见对无心曲线的结论2①②③再一一列出：
①已知抛物线22x py =，抛物线外一点00(,)P x y ，设过点P 平行于抛物线对称轴的直线'l 交抛物线于点N ，则点N 处的切线''l 平行于切点弦:l 00()x x p y y =+，且'l 与''l 的交点Q 平分切点弦AB ．（图33）
证：由题意，'l 的方程为：0y y =
（图32）
则交点20
0()2x N x p
N 点的切线即为：20
0(2x x x p y p
=+ 两直线斜率相等，所以两直线平行 设A 、B 两点的坐标分别为：1122()()x y x y ，，， 联立方程组
2002()x py
x x p y y =
=+ 200220x x x py ?+=
12
02
x x x += 所以点Q 平分AB
②过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且
满足CP QD PD CQ =uuu r uuu r uuu r uuu r
则点Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然．（图34）
证：设点Q C D ，，的坐标分别为1122()()()x y x y x y ，，，，，， 由题设知CP PD CQ QD uuu r uuu r uuu r uuu r
，，，均不为零，记
CP CQ PD QD
λ==uuu r uuu r uuu r uuu r ．
则0λ>且1λ≠．
又C P D Q ，，，四点共线，从而
CP PD CQ QD λλ=?=uuu r uuu r uuu r uuu r ，．
于是12
012
011x x x y y y λλλλ
?=??=?．12
12
11x x x y y y λλλλ
+=?+=
+． 222
12
02
1x x x x λλ?=?， ………………①
21202
2()
1y y y y λλ
?=+?．…………………② （图33）
（图34）
因为C ，D 在抛物线上，所以 222
1122,2x py x py == 故点Q 的轨迹方程为：00()x x p y y =+ 此恰为切点弦．
③过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦的交点为Q ，则112||||
PC PD PQ +34）． 证：为简化运算，设抛物线方程为2
00()2()x x p y y ?=?，点Q C D ，，的坐标分别为
331122()()()x y x y x y ，，，，，，点(0,0)P ，直线y kx =，200()2()x x p kx y ?=?
22
0002()20x x pk x x py ?+++=
一方面．要证112||||PC PD PQ +化斜为直后 123
112x x x =00122
12122()
112x pk x x x x x x x pk
++==+ 另一方面，由于(0,0)P 所以切点弦方程为：000()(2)x x x p y y ??=? 所以 3x =0202x pk x pk
+=
+00
231
2x pk x x pk
+=+ 123
112x x x =即 112||||PC PD PQ +六、考题链接
1． 08年安徽22． (本小题满分13分)
设椭圆22
221(0)x y C a b a b
=>>：
过点M
，且左焦点为1(F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(41)P ，
的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =uuu r uuu r uuu r uuu r
．证明：点Q 总在某定直线上．（此直线即是切点
弦）
2．07年江苏19．（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =?交于点P Q ，．
（1）若2OA OB =uuu r uuu r
，求c 的值；（5分）
（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分） 七、考题备选
1．三角形ABC 的一边BC 为定长，另两边之和为8，且三角形ABC 面积的最大值为 （1）请建立适当的坐标系写出动点A 的轨迹E 的方程
（2）直线l 过点P （2,1）交轨迹E 于M 、N 两点，且NP ＝PM ，求直线的方程l ；
（3）设直线'l 过点G （4,2）交轨迹E 于点C 、D ，交直线l 于点Q ，求证：||||||||GC QD GD QC = 2．直线l 过点P （2,0）交抛物线21y x =?于点A 、B ， （1）设另一点Q 在直线l 112
||||||
PA PB PQ =Q 的轨迹是直线． （2）记（1）的轨迹为'l ，设'l 交抛物线于点C 、D ，过点P 作垂直于x 轴的直线"l 交'l 于点M ，交抛物线于点N ，求证：点M 为CD 的中点，且过点N 的切线平行于直线CD ．
圆锥曲线的切点弦方程培训资料
2011年江西高考一道试题解法的推广──圆锥曲线的切点弦方程 圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。 背景知识 已知圆()222:0C x y r r +=>,点()00,A x y 是圆C 上一点，求以点A 为切点的切线方程. 分析：易知以()00,A x y 为切点的直线方程为：()2000xx yy r r +=> （2011年江西高考理科第14题） 问题1：若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2?? ??? 作圆221x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________. 解：设()()1122,,,A x y B x y ∵点A B 、在圆221x y +=上，则 过点()11,A x y 的切线方程为111:1L x x y y +=. 过点()22,B x y 的切线方程为222:1L x x y y +=. 由于12,L L 经过点11,2?? ???则1122111,122 x y x y +=+=. 故()()1122,,,x y x y 均为方程112 x y + =的解。 ∴经过A B 、两点的直线方程1:12AB x y +=. 设椭圆22 221x y a b +=的右焦点为(),0c ,上顶点为()0,b . 由于直线AB 经过椭圆右焦点和上顶点。 1,12 b c ∴==即2b = 2225a b c ∴=+= 故椭圆方程为22 154 x y +=.
高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用.
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在 直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。
图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）
解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以 ，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3
切线方程与切点弦方程
切线方程与切点弦方程 一、圆的切线方程 一、圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2 1. 已知：圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆上一点P(x0, y0)。 求过点P的切线方程 解：圆心C(a, b)；直线CP的斜率：k1 = ( y0- b) / ( x0- a) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0) 整理得：(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切线方程公式) 展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x02- y02= 0 (1) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： (x0 - a)2+ (y0 - b)2= r2 化简: x02- 2ax0 + a2+ y02- 2by0 + b2= r2 移项: - x02- y02= -2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2(2) 由(2)代入(1), 得：x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2) = 0 化简：(x0x - ax - ax0 + a2) + (y0y - yb- by0 + b2) = r2 整理：(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆外一点P(x0, y0) 二、对于圆的一般方程:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程. 2.已知:圆的方程为:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0) 解：圆心C( -D/2, -E/2 ) 直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0) 整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x02- y02= 0 (3) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： x02+ y02+ Dx0 + Ey0 + F = 0 移项: - x02- y02= Dx0 + Ey0 + F (4)
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件
圆锥曲线的切点弦方程培训资料
2011年江西高考一道试题解法的推广一圆锥曲线的切点弦方程 圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。 背景知识 I I 2 2 2 已知圆C:x y r r 0 ,点A x o,y o是圆C上一点，求以点A为切点的切线方程. 分析：易知以A x o, y o为切点的直线方程为：xx o yy o r2r 0 （2oii年江西高考理科第14题） 2 2 i 问题1：若椭圆笃爲1的焦点在x轴上，过点1,丄作圆x2 y21的切线，切 a b 2 点分别为A B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________ . 解：设A x1,y1 ,B x2, y2 ???点A B在圆x2 y21上,则 过点A为，屮的切线方程为L「X1X y1y 1. 过点B x2,y2的切线方程为L2: x2x y2y 1. 1 1 1 由于L1, L2经过点1, 则捲y1 1x y 1. 2 2 2 1 故刘，如,x2,y2均为方程x y 1的解。 1 经过A、B两点的直线方程AB : x — y 1 . 2 2 2 设椭圆务与1的右焦点为c,o，上顶点为o,b . a b 由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。 K c 1,- 1 即b 2 2 2,22 a b c 5 2 2 故椭圆方程为—1. 5 4
由此题的解题方法，可得到如下推广: 结论一：（圆的切点弦方程） 线MN 的方程为：ax by r 2. x 2 问题2 :过椭圆一 4 2 y 1外一点P 1,2作椭圆的两切线，切点为M 、N 求直线MN 3 的方程. 1 a b 0外一点P X o ,y 0作椭圆的两切线，切点为 M 、N 则直线MN 的方程为：X o 2X 耳 1 a b 2 问题3：过抛物线y 4x 外一点P 1, 2作抛物线两切线，切点分别为 M 、N , 求直线MN 的方程。 解：设 M 为，％ , N x 2, y 2 贝U 过 M 、N 的 切线方 程为 %y 2 x X 1 ,y 2y 2 x x ? 由于过M 、N 的切线都经过P 1, 2则 2y 1 2 X 1 1 ,2y 2 2 X 2 1 ???直线MN 的方程为 2y 2 X 1即X y 1 结论三：（抛物线的切点弦方程） 过抛物线y 2px p 0外一点P x 0, y 0作两切线，切点为 M 、N ，则直 线MN 的方程为yy 0 p x x 0 x_j X %y 1,X 2X 1 4 3 4 3 由于两切线都过P 1,2， 则小 %y 1 ① X 2X y 2y 1 ② 2y . 4 3 4 3 x N ， 所以直线MN 的方程为: 这两式表示直线 — 1经过M 、 4 3 N 的切线方程分别为; 结论二：（椭圆的切点弦方 程） 过圆x y 2 r 2 r 0，外一点P a,b 作圆的两切线，切点为 M 、N ，则直 解：设 M ^,y 1 ,N x 2,y 2 则过 M 、 2 2 过椭圆冷厶 a 2 b 2
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用 张生 引例 给定圆2 22)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明： （1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+--； （2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+--。 高考链接 3. (2011江西)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12 ）作圆22 +=1x y 的切线， 切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 【答案】22 154 x y += （2013山东）过点(3,1)作圆 22 (1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 （ ） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-= 【答案】A 过点)4,3(P 作圆1:2 2 =+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上，则b a 2 1+的最小值为 。6411+ 过椭圆14 92 2=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ?的面积的最小值为 。 3 2 已知椭圆)1(12222>>=+b a b y a x ，圆2 22:b y x O =+，过椭圆上任一与顶点不重合的点P
圆锥曲线的焦点弦公式及应用(难)
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以。 图1
（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）
解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点 且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。
高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
圆锥曲线焦点弦问题
圆锥曲线焦点弦问题
θ2222 sin 2c a ab - 高考题：1.过抛物线)0(22 >=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则 =FB AF 解:由公式：11cos +-= λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 3 1 2.双曲线122 22=-b y a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3， 4=则双曲线的离心率e= 解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-= λλθe 得：e 11-21+=λλ=1 41 -4+ ∴ e= 5 6 3.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+b y a x （a>b>0）,离心率23 =e ，过右焦点且 斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则k=（ B ）
A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 解：由公式：11 cos +-= λλθe 得cos θ=3 1∴ k=tan θ=2;故选B 。 4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为 ，过 且斜率为的直线交 于 两点。若 ，则 的离心率为（ ） 解 这里，所以，又，代入公式得，所 以 ，故选。 5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物 线交于 两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解 如图3，由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ，当点 在 轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。
6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 解易知均在右支上，因为，离心率，点准距 ，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得， 。
高考★圆锥曲线★的基本公式推导
圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2 换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22 =与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式， 再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+=+b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
圆锥曲线的切线问题
圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.类型一导数法求抛物线切线 例1【2017课表1，文20】设A ，B 为曲线C ：y A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率； （2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 类型二椭圆的切线问题
例2（2014广东20）（14 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 类型三直线与椭圆的一个交点 例3.【20134，且过点 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】 且222a b c =+
∴28 a =24 b =24 c =椭圆C （2）由题意，各点的坐标如上图所示，则QG 的直线方程：化简得2 0000(8)80 x y x x y y ---=又220028x y +=，所以00280x x y y +-=带入求得最后0 ?=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点.类型四待定系数求抛物线的切线问题 例4【2013年高考广东卷】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --= P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1)求抛物线C 的方程； (2)当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep ． 1ecos 当P在双曲线的左支上时，PF ep 1ecos . 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112 . MF NF ep
2 cos 2 . c 2 2 2 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， a 2 b 2 ep ep 2ab 2 1、椭圆中， p ， MN c c 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2、双曲线中， ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线同一支上， MN ； 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2 cos ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN . 1 ecos 1 ecos c 2 cos a 2 3、抛物线中， MN p p 2p . 1 cos 1 cos( ) sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 2 1 a ex ，PF 2 a ex ； 2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2 当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ； 当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p . 2
与焦点弦相关的问题
三、与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1 ） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=? 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2 ） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=? 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件
10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ= 恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件
课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程 主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标： （1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。 （2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。 （3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。 (4) 掌握曲线与方程的关系。教学重点： 切线方程及切点弦方程的应用 教学难点： 如何恰当使用切线方程及切点弦方程 教学过程： 1. 引入： 通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。 2. 知识点回顾： 1. 2. 3. 4. 圆锥曲线切线的几个性质： 性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交 于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且 同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲： 练习1： 抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相 切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为 例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线 22200 (,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=22 0022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：22 0022 (,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00() yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20 l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=
高中数学《圆锥曲线方程》重要公式
高中数学《圆锥曲线方程》重要公式 1.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -= 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=? . 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00 221x y a b ? +<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200 22 1x y a b ? +>. 4. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A a B b c +=. （3）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y a b +=. 5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00 221x y a b ? ->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200 2 21x y a b ? -<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.
圆锥曲线的焦点弦问题(特征梯形)
课题：探究抛物线中的焦点弦问题 【学习目标】： 探讨解决抛物线中有关焦点弦问题的思想方法. 【问题探究】： 抛物线定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 距离相等的点的轨迹. 问题一：已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则?AB = （1）：12AB x x p =++ （2）：m i n AB 问题二、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，' ',A B 为,A B 在准线上的射影， 则' ' ?A FB ∠= （3）：' ' 90A FB ∠= （4）：以Q 为圆心，以'' A B 为直径的圆切AB 于F 点 (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y B′ A′ (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y F′B′ A′Q
问题三、已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，'' ,A B 为,A B 在准线上的射影， 则以,A B 为直径的圆与准线的位置关系？ （5）：以P 为圆心，以AB 为直径的圆切''A B 于Q 点 （6）：90AQB ∠ = 问题四、已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则1212?,?x x y y == （7）：22 121 2,4 p x x yy p ==- 问题五、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则11 ?AF BF += （8）：112A F B F p += (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y B′ A′Q P (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y
圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的
圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨 数学系2008级6班唐流聪 指导教师 XXX 摘要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。 关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点 On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point String Abstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems. Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point 1引言 圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用. 圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献[2]主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献[7]主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献[2]、[7]都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献[1]、[10]主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文
高中数学 圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用 专题辅导
高中数学 圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用 专题辅导 周华生 本文介绍圆锥曲线标准方程的两个用定比λ表示的斜率公式及解题时的巧妙应用。 定理1 若 AB 是椭圆 )0b a (b a y a x b :2222221>>=+Γ或双曲线 2222222b a y a x b :=-Γ或抛物线)0p (px 2y :23>=Γ的焦点弦，F 为焦点且λ=，（A 在B 之上），则弦AB 所在直线斜率k 满足 )1,0(1e ) 1()1(k 2 2 22 ±≠λ≠λ--λ+λ= （1） 证明：设AB 的倾角为α。 （1）当?<α<900时，l 为F 对应的准线，如图1对曲线1Γ： ?? ?α-α=±=+-=+-=+λ-λ== λ) F (cos e ) F (cos e |AB ||)BC |(e |BF ||AF ||)'BB ||'AA (|e | BF ||AF || BF ||AF |11,|'BB || 'AA ||BF ||AF |为右焦点为左焦点 所以2 22 2 )1()1(e sec -λ+λ=α，即1e )1()1(tan 2222--λ+λ=α。 （2）当?<α