(第7章)椭球面上的基本计算

第七章椭球面上的基本计算

§1 地球椭球的基本知识

一、地球形状的概念

地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面； ∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；

又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。

∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。

结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。大地体——大地水准面包围的形体；

地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；

总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。应满足： ①其中心应与地球质心重合；

②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合； ③体积应与大地体体积相等；

④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。二、椭球的几何元素与参数 1.椭球的元素

长半径：a 短半径：b 2.椭球的参数

扁率： α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率： b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离

3.关系式

21e b a '-= 21e a b -= )1(2e e e -'= )1(2e e e '-='

(1＋ e ′2

) (1－e 2)＝1

e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)

我国解放前使用海福特椭球等。解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS ）采用的是WGS-84椭球参数。这三个椭球的元素和参数参见P2表7-1。

练习及作业： 1.阅读

①《控制测量学》上册，§1.2 1.2.1、1.2.2 ②《控制测量学》下册，§7.1 2.思考

①如何理解大地水准面是测量外业的基准面？为什么不能作为测量计算的基准面？ ②如何旋转椭圆得到参考椭球？

§2 椭球上点的位置的确定

一、椭球上点的高程位置的确定

大地高H 大——地面点沿法线方向到参考椭球面的距离。大地高可以由以下两种方法求得：

H 大＝H 正＋N

式中：H 正——B 点的正高高程

N ——大地水准面差距（见大地重力学中斯托克司公式）

H 大＝H 常＋ζ

式中：H 常——B 点的正常高高程

ζ——高程差异或高程异常（见重力测量学）

因正常高能精确求得，ζ亦能严密解算，故，此方法是严密的。

（注：①大地水准面与似大地水准面很接近，在高山区最大差异不超过±4m ，在平均海水面上两面重合，即H 0

正＝H 0

常；②B 点法线与重力线非常接近，其差异对高程的影响很小，讨论高程时可不予考虑）

二、椭球面上点的平面位置的确定 1.椭球面上的线和圈

子午圈——包含短轴的平面与椭球面的截线；亦称经圈，经线，子午线。

①大地坐标系与子午面直角坐标系的关系

点在两坐标中大地经度L 相同，推导大地纬度B 与直角坐标x ，y 的关系如下：因曲线在P 点处的一阶导数x y

d d 就是P 点处曲线切线的斜率，即： B B x y cot )90tan(d d -=+=

又，对子午椭圆方程式122

22=+b y a x 微分，有： 0d d 2222=+x y b y a x 即： y

x a b x y ?-=2

d d

因2

1e a b -=，故：

e x y )1(d d 2--= 即： y

x e B )

1(cot 2--=-

也即： y ＝x tan B (1－e 2) (1) 将（1）式代入椭圆方程，得：

1)1(tan 2

22222=-+b e B x a x (2) 由（1），（2）两式可得：

B W

e B a x cos sin 1cos 22=

﹡ B e W

e B e a y sin )1(sin 1sin )1(2222-=

--=

②大地坐标系与空间直角坐标系的关系

空间M 点的大地坐标为L ，B ，H ；其空间直角坐标为X ，Y ，Z 。首先推导空间直角坐标系与子午面直角坐标系关系如下：

X m ＝x m cos L

Y m ＝x m sin L

（1） Z m ＝y m

又，从右图可知：

x m ＝x p ＋H cos B ＝(a /W )cos B ＋H cos B （2）

y m ＝y p ＋H sin B ＝(a /W )(1－e 2

)sin B ＋H sin B

将（2）代入（1）得：

X m ＝x m cos L ＝(N ＋H )cos B cos L

Y m ＝x m sin L ＝(N ＋H )cos B sin L (3)

Z m ＝y m ＝(N －Ne 2

＋H )sin B

式中：N ＝a /W

Ne 2＝ae 2/W

练习及作业： 1.阅读

§7.2 浏览已知空间直角坐标计算大地坐标的（7-31）、（7-32.）、（7-34）式 2.作图并复习定义 ①大地坐标系 ②子午面直角坐标系 ③空间直角坐标系

3.思考

①大地坐标系与子午面直角坐标系如何建立关系？ ②大地坐标系与空间直角坐标系如何建立关系？

§3 几种主要的曲率半径

一、子午曲率半径M 已知，平面曲率半径公式

322

d d ])d d (1[)

1(x y x y y y -=

''-=

ρ 因：

B B x

cot )90tan(d d -=+= )

1(sin )sin 1(d d sin 1d d 232

322222e B a B e x B B x y ---=?= （参见上节﹡式）

代入平面曲率半径公式，得子午曲率半径公式

3222)

sin 1()1(B e e a M --= 由上式知：M B ＝0°＝a －ae 2（赤道处子午曲率半径小于a ）

b a M B 290=

﹡（两极处子午曲率半径大于a ） ﹡

b e =-21 二、卯酉曲率半径N

1.麦尼尔第二定律（参见微分几何——北京测绘学院）

通过P 点引两个截弧：法截弧与斜截弧。法截弧的曲率半径为N ，斜截弧的曲率半径为r ，若法截弧与斜截弧在P 点有公共切线，则r ＝N cos B （B 为两曲率半径的夹角）。

2.卯酉曲率半径

取法截弧为卯酉圈，斜截弧为平行圈，根据麦尼尔第二定律，有：

x B r N cos cos =

式中 x ——P 点在子午面直角坐标系统中的x 坐标

B ——P 点的大地纬度将关系式B

e B a x 2

sin 1cos -=

代入上式得

e a N 2

sin 1-=

由上式知：N B ＝0°＝a （赤道处卯酉曲率半径等于a ）

b a N B 290==

﹡ （两极处卯酉曲率半径大于a ） ﹡a

b e =-21 3.子午、卯酉两曲率半径的关系

1cos 11cos 12

22≥'+=-+=B e e B e M N

当B ＝90°时，1=M

N ，即极点处b a N M 2==。b a 2

称为极半径。三、任意方向（大地方位角A ）法截弧的曲率半径R A

1.大地方位角定义 PQ 方向的大地方位角A PQ 为：过P 点法线和Q 点的平面，与P 点子午面之间的夹角（由正北顺时针计）。

2.大地方位角为A 的法截弧曲率半径欧拉公式： N A M A R A 2

2sin cos 1+= 故： A

M A N MN R A 2

2sin cos +=

由上式知： R A ＝0°＝M ； R A ＝90°＝N

A ：0～90°～180°时，R A ：M ～N ～M ——曲率半径具有对称性，即对称位置的法截弧在P 点有相同的曲率半径。

四、平均曲率半径R

1.平均曲率半径定义设过P 点可以做2π/⊿A 个法截线，各法截线的大地方位角为：0，⊿A ，2⊿A ，…，2π－⊿A ；过P 点的各法截线曲率半径平均值为： A

R R A

A ?π?π220

1∑-= 则平均曲率半径 A R R R A

A A A ?π?π??2lim lim 2000

1∑

-→→==

2.平均曲率半径计算公式

+=2

222d sin cos 4

ππ

A A M A N MN R （顾及曲率半径的对称性）

将上式改化成

?=+t t t arctan d 11

2的形式，分子、分母除以MN ，有：

?+=

22d sin cos 2ππA A N

M A M N MN

分母提取公因式

?+=

222

22d cos 1

)tan (

d ))tan (1(cos 2

ππ

N M A N

A N

M A M N MN

设A N M

t tan =

，A A

N M t d cos 1

d 2?=，积分上下限也变，则

MN MN t MN t t MN R =-=

?=+=

∞

)02

(

)(arctan 2

1d 2

2π

所以，平均曲率半径 MN R =

练习及作业： 1.阅读

§7.3 浏览7.3.3主曲率半径的计算；7.3.6及表7-4、7-5 2.思考

①子午曲率半径和卯酉曲率半径，当B 由0～90°时的变化； ②子午曲率半径和卯酉曲率半径的大小关系； ③什么是大地方位角？

§4 弧长的计算

一、子午线长度

由图知： d S ＝M d B

即： d S ＝a (1－e 2)(1－e 2sin 2B )-3/2d B 故：

???----=--==2

d )sin 1()1(d )sin 1()1(d 2322223222B B B B B B B B B

B e e a B B e e a S S

求积分过程：

1）将积分项用二项式定理（形如下式）展开：

(1－x )n ＝1－nx ＋(1/2!)n (n －1)x 2－(1/3!)n (n －1)(n －2)x 3＋…

2）应用三角函数积分递推公式逐项积分（先将正弦指数函数化为余弦的倍角函数，形如下式）：

sin 2B ＝1/2－(cos2B )/2

……

3）整理合并同类项，得子午线上弧长P16，7-97式。该式B 1＝0（即从赤道起算的子午弧长公式）。（注：当弧长S ≤40km ，可把子午圈视为圆弧，圆的半径为其中纬度B m ＝(B 1＋B 2)/2处的子午曲率半径

M m ，则子午弧长公式为：S ＝M m (B 2－B 1)″ /ρ″。该式精度当S ≤40km 时，可达1mm 。）

二、平行圈长度

由图知： S ′＝l ?r

r ＝N cos B （麦尼尔第二定律）

ρ'

'''='l B

N S cos 式中：N ——卯酉曲率半径

B ——平行圈所处的大地纬度 l ——弧长S 所对应的经度差

由上式知，相同经差l 的平行圈长度S ′，因所处纬度B 不同而不同。

练习及作业：

阅读浏览§7.4.4 观察表7-6数值

§5 相对法截弧与大地线

一、相对法截弧图中：

N 1，N 2——A ，B 点的曲面法线

K a ，K b ——A ，B 点曲面法线与旋转轴交点 OK a ＝A 1K a －A 1O ＝A 1K a －y A

＝N 1sin B 1－a (1－e 2)sin B 1(1－e 2sin 2B 1)-1/2 ＝ae 2sin B 1(1－e 2sin 2B 1)-1/2 OK b ＝ae 2sin B 2(1－e 2sin 2B 2)-1/2

由上可知，椭球面上点的法线与旋转轴的交点： 1）交点位置仅与点的纬度B 有关； 2）若两点B 2＞B 1，则有OK b ＞OK a ；

3）B 相等（平行圈上）的所有点，其法线交短轴于一点；

4）L 相同，B 不等的所有点的法线，与旋转轴相交不在一点，但在一个平面内； 5）B ＝0（赤道上）所有点的法线交于椭球O 点；

6）L 不同，B 不同的两点，其法线将在空间交错，而互不相交。

设在椭球上（忽略垂线偏差的影响）A 点和B 点分别安置经纬仪，仪器纵轴分别与Ak a ，BK b 重合，则：由A 照准B →AaBK a 法截面→AaB 截线；由B 照准A →BbAK b 法截面→BbA 截线。

由上述6）可知，两法截线N 1，N 2空间交错，故两法截面AaBK a 与BbAK b 不重合。所以，两法截线AaB

与BbA 不重合，称：

AaB 与BbA 为A 、B 两点间的相对法截弧。 AaB 为A 的正法截弧，B 的反法截弧； BbA 为B 的正法截弧，A 的反法截弧；

相对法截弧通常不重合，造成在椭球面上A ，B ，C 三个点测得的角度（各点的正法截弧之夹角），不能构成闭合三角形。

故，有必要在两点间选一条单一的方向线——大地线，得出由大地线组成的单一闭合三角形。

二、大地线定义及其性质

1.几个概念（微分几何概念） 1）密切平面：“包含曲线上一点处的切线和曲线上无限趋近该点的另一点”

的平面；

2）法线：曲线上“正交于切线的一切直线”； 3）主法线：曲线上“位于密切平面内的法线”； 4）曲面法线：曲面上“与一点处切平面正交的线段”。 2.大地线定义及其性质

1）定义微分几何定义：大地线上每点的密切平面包含该点的曲面法线；或：大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合；

或：曲面上两点间的最短线叫大地线。

2）性质 ①椭球面上的大地线是一条空间双曲率曲线（子午圈和赤道是特例）；

②大地线是两点间距离最短的曲线。 3）旋转曲面上大地线的克莱劳定理

r ?sin A ＝C

式中：r ——大地线上某点所在的平行圈半径

A ——大地线在该点的大地方位角 C ——常数

定理的几何意义：就旋转椭球面而言，大地线上各点的平行圈半径r 与大地方位角的正弦的乘积为一常数。由克莱劳方程可知椭球面上大地线所经历的路线。图中为大地线从赤道上D 点处，以方位角A D 出发所经历的路线，一般不再返回到D ，而是到达D ′点（大地线沿子午圈：A ＝0°、赤道：A ＝90°才能返回原点）。

练习及作业： 1.阅读

§7.5 7.5.1；7.5.2 2.思考

①作图并理解相对法截弧不重合；

②从几何意义上理解大地线；

③理解大地线在测量计算上的意义。

§6 地面观测值归算到参考椭球面上

一、建立大地坐标系

1.基本原理

建立大地坐标系，就是确定代表地球形体的椭球的形状与大小（椭球参数）、中心的位置（定位）以及椭球旋转轴的方向（定向）。

⑴椭球参数的确定

椭球参数是通过弧度测量求得的。

在前空间大地测量时代，（近代）弧度测量利用天文、大地、重力测量资料，求得适合于局部范围的椭球几何参数。

进入空间大地测量时代以来，测量精度不断提高，在全球尺度上已达到几个厘米的量级。在这种精度的基础上，以前无需考虑的地球动力学因素现在必须加以考虑。同时，空间大地测量极大发展，促进现代弧度测量整体利用地面、空间的几何、物理大地测量数据，求得适合全球范围的几何和物理两个方面的椭球参数。

⑵椭球定位

①局部定位：在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳符合，椭球中心与地球质心不必重合。

②地心定位：在全球范围内椭球面与大地水准面有最佳符合，椭球中心与地球质心重合。

⑶椭球定向

规定应满足双平行条件

①椭球短轴平行地球自转轴

②大地起始子午面平行于天文起始子午面

综上：

满足双平行条件，经局部定位的椭球，叫参考椭球。参考椭球上的坐标系叫参心坐标系。

满足双平行条件，经地心定位的椭球，叫总地球椭球。椭球上的坐标系叫地心坐标系。

2.参考椭球定位与定向

⑴天文坐标系

①天文坐标系的概念

参考面——重力等位面（大地水准面）；

P点的天文子午面——过P点的铅垂线，且平行地球旋转轴的平面；

本初子午面——1884年：格林威治天文台艾里中星仪所在的子午面；1968年：平均天文台子午面；

P点的天文经度——P点的天文子午面与本初子午面之间的两面角（λ）

P点的天文纬度——P点的铅垂线与地球赤道的夹角（?）

天文方位角αPQ——过P点垂线和Q点的平面，与P点的天文子午面之间的夹角。

②天文、大地坐标的比较

⑵参考椭球定位与定向

①一点定位

选一个定位标准点P，用天文的方法，精确测定该点的天文坐标λ0，? 0，该点至另一点Q的天文方位角α，以及该点至大地水准面的高程H正。

0PQ

人为地假定参考椭球面上点P0的大地坐标、方位角、高程为：

L0＝λ0；B0＝?0；A0＝α0；H大＝H正

从而通过P点，使选定的参考椭球体与大地体的相互位置关系确定下来，P0点处大地水准面与参考椭球面重合。P0点称为大地基准点，其定位数据称为大地基准数据。

除P0点外的其它点：

1）有垂线偏差（地面点对大地水准面的垂线，与对参考椭球面的法线不重合，二者夹角u为垂线偏差）2）有大地水准面差距N。

（注：垂线偏差的大小、方向，与参考椭球的大小、形状、定位有关，故也称为相对垂线偏差）

②多点定位

多点定位是以多个点（如我国1980国家大地坐标系椭球定位，是在全国均匀地选了922个点），按∑ζ2＝min（ζ——高程异常）解算。这样，使局部（如我国境内）椭球面与大地水准面达到最佳密合，但对于坐标原点，大地水准面不再与椭球面相切，铅垂线与法线不重合而存在垂线偏差u。

③大地原点和大地起算数据

依据大地原点的天文观测值，通过椭球定位计算出大地原点在大地坐标系中的数据L K，B K，H K及至某一相邻点的大地方位角A K。这些数据用来推算控制网中其它点的坐标。L K，B K，A K叫做大地测量基准，也叫做大地测量起算数据，大地原点叫做大地基准点，也叫做大地起算点。

二、地面观测值化算到椭球面上

化算内容：

1.天文方位角α归算为大地方位角A

在地面上进行天文观测时，经纬仪的纵轴与垂线重合，因垂线与法线之间存在垂线偏差，故地面上测定的天文方位角α与大地方位角A不同。

（不加推导），给出天文方位角归算为大地方位角的公式如下：

A＝α－(λ－L)sin ?

或：A＝α－ηtan ?

式中：α——点到另一点的天文方位角（天文观测得到）

λ，?——点的天文经纬度（天文观测得到）

L——点的大地经度（推算得到）

η——垂线偏差的卯酉分量（查垂线偏差图或物理大地测量得到）

上式称拉普拉斯方程式，由它算得的方位角称拉普拉斯方位角。国家一二等大地网中，规定每隔一定间隔测定天文经纬度和天文方位角（《控制测量学》上册P15、P16）。其目的：1）利用天文方位角和天文经纬度计算拉普拉斯方位角，控制整个大地网的定向；2）根据天文经纬度和大地经纬度，计算这些点的垂线偏差（垂线偏差的子午分量ξ＝?－B；卯酉分量η＝(λ－L)cos ?），其余点的垂线偏差由物理大地测量得到。

2.方向值归算到椭球面上（三差改正）

①垂线偏差改正数δu

图为以测站P为中心的单位圆。

图中：P——测站

M——照准点

PZ——法线方向

PZ1——垂线方向

u——垂线偏差

ξ、η——垂线偏差的子午分量和卯酉分量

α1——观测方向的垂直角

N——北方向

由于u存在，观测方向M时，引起方向值的改正数为δu

δu＝－(ξsin A－ηcos A)tan α1

式中：ξ、η——可从垂线偏差图内插得到

A——PM边的大地方位角

R2＝R1＋δu

式中R2——以法线为准的方向值

R1——以垂线为准的方向值

通常，因ξ、η很小，α≈0，故δu很小，只有在一二等网才规定计算此项。但在山区或垂线偏差变化较

大地区，三四等网亦应计算此项。下面给出δu的数值概念：

②照准点高程引起的改正——标高差改正δh

如图：

——A 已做过垂线偏差改正，即A 点处经纬仪纵轴与椭球面法线一致； ——A 、B 两点沿各自的法线在椭球面上的投影为P 1、P 2。 ——按归算要求，地面点应沿各自的法线投影到椭球面上，所以AB 在椭球面上的方向应是P 1P 2的方向。 ——实测由A 照准B 点时，法截面ABK a 在椭球面上得到的法截弧是P 1P 2′，P 1P 2′与P 1P 2的夹角δh 是由B 点的高程引起，故应进行改正数δh 的计算，并将实测的P 1P 2′方向归算到P 1P 2方向。

122222

2sin cos 2A B H e M h

ρδ'

'=''

式中：M 2——照准点的子午曲率半径

H 2——照准点的大地高，H 2= H 常＋ζ＋v A 1——测站点至照准点的大地方位角 B 2——照准点的大地纬度

表中给出δh 的数值概念。若：B 2＝30°；A 12＝45°

③正法截弧方向归算到大地线方向的改正数——截面差改正δg

经过δu ，δh 改正后，已经将地面观测之水平方向值，化算为椭球面上的相应法截线方向。因相对法截线一般不重合，所以应将椭球面上法截线方向加截面差改正δg ，化为大地线方向。

112222

2sin cos 12A B S e N

g ρδ'

式中：N 1——1点处的卯酉曲率半径，以公里为单位

S ——1、2点间的距离，以公里为单位 B 1——1点的纬度

A 1——1至2点的大地方位角（注：相对法截弧之间的角差1122221

2sin cos 4A B S e N

ρ?'

）

δg 是一项很微小的改正，仅在国家一等网方向计算时顾及。至此，归算到参考椭球面上的方向值：

L ＝l ＋c ＋r ＋δu ＋δh ＋δg

式中：l ——测站平差值

c 、r ——归心改正数 δu 、δh 、δg ——三差改正

3.将地面测量的长度归算到参考椭球面上 ①基线尺量距的归算

1）垂线偏差对长度归算的影响

由于垂线偏差的存在，使得垂线和法线不一致，水准面不平行于椭球面；基线尺测得的长度值经倾斜改正后，可认为是基线平均水准面上的长度值S ′，首先应将其改成平行于椭球面的该高程面的长度S 0。

假设垂线偏差沿基线是线性变化的，则垂线偏差u 对长度归算影响为：

∑-'

'''=''''+''=

)(2)(1221

H H u h u u S m u ρ?ρ? 式中：u 1，u 2——1，2点处，垂线偏差在基线方向上的分量

H 1，H 2——1、2点的大地高

此项改正较小，且与垂线偏差分量u 1，u 2及两端点大地高差H 2－H 1有关，是否需要改正，需结合测区情况及精度要求具体分析。

2）高程对长度归算的影响经过垂线偏差改正后，得到平行于椭球面的基线高程面上的基线长度S 0，其在椭球面上的长度S 为： R

H R H R S S m m +=+=10

即： 10)1(-+=R

H S S m 展开取至二次项：

)1(22

H R H S S m

m +-=

式中：H m ＝(H 1＋H 2)/2

顾及垂线偏差对长度归算的影响，地面基线长度归算到椭球面上的长度公式为：

)()1(1210H H u R H S S m m -'

'''++

=-ρ ②电磁波测距的归算

已知大地点Q 1和Q 2之间用电磁波测距仪测得的直线距离D ，求大地点Q 1和Q 2沿法线在椭球面上的投影点Q 1′和Q 2′间的大地线长度。

推导公式过程中有两点近似：

1）椭球面上两点间的大地线长度与法截线长度之差极微小，可以忽略不计；

2)两点间法截线长度，与半径为起始点曲率半径的圆弧长相差亦很微小（当S ＝640km 时，二者相差0.3m ；S ＝200km 时，二者相差0.05m ），可以忽略不计。

故，所求大地线长度可以认为是半径R A 的圆弧长。由平面三角形Q 1Q 2O ，根据余弦定理有：

)

)((2)()(cos 212

2221H R H R D H R H R A A A A ++-+++=

σ 另： A

A R S R S 2sin 21cos cos 2-==σ

由以上二式可得： )

)((4)(2sin 2121222

H R H R H H D R S A A A ++--=

由上式解出： )

1)(1()(

12arcsin 2212

12A A A

R H R H D H H R D

R S ++--= 将上式按反正弦函数展开，舍去五次项，则得：

32121224)

1)(1()

(

1A A

A R D R H R H D H H D S +++--= （1）式中：H 1，H 2——大地高，H ＝H 常＋ζ（若要S 的精度不低于10-6级，D ＜10km 时，⊿h ＝H 1－H 2的精度须达

到0.1m ，H 本身的精度须达5m 级）

R A ——1点（大地方位角为A ）的平均曲率半径，精度达1km 即可为某些应用及了解归算公式的几何意义，上式又可简化为：

22421A

A m R D R H D D h D S +-??-= （2）上式第二项是两端点高差引起的倾斜改正主项，经过此项改正，测线值已变成了平距；第三项是平均测线高出椭球面引起的投影改正，经此项改正后，测线值已变成了弦线；第四项则是由弦长改化为弧长的改正数。

例：已知B 1＝35°，B 2＝35°02′，A ＝30°（算得R A ＝6366km ），H 1＝800m ，H 2＝1000m ，D ＝3456.789m 根据（1）式算得S ＝3450.511m 根据（2）式算得S ＝3450.513m

(应以（1）式结果为准，（2）式结果作为检核)

练习及作业： 1、阅读

①、教材§7.6；§7.7；§10.1；§10.2 ②、梅是义、孔祥元主编《控制测量学》§6-7 2、思考

①、椭球定位的意义和基本方法；

②、地面观测值归算到参考椭球面上的内容有哪些？ ③、天文方位角如何归算为大地方位角？

④、地面方向观测值如何归算为椭球面上的大地线方向？ ⑤、作图并说明“三差改正”；

⑥、“三差改正”各在什么等级、何种情况下进行？ ⑦、作图并理解两种地面测量的长度归算到椭球面的方法。

常用形体体积面积计算公式大全

图形常用形体的体积、表面积计算公式尺寸符号 a-棱於-对角线S-表両积 K-侧表面积讥h-边长 0-底面对角线的交点 a上川-边畏力-高 F-JK S积 0 ■底両中线的交点 y-一个组合三角老的両积左-组合三角形的个数 0-锻底答对角线交点此凤-两平行底面的面积力■底面间更离。-一个组合梯形的面积和-组合梯形数卫-外半径一內半径￡-柱壁厚度 P-平均半径勺= 内外侧面积仿积（卩）底面积（F）表面积（小侧表面积（仓） /= Q?決h S = 2(c? ? E +a ? % +E ? %)

百度文库?让每个人平等地捉升口我夙一球半径 ①巳-底面半径 /腰高兔-球心o 至帝底圆心q 的距离对于抛物线形桶体 y = ^-（2D 2+Dd + -d 2） 15 4 对于回形桶仿 7略（仃+八） a,b,c ■半轴交叉柱体卩=加（屮一些心3-下底边长上底边长 h_上、下底边距离（高） V = -[(2a +勺加+(2甸诃如 6 =—[ab+(a +(?})(& 十劣十 ? 如 6 、常用图形求面积公式图形尺寸符号而积（F ）表而积（S ） Q ■中间断面直径 H -底直径 I-桶高￥ r U :

中考物理计算题(30道)付答案

机械与人 1．如图17所示，小刚用300N 的力匀速竖直向上提升质量为50kg 的重物，在10s 内把物体提升了1m （不计绳重及摩擦）．根据这些数据，请求出五个相关的物理量．（5分）图17 1、解：（1）490N 9.8N/kg kg 50=?==mg G （2）2m 1m 22=?==h S 绳（3）490J 1m 490N =?==Gh W 有（4）600J 2m 300N =?==绳总FS W （5）60W 600J/10s /===t W P 总总若求出物v 、绳v 、有P 、动G 、合F 等，且计算正确可相应给分． 2、如图9是锅炉上的保险阀，当门受到的蒸汽压强超过安全值时，阀门被顶开，蒸汽跑出一部分，使锅炉内的蒸汽压强减小，已知杠杆重可以忽略不计，OA 与AB 长度的比值为1：3，阀门的面积是3cm 2，要保持锅炉内、外气体的压强差是1.2×105Pa ，试求应将质量为多大的生物挂在杠杆的B 点？（g 取10N/kg ）解：根据杠杆的平衡条件可知：F1L1=F2L2 即mgL1=PSL2带入得 m ·10·4=1.2×105·3×10-4·1解得m= 0.9kg 3．如图16所示，质量不计的光滑木板AB 长1.6m ，可绕固定点O 转动，离O 点0.4m 的 B 端挂一重物G ，板的A 端用一根与水平地面成30°夹角的细绳拉住，木板在水平位置平衡时绳的拉力是8N 。然后在O 点的正上方放一质量为0.5kg 的小球,若小球以20cm ／s 的速度由O 点沿木板向A 端匀速运动，问小球至少运动多长时间细绳的拉力减小到

零。（取g=10N/kg ，绳的重力不计） 3．解：画出细绳的拉力F 的力臂OA ′ ，OA ′ = 2 1 OA =0.6（m ）…………………（1分）根据杠杆的平衡条件F 1L 1=F 2L 2 可得： F ·OA ′ =G·OB …………………………① …………………………（1分）设小球运动到距O 点L 处细绳的拉力恰好为零根据杠杆的平衡条件F 1L 1=F 2L 2 可得： G 球·L =G·OB …………………………② …………………………（1分）由①、②得： F ·OA ′ = G 球·L ……………………………………………………………（1分）则L= = 10 0.50.6 8??=0.96（m ）……………………………………（1分） t=2 .096 .0==v L v s =4.8（s ）…………………………………………………（1分） 4、用如图15所示的滑轮组，将480N 的物体以0.3m/s 的速度匀速提起，绳子自由端的拉力为200N （不计摩擦和绳重）（1）滑轮组的机械效率（2）拉力的功率（3）若用该滑轮组将重600N 的物体匀速提升2m 时，拉力做的功。 5、一辆轿车在平直的高速公路上匀速行驶1.8km ，轿车上的速度表如图17所示，在此过程中 ⑴轿车速度为多少km/h? 合多少m/s? ⑵若轿车发动机的功率为40kW ，则该车行驶中所受阻力多大？ ⑶若轿车消耗汽油0.25kg ，其发动机的效率多大？（q 汽油＝4.6× F·OA′G 球 40 60 80 100 120

中考数学椭圆的面积公式考点总结

中考数学椭圆的面积公式考点总结椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，那么 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e1,因为2a2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/ C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A, B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0，y0) 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^21 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^21 直线与椭圆位置关系

y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△0无交点相交△0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)公式：2 b^2/a 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。

初中物理基础计算题常见运算

初中物理中的计算题常见运算易错总结一、同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，，即n m a a ?= （m ，n 都是正整数）。例1、计算下列各式：（1）231010=? （2）581010=? （3）=?677 2.如果m 、n 是负整数呢？同底数幂的乘法法则还适用吗？例2、计算下列各式：（1）=?-6 877 （2） =?--9233 （3） =?-544 3.p n m a a a ??这个式子的结果又是多少呢？请说明原因。例3、计算下列各式：（1）=??x x x 54 （2）_____________1015103253=???- （3） =??-692333 4.物理中计算题给出数据的底数只有10，常见的同底数幂相乘的运算情况是：例4. 光在真空中的速度约为3× 105km /s ，太阳光照射到地球大约需要5×102s 。地球距离太阳大约有多少m ？

例5. 如图所示，是“伊利牌”纯牛奶的包装袋，袋中所装纯牛奶的体积为 m 3，牛奶的质量是 g （ρ牛奶＝1.05g/cm 3）。例6.如图所示的船闸中，仅阀门A 打开，上游和闸室组成；当闸室内的水深为36 m 时，水对闸室底部产生的压强是 Pa ，对闸室底部0.01 m 2的面积上产生的压力是 N 。(ρ水=1.0×103 kg/m 3，g 取10 N/kg) 二、同底数幂的除法 1.同底数幂的除法的运算性质：m n m n a a a -÷＝（0≠a ，n m ,为正整数， n m >）。这就是说，底数不等于零的同底数幂相除，底数不变，指数相减。例7.计算下列各式：（1） 25)(a a ÷- （2） 14++÷n n a a （n 为正整数）（3） 934)()()(y x y x y x +?+÷+ （4）若43 =x ，79=y ，求y x 23-的值。 2.物理中计算题给出数据的底数只有10，常见的同底数幂相除的运算情况是：例8.【2018广东】我国最新研发的63A 式轻型水陆两栖坦克的质量为24t ，它在陆地上行驶时与水平地面接触的总面积为8m 2，对地面的压强为________Pa ；坦克的前部和后部各装有一个浮控箱，当坦克在水面上浮渡时，它受到的浮力时______N ，排开水的体积为___________m 3.（3 3/100.1m kg ?=水ρ，g=10N/kg ）例9.【2018安徽】一台额定功率为2000W 的电热水器，水箱内装有50kg 的水，要把这些水从20 °C 加热到60 °C ，热水器正常工作需要 s ；若水吸收的热量全部由燃烧天然气提供，则需要完全燃烧 m 3的天然气[不计能量损失，已知c 水=4.2× 103J/（kg·°C ），q 天然气=4.2×107J/m 3]。三、幂的乘方 1.幂的乘方的运算法则：幂的乘方，不变，相乘。即n m a )(= （n m ,都是正整数）

常用面积体积计算公式大全

电如_边長馬-高 F-底面积 0-底両申銭的交点卩=FJ — (c -+i H - c) * b+2F 禺="+6+c)*ft ，-一个粗合三箱我的両积 71 -组合三角形的惱 O-锥底备对角護交点年店-两平行底面的面积力L 底面间歴畫 "-一个爼舍梯戒的面积 R-组合梯形数多面体的体积和表面积体积（茁）庭百积（F ）表面瞅门侧恚面积（鬲）图形尺寸符号 d-刘角爲表面积覇-侧表面积长方扩=Q S=6a 2 CS 血为-边拴 0-底面对角线的交点 V = a*h* h S = 2(a ? b 4-(j ? h +i * ft) ￡l-2Ma+&) 圆柱和空心圆柱 A 管去-外宰径 —内半径￡-柱壁區度 p -平均半径心=内外側面祝 B&- $=2滋?/! +2JC ￡^ E\ = 2/rR ? h 空心言圆柱: F =凤疋7勺=2叭伤 S=X?4F ）JU2/I （用-沔场=2品第卄） 5=n?/ + F

h -盘小高度怒-毘大高度F-属面举径尸-廐面半径巾-高卜母爼长 E工-虧面半径巾-高 ”母緩g ■制血+吩2*卩+—!_：cos a 禺F偽十吗) & = + F — ttri y-^^2+ ^+^) 禺■忒迎肝) 卩十押十试疋■!■/) 球扇r-*e 4宜径尸■兰直玉■輕：?口」石6沪 3 6 S =血2 -

夙-球半径 ①巳-底面半径 S ■ 4nJ -2J &, ■ ￡戊■矽一4了*彷 V a,b,c-半轴交叉圆柱体球缺椭球体 A 胎 D-中间斷面苴狂说 -廐直径『-桶高 = 2冲丘= ST ⑷-Q 护=佩乃 -町十山2 y~—(3R^3^+h^ $■2鈕 g= 2fviih 十牙叶 4-^) 卫-風总儒平旳半径 0-同环体平均半径川-凰环体截面言径 r-回环体茁両半径 .—— 圆环体为-球鎂的高 r- 瑋岐半栓日-平切厨言径业=曲面"5^ 球破表面积用于抛物线我桶徘卩=竺口“+戊4丄护） 15 4 对于园飛确体卩皤用十吗

初二物理计算题专题训练含答案

初二物理计算题专题训练 1.某辆汽车的速度如图（甲）所示：（1）当汽车司机看到图（乙）所示的标志牌后，如果就以速度计指示的速度匀速行驶，经12min 到达大桥，求标志牌到大桥的距离．（2）若他在遵守交通规则的前提下，从该标志牌到大桥，最少行驶多长时间？ 2..甲、乙、丙从同一地点、同时出发，沿同一方向做直线运动，甲、乙均做匀速直线运动，丙从静止开始加速运动，速度—时间图象如图所示．求：（1）经过10s ，甲、乙相距多远？（2）丙与甲速度相等时，甲运动的路程为多少？ 3. 汽车沿一平直公路以20 m/s 的速度行驶，其正前方有一座山崖，当汽车经过某处时，驾驶员按响喇叭，2 s 后听到回声，求按喇叭时距山崖有多远？（V 声＝340 m/s ） 4.下面是关于舰载机着舰的报道：歼－15舰载机飞临“辽宁舰”上空，建立下滑线、调整飞行速度，对着航母着陆区飞去。巨大的甲板向我们迎面扑来，给人以极强的压迫感。歼－15战机着舰，与尾钩完全咬合，在短短2.5s 内使战机速度从300km ／h 减少为零，滑行约100m ，稳稳停在甲板上。试解答下列问题：（1）歼－15舰载机降落时飞行员为什么会感到“巨大的甲板向我们迎面扑来”? （2）“在短短2.5s 内使战机速度从300km ／h 减少为零”中“300km ／h”是指舰载机着舰时的（填“平均速度”或“瞬时速度”），合多少m/s?（写出运算过程）（3）舰载机从触舰到静止过程的平均速度约是多少? 5. 某人在长铁管一端猛敲击一下，在长铁管另一端人听到两次声音间隔为0.4s ，求长铁管的长度？（声音在空气中、钢铁中传播速度分别是340m/s 、5200m/s ） 6.利用回声可以测量声源到障碍物的距离。科学工作者为了探测海底某处的深度，从海面向海底垂直发射超声波，经过4s 后接收到回波信号，已知声波在海水中的传播速度为1530m/s ，请简要回答或计算出下列问题。 ⑴被测量处海洋的深度为多少？ ⑵利用超声波的反射能否进行太空测距？为什么？ ⑶请你再说出超声波在实际生活中的两个应用的实例。 7.光在真空中传播速度是多少？为实现我国的探月计划，向月球发射的激光到达月球并返回地面共需2.56s ，则地球和月球间的距离是多少千米？初二（）班（）号姓名：命题人：物理备课组 ○ O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 装 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 订线

椭圆的面积公式

椭圆面积公式椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c)

椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M（x0，y0）椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

关于计算物理习题

第一章绪论 1. 什么是计算物理？计算物理与计算数学有何不同？答：计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法解决复杂物理问题的一门应用科学。计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理或“计算机实验”，计算数学则是解决物理问题的理论基础。 2. 试阐述计算机模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。答：优点：1.省时省钱 2.具有更大的自由度和灵活性 3.能够模拟极端条件下的实验缺点：1、不能获得物理定律和理论公式 2、计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需实验验证 3. 试阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系？计算物理在物理学研究中主要用于什么方面？答：计算物理在物理学研究中主要用于模拟实验并提供数据，用于验证理论方程还可以与实验结果对照或作为实验的参考数据。 4. 利用计算物理解决问题时，不同计算方法的选取会有什么影响？数值计算的误差包括哪些方面？在计算中如何减小误差？答：不同的方法选取会影响到计算的时间长短和计算结果的正确性。数值计算的误差包括：模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差。减小误差的方式有：1.两个相近的近似数相减

时，有效数字会严重损失，实际计算时要尽量避免；2.保护重要的物理参量；3.注意计算步骤的简化，减少算术运算的次数。 5.计算物理有哪些工作步骤？答：1.物理机理，2.数学提法，3.离散模型，4.算法程序，5.上机计算，6.结果分析。 6. 离散化与逼近的含义是什么？收敛性与稳定性的含义。答：离散化是为了能让计算机处理数据所做的必要步骤，逼近则是为了让结果尽量接近真值的方式。收敛性是指通过数值计算得到的近似解是否逼近数学模型的的真解这样一个性质，稳定性是指在数值计算中，误差的传播能否得到控制这样一个性质。第二章随机数和蒙特卡洛方法 1. 随机数列的类型和产生方法？任意分布的伪随机变量的抽样方法有哪些? 答：随机数的类型有真随机数、准随机数、伪随机数，产生方法有：物理方法和数学方法。伪随机变量的抽样方法有：直接抽样法（反函数法）、变换抽样法、舍选抽样法、复合抽样法、特殊抽样法。 2. 采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取a=5，c=1，m=16和x0=1 记录下产生出的前20 数，它产生数列的周期是多少？答：6、31、156、781、3906、19531、97655、 3. 简要叙述蒙特卡洛方法的基本思想。答：针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量N→∞的统计实验方法或计算机随机模拟方法。 4.蒙特卡洛方法对随机数有较高的要求，然而实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计算而产生的伪随机数，但是，只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检验，我们就可以把它当作真随机数放心使用。在产生伪随机数的方法中，有比较经典的冯·诺曼平方取中法和线性同余法，请分别写出它们的递推关系式？对于伪随机数一般需要做哪些统计检验（至少写出四个）？答：平方去中法：X n+1=[X n2/2r](mod22r) ξn=X n/22r 线性同余法：X i+1=a·X i+c (mod M) ξi+1=X i+1/M 伪随机数的统计检验：独立性检验和均匀性检验。 5.蒙特卡洛方法计算中减少方差的技术有哪些？

初中物理必做的8道电学经典基础计算题(附答案)(精编)

初中物理计算题分类复习一、串、并联电路计算： 1、在图1所示的电路中,当S1闭合,S 2、S3断开时,电压表的示数为6 V,当S1、S3断开,S2闭合时,电压表的示数为3 V.求：（1）电源电压是多少?（2）当S1、S3闭合,S2断开时,电压表的示数为多少? 图1 2、图2所示，用电压表分别测量L1两端的电压U1、L2两端的电压U2以及L1、L2串联的总电压U，请根据表盘读数回答下列问题：⑴L1两端的电压U1是多大？ ⑵L2两端的电压U2是多大？⑶L1、L2串联的总电压U是多大？⑷电源电压是多大？图2 二、欧姆定律计算： 3、如图3所示,R1=10,R2=15,电流表示数是1A，求：（1）R1中电流I1和R2中I2各是多大？（2）电压表的示数是多大？图3

4、如图4所示电路中，当电源电压为4 V时，电压表的示数为1 V；当电源电压增至12 V时，电流表的示数为0.5 A。求电阻R1、R2的阻值。图4 三、电功、电功率、焦耳定律计算：图5 5、如图5所示电路，电源电压为4．5V，R1阻值为5Ω，滑动变阻器R2最大阻值为20Ω，电流表量程为0～0．6A，电压表量程为0～3V。求：(1)滑动变阻器允许接入电路的阻值范围；(2)正常工作时整个电路消耗的最大功率。 6、某电热水瓶的铭牌如下表所示。若热水瓶内装满水，在额定电压下工作（外界大气压强为1个标准大气压）。求：（1）保温时通过电热水瓶的电流是多少？（2）加热时电热水瓶的电阻多大？（3）若瓶内20℃的水加热10min正好烧开，则加热时电热水瓶的热效率是多少？

7、某校同学在研究用电器的电功率时连接了如图6所示的电路，电路中电员两端电压保持不变。当闭合开关S1滑动变阻器的滑片P 移动到a 时，闭合开关S2、S3与断开S2、S3，电流表的变化范围为0.4A ～0.1A ，电压表的变化范围为6V ～4V ；当断开开关S2和S3，滑动变阻器的滑片P 移动到距a 点1/2时小灯泡L 正常发光。求：⑴小灯泡L 的额定功率⑵当开关S2和S3都闭合时，电路消耗的最小功率。图 6 8、如图7所示电路中，小灯泡L 标有“6V 3W”字样，R2=12Ω，当S1、S2都闭合时，电流表示数为0.8A ，这时小灯泡L 正常发光，求：⑴电源电压U ；⑵电阻R1的阻值；⑶当S1、S2都断开时，小灯泡L 消耗的功率。图 7

计算物理基础

装订线北京师范大学2007 ～2008 学年第二学期期末考试试卷（A卷）课程名称计算物理基础任课教师姓名：彭芳麟卷面总分： 100 分考试时长： 100 分钟考试类别：闭卷□√开卷□其他□院（系）：物理专业：物理年级： 06 姓名：学号：阅卷教师（签字）：一.选择题(10分) (对下面语句加以判断) 1. W = [ ]; ( 对) 2. a=5, A=7, Aa=9; ( 对) 3. x=0:0.1:6; A=[x; 4*x]; B=sin(A); plot(x,B) ( 对) 4. u = 1E-4 ( 对 ) 5. syms x, y, z, a, b ( 错 ) 二.填空题(10分) 列举冒号:的各种功能. 表示取从x到y的数值，如 x = 1:5; % x = 1 2 3 4 5 还可以设置步进 x = 1:2:10; % x = 1 3 5 7 9 表示取全部行/列及其它维数 A为矩阵，则B=A(:,2:3)表示截取A矩阵中“所有行”的“2~3”列的元素，并组成数组B。 2.程序中将长的语句分行书写时应该在分行处加上的符号是：。。。 3.在语句后面加上分号;的作用是：结束语句 4.方括号[ ]的功能有：矩阵运算

5.花括号{ }功能：用于单元阵列的赋值、定义字符串数组、引用结构数组元素三.说明下列指令的用法与功能(10分) 1.pause ：停顿：例如：pause （0.5）； 2.sphere 画三维球体：例如sphere(0.5); 3.polar 极坐标画图：th=0:0.01:pi; polar (th,sin(th*pi).*cos(th)) 4.demo 查看示例 5.format 改变显示方式四.简答题(20分) 1. 叙述调试程序的方法对于很简单的程序，直接运行皆可，MATLAB 会自动检测有错误的语句。对于和复杂的程序，可以逐句运行，看看每句执行的情况，如果有错，随时修正。更复杂的程序，可以分块设置间断点，然后分块调试，调试一部分程序在调试下一部分程序。 2.实时动画有两种,简单叙述它们的画法. MATLAB 用图像句柄来控制图形对象。通过查看图形句柄的所包含的图形属性，并通过改变其中的函数值及线形来改变图形。五.程序题(20分) 1. 已知 24210.2;( 1.6 1.6)2y x x x +-=-≤≤,这是一个隐函数, a) 用隐函数作图指令可以直接画它图形,请写出相应的语句。 ezplot('y^2+0.5*x^4-x^2=0.2',[-1.6,1.6]) b) 如果不用这种指令作图，则很烦琐，为了对比，请再编一个程序画图，不得用隐函数作图的指令。 y=solve('y^2+0.5*x^4-x^2-0.2','y')；解出y 关于x 的函数在用x=-1.6:0.1:1.6；在求出y ；plot （x ，y ）； 2. 高斯—勒让德积分公式是 11 1()()N n n n f x dx w f x =-=∑?，取N=3， 1321321/20.774597;00.555556;0.88888935()2 2x x x w w w f x x =-=====??=+ ??? 编出计算程序，要求不得用for 循环语句。 f=@(x)(1.5*x+2.5).^0.5; w1=0.555556;w3=w1;w2=0.888889;

中考物理计算题专题训练(含答案)

2018年中考物理计算题专题训练力学计算题一、密度 1．每节油罐车的容积为50 m3，从油罐中取出20 cm3的油，质量为17 g，则一满罐的油的质量是多少吨？二、速度 2．从遵义到重庆江北机场的路程为296 km，一辆小车以74 km/h的平均速度行驶了一半路程后，又以100 km/h的平均速度行驶完后一半路程．求： (1)这辆小车从遵义到重庆江北机场所需的时间是多少？ (2)这辆小车从遵义到重庆江北机场的平均速度是多少？三、压强 3．如图X5－1－1所示，水平桌面的正中央放着一个圆形鱼缸，重为30 N，其底面积为1 200 cm2 .鱼缸内装有0.2 m深的水，水的质量是27 kg，g取10 N/kg，计算： (1)鱼缸内所装水的重力； (2)鱼缸底部受到的水的压强； (3)鱼缸对桌面产生的压强．图X5－1－1 4．我国从20世纪70年代开始大规模研制潜水器，现已达到国际领先水平.2010年7月下水的“蛟

龙号”深海潜水器，是我国自主研制的，其设计的下潜深度达7 000 m ．2011年7月已完成5 000 m 级深海潜海和科学探测．若“蛟龙号”潜水器下潜至5 000 m ，求： (1)它受到海水的压强大约是多少？(ρ海水＝1.03×103 kg/m 3，取g ＝10 N/kg) (2)若观察窗的面积为300 c m 2，则海水对观察窗的压力大约是多少？四、浮力 5．有一木板漂浮在水面上，已知木板重1 800 N ，体积为0.3 m 3.g 取10 N/kg ，求： (1)木板的密度； (2)木板所受的浮力； (3)有一个人重700 N ，通过计算说明他能否安全地躺在木板上？ 6．在水中放入质量为3 kg 的木块，木块静止时有3 5 的体积浸入水中．求： (1)木块静止时所受的浮力． (2)木块的体积．五、机械效率 7．如图X5－1－2所示，工人用滑轮组提升重240 N 的物体，所用的拉力为150 N ，物体在5 s 内匀速上升1 m ．求： (1)有用功； (2)滑轮组的机械效率； (3)拉力的功率． 8．如图X5－1－3所示，小王站在高3 m 、长6 m 的斜面上，将重200 N 的木箱A 沿斜面从底端

图形各面积、体积计算公式大全

长方形的周长=（长+ 宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+ 下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径圆的周长=圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （长×宽长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高

平面图形名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a b c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长

α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a b)h/2 ＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2

计算物理习题

第二章习题（1）采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取5a =，1c =，16m =和 01x =.记录下产生出的前20数，它产生数列的周期是多少？（2）取137a =，187c =，256m =和01x =，用线性同余法产生出三维数组 {}12,,n n n ξξξ++和二维数组{}1,n n ξξ+，然后分别绘出其三维和二维分布图形。（3）用“投针法”计算出圆周率的数值，画出程序流程框图，并编写程序。（4）已知电子在物质中的作用截面电子对光电总σσσσ++=com pton ，试写出电子在物质层中相互作用的抽样程序框图和程序。（5）编写一个程序按照ξληln 1 --=产生随机数序列{}i η，并绘图表明其分布满足分布密度函数 ???>>=-其它, 00,0,)(λλλx e x f x 。（6） τ轻子的平均寿命为s 13104.3-?，试写出N 个τ轻子在实验室系中以速度v 运动的飞行距离的抽样程序框图和程序。（7）写出各向同性分布的角度 ?θ, 抽样程序（?θθd d d sin =Ω）。（8）如分布密度函数为n y x x e n y x f -=),(，（其中，n y x ,0,1≥≥为整数），试写出抽样程序框图和程序。（9）证明Breit-Wigner 分布 220)(1)(Γ +-Γ=x x x f π 可以通过0()i i x x cot πξ=-Γ抽样得到。（10）归一化黑体辐射频谱为 )()1 (15 )(4 4T k h x dx e x dx x f x νπ=-=其中证明如下抽样步骤得到的抽样分布满足上面的分布，求出它的抽样效率。抽样步骤：让L 等于满足下面不等式的整数l 的最小值， 4 141 190l j j ξπ=≥∑ 然后置)ln(1 5432ξξξξL x - =，其中i ξ为 [0，1] 区间均匀分布的伪随机数。

计算物理课后部分习题答案

第五题 /*计算物理作业 3.5题 *学号：20092200129 */ 程序： public class sun { public static void main(String argv[]){ double del=1e-6; int n=10,m=10; double h=Math.PI/(2*n); //Evaluate the derivative and output the result int k=0; for(int i=0;i<=n;++i){ double x=h*i; double d=(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h); double f2=firstOrderDerivative3(x,h,d,del,k,m); double df2=f2-O(x,f2); System.out.println("x="+x);

System.out.println(" f＂(x)="+f2); System.out.println("Error in f＂(x):"+df2); System.out.println(); System.out.println(); } } //Method to carry out 2st-order derivative throuth the adaptive scheme. public static double firstOrderDerivative3(double x,double h,double d,double del,int step,int maxstep){ step++; h=h/2; double d2=(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h); if(step>=maxstep){ System.out.println("Not converged after"+step+"recursions"); return d2; } else{ if((h*h*Math.abs(d-d2))

初中物理计算题汇总(附答案)

人教版初中物理计算题汇总（附答案） 1密度计算： 1、有一个玻璃瓶，它的质量为0.1千克。当瓶内装满水时，瓶和水的总质量为0.4千克。用此瓶装金属粒若干，瓶和金属颗粒的总质量是0.8千克，若在装金属颗粒的瓶中再装满水时，瓶、金属颗粒和水的总质量为0.9千克。求：（1）玻璃瓶的容积。（2）金属颗粒的质量。（3）金属颗粒的密度。 2、一个质量为232g 的铜铝合金球，其中含铝54g ，铜的密度为ρ铜＝8.9g/cm 3,铝的密度为ρ铝＝2.7g/cm 3 ，求合金球的密度为多少？二速度计算： 3、一座桥全长6.89Km ，江面正桥长为1570m ，一列长为110m 的火车匀速行驶，通过江面正桥需120s ，则火车速度是多少m/s?火车通过全桥需用多长时间？三、杠杆平衡条件计算： 4、长lm 的杠杆水平放置，支点在距左端0．8m 处，现在左端挂20N 重的物体，要使杠杆在水平位置平衡，应在杠杆的最右端挂的重物是多重。 5、一把杆秤不计自重，提纽到秤钩距离是4cm ，秤砣质量250g ．用来称质量是 2kg 的物体，秤砣应离提纽多远，秤杆才平衡？若秤杆长60cm ，则这把秤最大能称量多少kg 的物体？四、压强计算： 6、学生课桌质量为9千克，桌子与地面有四个接触面，每个接触面的面积为4×10 -4 米2；某同学将底面积为24.5×10-4米2 、容量为1升、装满水后水深为18厘米的塑料水杯放在课桌的桌面上。求：（1）课桌对地面的压力；（2）课桌对地面的压强；（3）杯对桌面的压强。（不计塑料水杯的质量） 7、放在水平面上容器内装有质量为1kg 的水，若水深h ＝18cm ，容器底面积S ＝50cm 2 ，不计容器的质量。求：（1）离容器底8cm 处有一个A 点，A 处受到水的压强和方向；（2）水对容器底的压力和压强；（3）容器对桌面的压力和压强。图7 图8 图9

椭球面上的常用坐标系及其相互关系

§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 6.2.1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角 L ，叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o ～180°）。 P 点的法线Pn 与赤道面的夹角B ，叫做P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系 ?? ???+=+=)() (大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ 6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。 6.2.3子午面直角坐标系设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。在该坐标系中，P 点的位置用L ,y x ,表示。

初中物理力学综合计算题(有答案)

初中物理力学综合计算题(有答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1、图31是某建筑工地利用滑轮组和卷扬机提起重物的示意图。当以速度v 1匀速提起质量为m 1的建筑材料时，滑轮组的机械效率为η1，卷扬机拉力的功率为P 1；当以速度v 2匀速提起质量为m 2的建筑材料时，滑轮组的机械效率为η2，卷扬机拉力的功率为P 2。若η2-η1=5%，P 1: P 2=2:3，m 1=90kg ，动滑轮受到的重力G 动=100N 。滑轮与轴的摩擦、细绳受到的重力忽略不计，g=10N/kg 。求：（1）提起质量为m 1的建筑材料时卷扬机对绳的拉力F 1；（2）两次工作过程中，建筑材料上升的速度v 1与v 2之比。 2．在生产玻璃过程中，常用位于天车上的卷扬机（其内部有电动机提供动力）通过滑轮组和真空吸盘提升玻璃，如图22甲所示。当卷扬机通过滑轮组提升质量为60kg 的玻璃并使玻璃以速度v 1匀速上升时，卷扬机对滑轮组绳端的拉力为F 1，天车对卷扬机的支持力为N 1，拉力为F 1的功率为P ，滑轮组的机械效率为η；当卷扬机通过滑轮组提升质量为80kg 的玻璃并使玻璃以速度v 2匀速上升时，卷扬机对滑轮组绳端的拉力为 F 2，天车对卷扬机的支持力为N 2。已知拉力F 1所做功随时间变化的图像如图22乙所示，卷扬机的质量为120 kg ，图31 卷扬机 240 W/J 480 720 960 0 2.0 卷扬机 A B C 玻璃吸盘天车

滑轮A 、B 的质量均为4kg ，3v 1=5v 2，η=75%，吸盘和绳的质量及滑轮与轴的摩擦均可忽略不计，g 取10N/kg 。求：（1）P 的大小；（2）v 2的大小；（3）N 1与N 2的比值。解：（1）由题中W －t 图像解得P =2s 960J = t W =480W …………………（2分）（2）根据η = %75W 480N 600111=?== = v P gv m P P W W 有总有………………………（1分）解得：v 1 =0.6m/s 已知：3v 1=5v 2 解得：v 2=0.36m/s ……………………………………………………………（1分）（3）设动滑轮C 所受重力为G 0，卷扬机提升60kg 玻璃时，滑轮组的机械效率为η=75% 所以有 η =%753B 011=++= g m G g m g m W W 总有，代入数据解得G 0=80 N ………（1 分）第一次提升60kg 玻璃的过程中，玻璃、动滑轮C 受力分析如答图5（1）所示，动滑轮B 受力分析如答图5（2）所示，卷扬机受力分析如答图5（3）所示。

空间几何体表面积与体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥： ②圆锥： 3、台体 ①棱台： ②圆台： 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥

3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。

分析：圆柱体积：圆柱侧面积：因此：球体体积：球体表面积：通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式：证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。延长两侧棱相交于一点。设台体上底面积为，下底面积为高为。易知：∽，设，则由相似三角形的性质得：

即：(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得：又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入：得：即： ∴ 4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（），越大，每一层越近似于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，则：每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……