2019年人教版最新高考数学练习题---文科圆锥曲线Word版
2019年人教版最新高考数学练习题---文科圆锥曲线Word 版
一、选择题
1.【2012高考新课标文4】设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )12
F F 22
22:1(0)x y E a b a b +=>>P 32
a x =12PF F ?30E
【答案】C
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题.
【解析】∵△是底角为的等腰三角
形,
21F PF 030
∴,,∴=,∴,∴=,故选 C.0260PF A ∠=212||||2PF F F c ==2||AF c
322c a =
e 34
2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( ),A B
AB =C
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为:,设等轴双曲线方程为:,将代入等轴双曲线方程解得=,∵=,∴=,解得=2,4x =222x y a -=4x =y
||AB a
∴的实轴长为4,故选C.C
3.【2012高考山东文11】已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为
1
C 22
22
1(0,0)
x y a b a b -=>>22:2(0)C x py p =>1C 2C
(A) (B) (C) (D)2x y =
2x y =2
8x y =216x y = 【答案】D
考点:圆锥曲线的性质
解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a ,b ,c 的关系可知,此题应注意C2的焦点在y 轴上,即(0,p/2)到直线的距离为2,可知p=8或数形结合,利用直角三角形求解。a b 3=x y 3=
4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点,焦距为,一条准线为,则该椭圆的方程为44x =-
(A ) (B ) 2211612x y +=22
1
128x y += (C ) (D )22184x y +=22
1
124x y +=
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程。,,a b c
【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,
所以。故选答案C 242c c =?=4x =-x 2
2448
a a c c
=?==
222844b a c =-=-=
5.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点,点在
上,,则
1F 2F 22
:2C x y -=P C 12||2||PF PF =12cos F PF ∠= (A ) (B ) (C ) (D )
1435344
5
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解:由题意可知,,设,则,故,,利用余弦定理可得。
,2a b c ==∴=12||2,||PF x PF x =
=12||||2PF PF x a -==
=12|||PF PF ==124
F F
=222121212123
cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠===?
6.【2012高考浙江文8】 如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M ,N 是双曲线的两顶点。若M ,O ,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是
【答案】B
【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质,通过
对两者公交点求解离心率的关系.
【解析】设椭圆的长轴为2a ,双曲线的长轴为,由M ,O ,N 将椭圆长轴四等分,则,即,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为c ,则双曲线的离心率为,,.2a '222a a '=?2a a '=c e a '=
'c e a =2e a e a '=='
7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )x O
0(2,)M y M 3||OM =
A 、
B 、
C 、
D 、
4【答案】B
[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,0,2
p
2
p -
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点M 到准线的距离).
8.【2012高考四川文11】方程中的,且互不相同,在所有这些方
程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
22
ay b x c =+,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-,,a b c
A 、28条
B 、32条
C 、36条
D 、48条
【答案】B
[解析]方程变形得,若表示抛物线,则22ay b x c =+2
22b c y b a x -=
0,0≠≠b a
所以,分b=-2,1,2,3四种情况: (1)若b=-2, ; (2)若
b=2, ??
???======2,1,033
,1,0,23
,2,0c ,1或或,或或或或c a c a a ??
?
??-==-===-=1,0,233,0,2c ,13
,1,0,2或或,或或或或c a a c a 以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条; 同理 若b=1,共有9条; 若b=3时,共有9条. 综上,共有14+9+9=32种
[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
9.【2012高考上海文16】对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的( )m
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】方程的曲线表示椭圆,常数常数的取值为所以,由得不到程的曲线表示椭圆,因而不充分;反过来,根据该曲线表示椭圆,
能推出,因而必要.所以答案选择 B.122=+ny mx n m ,0,
0,,m n m n >??>??≠?0
mn >122=+ny mx 0mn >
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征,可以知道常数的取值情况.属于中档题.n m ,
10.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆
的离心率为22
2
21(0)x y a b a b +=>>
A. B. C. D. 1
4
1
2
【答案】B
【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:,,.又已知,,成等比数列,故,即,则.故.即椭圆的离心率为.1AF a c
=-122F F c =1F B a c =+1
AF 12
F F 1F B 2()()(2)a c a c c -+=2224a c c -=22
5a c
=c e a =
= 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程,然后化为有关的齐次式方程,进而转化为只含有离心率的方程,从而
求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等.,a c ,a c e
11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点
P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为22x a 2
2y b
A .-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[
220x 25y 25x 220y 280x 220y 220x 2
80
y 【答案】A
【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.22x a 2
2y b
c 210,5c c ==
又 C 的渐近线为,点P (2,1)在 C 的渐近线上,,即.
b y x a =±
12b
a
∴=2a b =
又,,C 的方程为-=1.2
2
2
c a b =+a ∴==∴220x 25
y
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.
12.【2102高考福建文5】已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),
则该双曲线的离心率等于22x a 2
5
y
324
3
【答案】C.
考点:双曲线的离心率。
难度:易。
分析:本题考查的知识点为圆锥曲线的性质,利用离心率即可。
a
c e =
解答:根据焦点坐标知,由双曲线的简单几何性质知,所以,因
此.故选C.
)0,3(3=c 952=+a 2=a 23
=
e
二 、填空题
13.【2012高考四川文15】椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是
______。
22
21(5x y a a +=a >F x m =A B FAB ? 【答案】,32
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又522=-c a
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.-
【答案】【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适中。
【解析】由双曲线的方程可知121,22,a c PF PF a ==∴-== 【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差—
积—和的转化。
15.【2012高考江苏8】(5分)在平面直角坐标系中,若双曲线
的离心率为,则的值为 ▲ .
xOy 22
21
4x y m m -=+m 【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得。22
214
x y m m -=+a b c
∴,即,解得。
=c e a 244=0m m -+=2m 16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.
l
【答案】.62
【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点的坐标为(0,0),O
设与抛物线的交点为,根据题意,知(-2,-2),(2,-2).l A B 、A B
设抛物线的解析式为,2ax y = 则有,∴. ()2
22-?=-a 2
1-=a
∴抛物线的解析式为.22
1x y -=
水位下降1米,则-3,此时有
或.y =
6=x 6-=x
∴此时水面宽为米.62
17.【2012高考重庆文14】设为直线与双曲线 左支的交点,是左
焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率 P 3b y x a =22
221(0,0)
x y a b a b -=>>1F 1PF x e =
18.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,
若,则=______。2
4y x =F ,A B ||3AF =||BF
【答案】3
2
【解析】设及;则点到准线的距离为(0)AFx θθπ∠=< :1l x =-3 得: 又1323cos cos 3θθ=+?=23 2cos()1cos 2 m m m πθθ=+-?= =+ 19.【2012高考天津文科11】已知双曲线与双曲线有相同的渐近 线,且的右焦点为,则 ) 0,0(1:22 221>>=-b a b y a x C 1 16 4:2 22=-y x C 1C F a =b = 【答案】1,2 【解析】双曲线的渐近线为,而的渐近线为,所以有,,又双曲 线的右焦点为,所以,又,即,所以。116422=-y x x y 2±=1 22 22=-b y a x x a b y ±=2=a b a b 2=122 22=-b y a x )0,5(5=c 222b a c +=2 22545a a a =+=2,1,12===b a a 三、解答题 20. 【2012高考天津19】(本小题满分14分) 已知椭圆(a>b>0),点P (,)在椭圆上。 (I )求椭圆的离心率。 (II )设A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。OQ 【解析】(Ⅰ) 点在椭圆上)P (Ⅱ) 设;则(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<(,0)A a 直线的斜率OQ sin cos OQ b k a θ θ = =21.【2012高考江苏19】(16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心 率. xoy 22 221(0)x y a b a b +=>>1(0)F c -,2(0)F c ,(1)e ,e ? ?e (1)求椭圆的方程; (2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P .,A B x 1AF (i )若,求直线的斜率; (ii )求证:是定值.12PF PF + 【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得 222== c a b c e a +,(1)e , 22222222222 22222 111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b +=?+?+??,∴。 22=1c a - 由点在椭圆上,得 e ? ? 2 2 2224222244 1311144=0=214e c a a a a a b a a -????+=?+=?+=?-+?∴椭圆的方程为。2 21 2x y += (2)由(1)得,,又∵∥,1(10)F -,2(10)F ,1AF 2BF ∴设、的方程分别为,。 1AF 2BF =1=1 my x my x +-,()()11221200 A x y B x y y >y >,,,,, ∴。( ) 2 2122 111111 1221=02 =1 x y m y my y my x ?+=??+--???+? ∴ 。 ① 1 AF= 同理,。② 2 BF (i)由①②得,。解 得=2。 12 AF BF - 2 m ∵注意到,∴。0 m>m ∴直线的斜率为。1 AF 1 m (ii)证明:∵∥,∴,即。1 AF 2 BF 2 11 BF PB PF AF = 2121 1111 11 BF PB PF BF AF PB PF AF PF AF ++ +=+?= ∴。 1 11 12 = AF PF BF AF BF + 由点在椭圆上知, ,∴。B12 BF BF += () 1 12 12 = AF PF BF AF BF + 同理。。 () 2 21 12 = BF PF AF AF BF - + ∴ ( )() 122 1221 121212 2 += AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF -+-=- +++ 由①②得,,, 1 AF BF + 2 2 1 = 2 m AF BF m + + ∴。12 + PF PF ∴是定值。12 PF PF + 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。 【解析】(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。(1)e , e ? ? (2)根据已知条件,用待定系数法求解。12 AF BF -= 22.【2012高考安徽文20】(本小题满分13分) 如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点, 是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点, =60°.2 1 ,F F C2 2 a x 2 2 b y > >b a A C B2 AF C 1 F ∠A 2 F (Ⅰ)求椭圆的离心率;C (Ⅱ)已知△的面积为40,求a, b 的值. A B F 1 3 【解析】(I) 12 1 602 2 c F AF a c e a ο ∠=?=?== (Ⅱ)设;则 2 BF m = 1 2 BF a m =- 在中, 12 BF F ?222 1212212 2cos120 BF BF F F BF F Fο =+-?? 面积 1 A F B ? 21113sin 60()22510,5,S F F AB a a a a c b ο=??????+=?=== 23.【2012高考广东文20】(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为,且点在上. xOy 1C 22 221 x y a b +=0a b >>1(1,0)F -(0,1)P 1C (1)求椭圆的方程;1C (2)设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.l 1C 2 C 24y x =l 【答案】 【解析】(1)因为椭圆的左焦点为,所以,1C 1(1,0)F -1c = 点代入椭圆,得,即, (0,1)P 22221x y a b +=21 1b =1b = 所以,222 2a b c =+= 所以椭圆的方程为.1C 22 12x y += (2)直线的斜率显然存在,设直线的方程为,l l y kx m =+ 2 212 x y y kx m ?+=???=+?,消去并整理得,y 222(12)4220k x kmx m +++-= 因为直线与椭圆相切,所以,l 1C 2222164(12)(22)0k m k m ?=-+-= 整理得 ①22 210k m -+= 24y x y kx m ?=?=+?,消去并整理得。y 222 (24)0k x km x m +-+= 因为直线与抛物线相切,所以, l 2C 222 (24)40km k m ?=--= 整理得 ②1km = 综合①②,解得或。k m ?=?? ?= ?k m ?=???=? 所以直线的方程为或。 l y x = +y x = 24.【2102高考北京文19】(本小题共14分) 已知椭圆C :+=1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0),离心率为, 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与不同的两点M,N 22x a 22y b (Ⅰ)求椭圆C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为时,求k 的值 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的,相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。 解:(1)由题意得解得.所以椭圆C 的方程为 .2222a c a a b c =???=? ?=+? ? b =22 142 x y += (2)由得.22 142 x y ??+ =??2222(12)4240k x k x k +-+-= 设点M,N 的坐标分别为,,则,,,.11(,)x y 22(,)x y 11(1)y k x =-22(1)y k x =-2122412k x x k += +2122 24 12k x x k -=+ 所以 |MN|===. 由因为点A(2,0)到直线的距离,(1y k x =- )d = 所以△AMN 的面积为. 由,解得 .1||2S MN d =?= = 1k =± 25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分) 如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD 的面积为 8.22 22:1(0) x y M a b a b +=> >x a =±y b =± (Ⅰ)求椭圆M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线与椭圆M 有两个不同的交点与矩形ABCD 有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m 的值.:()l y x m m =+∈R ,,P Q l ,S T || ||PQ ST 【答案】(21)(I) ……① 222 34c a b e a a -==?= 矩形ABCD 面积为8,即……②228a b ?= 由①②解得:,2,1a b == ∴椭圆M 的标准方程是.2 21 4x y += (II),2258440,x mx m y x m ?++-=? =+? 设,则,1122(,),(,)P x y Q x y 21212844 ,55m x x m x x -+=-= 由得. 22 6420(44)0m m ?=-->m << ||PQ ==. 当过点时,,当过点时,.l A 1m =l C 1m =- ①当时,有,1m <<-(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+ ||||PQ ST == 其中,由此知当,即时,取得最大值. 3t m =+13 4 t = 45 ,(1)33t m ==-∈-||||PQ ST ②由对称性,可知若,则当时,取得最大值.1m << 53m = || || PQ ST ③当时,,,11m -≤≤||ST =||||PQ ST = 由此知,当时,取得最大值.0m =||||PQ ST 综上可知,当和0 时,取得最大值.53m =±||||PQ ST 26.【2102高考福建文21】(本小题满分12分) 如图,等边三角形OAB 的边长为,且其三个顶点均在抛物线E : x2=2py (p >0 )上。(1) 求抛物线E 的方程; (2) 设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线y=-1相较 于点Q 。证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点。 考点:圆锥曲线的定义,直线和圆锥曲线的位置关系,定值的证明。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为抛物线方程的求解,直线和圆锥曲线的联立,定值的表示及计算。 解答: (I )设;则1122(,),(,)A x y B x y 2211222,2x py x py == 得:点关于轴对称(lfxlby ),A B y 代入抛物线的方程得:抛物线的方程为E 2 22x p y ==?E 24x y = (II )设;则200(,)4 x P x 211 42y x y x '=?= 过点的切线方程为即P 200011()42y x x x x -=-2001124 y x x x =- 令2 00 4 1(,1)2x y Q x -=-?- 设满足:及(0,)M t 0MP MQ =20000 4 (,),(,1)2x MP x y t MQ t x -=-=-- 得:对均成立2204(2)(1)0t t t x +-+-=00x ≠ 以为直径的圆恒过轴上定点PQ y (0,1)M 27.【2012高考上海文22】(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分 在平面直角坐标系中,已知双曲线 xOy 22 :21C x y -= (1)设是的左焦点,是右支上一点,若,求点的坐标;F C M C MF =M (2)过的左焦点作的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;C C (3)设斜率为()的直线交于、两点,若与圆相切,求证:⊥k k [解](1)双曲线,左焦点.1:22 12=-y C x )0,(26-F 设,则, (2) 分) ,(y x M 2 2 2222 62) 3()(||+ =++ =x y x MF 由M 是右支上一点,知,所以,得.2 2≥ x 223||2 2 =+ =x MF 2 6= x 所以. ……5分)2,(26±M (2)左顶点,渐近线方程:.)0,(22-A x y 2±= 过A 与渐近线平行的直线方程为:,即.x y 2=)(22 2+ =x y 12+=x y 解方程组,得. ……8分