中考复习讲义 圆的基本概念与性质(含答案)

圆的基本概念与性质

1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成

的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

一 与圆有关概念

【例1】 判断题

（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆

( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等

( )

中考说明

自检自查必考点

中考必做题

（7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧

( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R

( )

【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√

【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，

EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )

A ．a b c >>

B ．a b c ==

C ．c a b >>

D ．b c a >>

O

N M

H

G

F

E D

C B A

【答案】B

【例3】 如图，直线12l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、

C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=?，则∠1的大小为

________

【答案】72°

【例4】 如图，ABC ?内接于O ，84AB AC D ==，

，是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ?是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．

【答案】解：当4BD =时，PAD ?是以AD 为底边的等腰三角形．

证明：∵P 是优弧ABC 的中点 ∴PB PC = ∴PB PC =

在PBD ?与PCA ?中， ∵4PB PC

PBD PCB BD AC =??

∠=∠??==?

∴PBD PCA SAS ??≌（）．

∴PD PA =，

即4BD =时，PAD ?是以AD 为底边的等腰三角形．

【例5】 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑

动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ????滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ????滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为

_________

【答案】

4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为

1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．

二 垂径定理及其应用

【例6】 如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．

（1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若82BC ED ==，

，求O 的半径．

22ABC

AC OD BC BE OB S

BOD BOE BAC ⊥+==?

；；⑨是等腰三角形；⑩∽2）∵OD BC ⊥，

1

BE CE ==

设O 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-， 在Rt OEB 中，由勾股定理得：

2222

2224OE BE OB R

R +=-+=，即（），

解得：5R = ，

∴O 的半径为5．

【例7】 如图，在

O 中，120,3AOB AB ∠=?=，则圆心O 到AB 的距离=_______

【答案】

2

3

【例8】 如图，D 内接于

O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O

于点E , 连接,AE BE 则下列五个

结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤1

2

AB ACB =，正确结论的个数是( )

A ．2

B ．3

C ． 4

D ．5

【答案】A

【例9】 如图，AB 为

O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=?,那么A ∠的大小为（ ）

A

A ． 70?

B ． 35?

C ． 30?

D ．20?

【答案】B

【例10】 如图，AB 是

O 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O 的直径为（ ）

B

A

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

【答案】A

【例11】 如图，O 是ABC ?的外接圆，60BAC ∠=?，若

O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）

A ．1

B C ．2

D ．

【答案】D

【例12】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，

配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）

A ．2

B

C ．

D ．3

【答案】B

【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个

圆．

如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD

==

，由勾股定理得半径OA =

O

D

C

B

A

【例13】 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥

AB ，且CD = 24 m ，

OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 12

13

． （1）求半径OD ；

（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？

【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =1

2

CD =12．

在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =

ED OD =12

13

， ∴OD =13（m ）． （2）OE

5． ∴将水排干需：50.510÷=小时．

【例14】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）

A

B

C

D

A ．5米

B ． 8米

C ．7米 D

．米 【答案】B

【例15】 如图，AB 为

O 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8O C C D ==,则AE =_______

O

B

A

【答案】2

【例16】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离

OC 是6，则水面宽AB 是（ ）

A ．16

B ．10

C ．8

D ．6 【答案】A

【例17】 已知，如图，1O 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求

1O 的半径。

【答案】过1O 作1O C AB ⊥,垂足为C ,则有．由A （1,0）、B ( 5，0)，得4AB =，2AC ∴=．

在1

R t A O C ?

中，∵1O 的纵坐标为5。∴

1O 的半径 1O A = 221AC C O +=222)5(+=３

【例18】 已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，求弦AB 与CD 间的距离．

【答案】本题有两种情况：（1）AB ，CD 在圆心O 的同侧，

当AB ，CD 在圆心O 的同侧时，作OF AB ⊥于F ， 交CD 于E 如右图所示． ∵AB CD ∥，∴OE CD ⊥

由垂径定理知：120cm 2AF AB =

=，1

24cm 2

CE CD ==． 连结OA 与OC ，25cm OA OC ==．

∴7cm OE =

，15cm OF == ∴AB 与CD 之间的距离1578cm EF =-=

（2）AB ，CD 在圆心O 的两侧如右图所示，AB 与CD 之间的距离15722cm EF =+=． 【例19】 在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、

BAC ∠的度数为________．

【答案】此题分两种情况讨论：（1）若AB AC 、在圆心O 的同侧，如图

连结OA ，过O 点分别作OD AB OE AC ⊥⊥，

，垂足分别为D E 、

则AD AE =

=

，∴3045OAD OAE ∠=?∠=?，， ∴453015BAC DAE ∠=∠=?-?=?．

（2）若AB AC 、在圆心O 的异侧，如图根据圆的对称性，75BAC ∠=? 综上所述，BAC ∠的度数为15?或75?．

【例20】 如图，AB 是

O 的直径，BC 是弦，CD AB ⊥于E ,交BC 于D ,

（1）请写出四个不同类型的正确结论。

（2）连接,CD BD ,设,CDB ABC αβ∠=∠=,试找出α与β之间的关系，并给与证明。

D

【答案】(1)①BE CE =;

②BD CD =； ③90BED ∠=?;

④BOD A ∠=∠（2）答案不唯一，（如AC ∥OD ；AC BC ⊥;BOE BAC ??∽等也可）（２） 同弦所对的圆周角相等或互补．180αβ+=?

【例21】 问题探究

（1）在图①的半径为R 的半圆O 内（含弧），画出一边落在直径MN 上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？

（2）在图②的半径为R 的半圆O 内（含弧），画出一边落在直径MN 上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？

问题解决

（3）如图③，现有一块半径6R =的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN 上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？

【答案】如图

（12 ；

（2）24

5

R ；（3）36 【例22】 如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H T 、两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D

处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D 的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．

【答案】方法一：如图①，画TH 的垂线L 交TH 于D ，则点D 就是TH 的中点，

依据是垂径定理；

方法二：如图②，分别过点T H 、画HC TO TE HO HC ⊥⊥，

，与TE 相交于点F ， 过点O F 、画直线L 交HT 于点D ，则点D 就是TH 的中点， 由画图知，Rt HOC Rt TOE ≌，易得HF TF =，又OH OT =， 所以点O F 、在HT 的中垂线上，所以HD TD =； 方法三：如图③．（原理同方法二）

【题1】 如图，已知AB 是

O 的弦，半径6,120OA AOB =∠=?，则AB = _____

【答案】作OC AB ⊥于C ，则OC 平分AB .

120,30AOB A ∠=?∴∠=?．

cos 6AC OA A ∴=∠== 2AB AC ∴==

【题2】 如图，海边立有两座灯塔A B 、，暗礁分布在经过A B 、两点的弓形（弓形是

O 的一部分）区

域内，

80AOB ∠=?．为了避免触礁，轮船P 与A B 、的张角APB ∠的最大值为_____

【答案】40?

【解析】当点P 在优弧AB 上时，APB ∠的值最大，等于1

402

AOB ∠=?． 【题3】 如图，AB 是

O 的直径，点C D 、都在O 上，连结,CA CB DC DB ，，．已知30D ∠=?

3BC =，则AB 的长是_____

课后作业

【答案】6

【解析】,30BC BC A D =∴∠=∠=?．

90,2236ACB AB BC ∠=?∴==?=

【题4】 如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，?=∠108AOC 。点D 在AB 延长线上，BC BD =，

则D ∠=___________．

D

【答案】27? 【解析】∵11

1085422

ABC AOC ∠=

∠=??=? 11

,5422

BC BD D BCD ABC =∴∠=∠=∠=??27=?

【题5】 如图，BAC ∠所对的（图中BC ）的度数为120?，

O 的半径为5，则弦BC 的长为_____

【答案】

【解析】连结OB OC

、，过O 作OD BC ⊥于D ．

BAC ∠所对的BC 的度数为120?，

120BOC ∴∠=?．

180120,302

OB OC OBD ?-?

=∴∠=

=?．

又

5,OB =∴在Rt OBD ?中，

cos 5cos305BD OB OBD =∠=??==

由垂径定理得弦22BC BD === 【题6】 如图，

O 的两条弦AB CD 、互相垂直，垂足为E ，且AB CD =，已知13CE ED ==，，则

O 的半径是____

【解析】如图，作OF CD ⊥于F ，OG AE ⊥于G ，

由垂径定理得，11

(13)222

CD DF CD ==

=+= 1.OF EF ∴==连结OD ，在ODF ?

中，

由勾股定理得，OD ==．

【题7】 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，

路面10AB =米，净高7CD =米，则此圆的半径OA =（ ）

A ．5

B ．7

C ．375

D ．37

7

【答案】D

【解析】考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角

三角形进行计算．

解：CD AB ⊥,根据垂径定理和勾股定理可得．由垂径定理得5AD =米，

设圆的半径为r ，则结合勾股定理得222

OD AD OA +=，即2

2

2

(7)5r r -+=，

解得37

7

r =

米． 【题8】 如图，已知AB 是

O 的弦，半径20,120,OA cm AOB =∠=?求AOB ?的面积．

【难度】4星

【解析】如图，作OC AB ⊥于C ，则1

,2AOB AC BC AB OC S ?==．

作OC AB ⊥于点C ，则有1

,602

AC CB AOC AOB =∠=∠=?．

在Rt AOC ?中，20OA cm =

所以,10AC OC cm ==

，所以2

1)2

AOB S AB OC cm ?==

【答案】

【题9】 如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响

区域的半径为260千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离P 点480千米． （1）说明本次台风是否会影响B 市；

（2）若这次台风会影响

B 市，求B 市受台风影响的时间．

【答案】（1）作BH PQ ⊥于点H ．

在Rt BHP 中，

由条件知，480754530

PB BPQ =∠=?-?=?，， ∴48030240260BH sin =?=＜， ∴本次台风会影响B 市．

（2）如图，若台风中心移动到P 1时，台风开始影响B 市，台风中心移动到P 2时，台风影响结束． 由（1）得240BH =，由条件得12260BP BP ==，

圆

考点一：利用垂径定理进行证明或弦长的有关计算

考点二：垂径定理与方程思想的结合

考点三：图形与圆心位置的不确定性

考点四：垂径定理的实际应用

考点五：三角形的外接圆

考点六：圆的对称性

考点七：等量关系定理（圆心角、弧、弦、弦心距关系定理）考点八：垂径定理与等量关系定理的综合应用

考点九：圆周角定理及推论的应用

考点十：圆内角与圆外角度数的求法

考点十一：圆内接四边形的性质

考点十二：点和圆的位置关系

考点十三：直线和圆位置关系的判定

考点十四：切线的性质及判定

考点十五：切线长定理

考点十六：三角形的内切圆

考点十七：圆与圆的位置关系

考点十八：正多边形与圆

考点十九：扇形有关计算

考点二十：圆柱和圆锥有关计算

考点一：利用垂径定理进行证明或弦长的有关计算

【例1】若圆O 的半径为5厘米，圆心O 到弦AB 的距离为3厘米，则弦长AB 为 厘米． 【例2】如图，点P 为圆O 弦AB 的中点，PC OA ⊥，垂足为C ，求证：PA PB AC OA ?=?

【例3】如图，AB 是O 的直径，弦CD 和AB 的交角30APC ∠=?,1BP cm =，5AP cm =，则CD =___

考点二：垂径定理与方程思想的结合

【例4】如图，圆弧形桥拱的跨度12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为___________

【例5】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则

22_______AB CD +=

考点三：图形与圆心位置的不确定性

【例6】O 的半径是5，AB 、CD 为O 的两条弦，且AB CD ∥，6AB =，8CD =，求AB 与CD 之间的

距离．

【例7

O 中，弦AB 、AC 的长分别为2

BAC ∠的度数为______

P C

B

A

O

B

A

考点四：垂径定理的实际应用

【例8】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶

部为长方形并高出水平面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

考点五：三角形的外接圆

【例9】若三角形的三边长为3，3

， ）

A.92

π B.9π C.12π D.无法确定

【例10】等边三角形的外接圆半径为6cm ，则此三角形边长为_________

考点六：圆的对称性

【例11】如图，AB 是

O 的直径，AC 的度数为60?，BE 的度数为20?，且AFC BFD

∠=∠，AGD BGE ∠=∠，则FDG ∠的度数为________

【例12】已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上

一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是________．

考点七：等量关系定理（圆心角、弧、弦、弦心距关系定理）

【例13】如图，在圆O 中，AB AC =，D 为AB 的中线，E 为AC 中点，30ODE ∠=?，则______DOE ∠=

B

A

O E D

B A

P

N

M

O B A

【例14】如图所示，在圆O 中，AB CD =，AB 、CD 交于点P ，试探究PA 与PD 间的数量关系

【例15】如图，ABC ?中，60A ∠=?，圆P 与ABC ?各边相交，且EF GH MN ==，则BPC ∠的度数为______

考点八：垂径定理与等量关系定理的综合应用

【例16】如图所示，C 为AB 中点，OA CD ⊥于M ，CN DB ⊥于N ，且BD 为直径，若ON a =，求CD 的

长度

【例17】如图，已知圆O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC EB =

⑴求证：CEB CBD ??≌

⑵若3CE =、5CB =，求DE 的长

考点九：圆周角定理及推论的应用

【例18】如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB CD ⊥，如果70BOC ∠=?，那么A ∠的度数为( )

A.70?

B.35?

C.30?

D.20?

A N

M H G F E P C

B

A

O N

M

D

C

B

A B A

C

D A

O

【例19】如图, O 的半径为2，点A 为O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，1OD =,则BAC ∠=________?．

【例20】如图，O 是ABC ?的外接圆，已知50ABO ∠=?，则ACB ∠的度数是

．

【例21】

AB 为O 的直径，它把圆分成上、下两个半圆，从上半圆上一点C 作弦CD AB ⊥

，OCD ∠的平

分线交O 于点P ，则当点C 在上半圆（不包括A

、B ）移动时，点P （ ） A.到CD 的距离不变 B.位置不变

C. 等分DB

D.随C 点的移动而移动

【例22】如图所示，AD 为锐角ABC ?外接圆O 的直径，AE BC ⊥于E ，交外接圆于F

求证：BAD CAF ∠=∠

考点十：圆内角与圆外角度数的求法

【例23】如图，O 的弦AD 、BC 交于点E ，

AB 的度数为60?，CD 的度数为20?，则AEB ∠的度数为______

【例24】如图，O 的弦AC 、BD 的延长线交于点E ，AB 的度数为60?，CD 的度数为20?,则AEB ∠的

度数为______

考点十一：圆内接四边形的性质

【例25】如图，已知O 是正ABC ?的外接圆，D 为BC 上一点，BD 的延长线交AC 的延长线于点E ，

求证：2AC BD BE =?

D

C

B

A O C

B

A

O P

D

C O

B

A D

B

E

B

【例26

，面积为( )

C.94

π

D.

考点十二：点和圆的位置关系

【例27】O 中，平面内一点P 到圆的最大的距离为5cm ，最小距离为3cm ，求此圆的半径

【例28】如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC =、10AB =，CD 为斜边AB 上的中线，以AC 为直

径作O ，设线段CD 的中点为P ，则P 与O 的位置关系是（ ）

A.点P 在O 内

B.点P 在O 上

C.点P 在O 外

D.无法确定

【例29】如图，BD 、CE 为ABC ?的两条高，求证：B 、C 、D 、E 四点在同一圆上

考点十三：直线和圆位置关系的判定

【例30】在Rt ABC ?中，90C ∠=?，3AC =cm ，5AB =cm ，以点C 为圆心，2cm 为半径的圆和AB 的

位置关系是__________

【例31】圆O 半径为6cm ，P 在直线l 上，且6OP =cm ，则直线l 与圆O 的位置关系是__________

考点十四：切线的性质及判定

【例32】如图，直角梯形ABCD 中，90A B ∠=∠=?,AD BC ∥,E 为AB 上一点，DE 平分ADC ∠，CE 平

分BCD ∠，AB 为O 直径，求证：O 与CD 相切。

D

E

D B

A E D

C

B

A