人教版 九年级数学 相似三角形性质及应用讲义 (含解析)
第18讲相似三角形性质及应用
知识定位
讲解用时：2分钟
A、适用范围：人教版初三，基础偏上
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习相似三角形的性质以及应用，重点理解相似三角形性质的证明过程，注重理解相似三角形性质的综合应用，这也是初中数学的一个难点，希望学生从基础入手，为后期相似三角形的综合应用奠定基础。
知识梳理
讲解用时：3分钟
相似三角形的性质
相似三角形性质定理：
相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
注意：
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
课堂精讲精练
【例题1】
△ABC 中，BC=54cm ，CA=45cm ，AB=63cm ；另一个和它相似的三角形最短边长为15cm ，则最长边一定是（ ）。 A ．18cm B ．21cm C ．24cm D ．19.5cm
【答案】B
【解析】此题考查了相似三角形的性质， 设另一个和它相似的三角形的最长边为xcm ， 根据题意得：
x
63
1545
，解得：x=21，△最长边一定是21cm ，故选：B ． 讲解用时：3分钟
解题思路：首先设另一个和它相似的三角形的最长边为xcm ，由相似三角形的对应边成比例，然后解方程即可求得答案。
教学建议：相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意对应关系。 难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：相山区二模 年份：2018
【练习1】
如图所示，若△ABC△△DEF ，则△E 的度数为（ ）。 A ．28° B ．32°
C ．42°
D ．52°
【答案】C
【解析】本题考查相似三角形的性质的运用，
△△A=110°，△C=28°，△△B=42°，
△△ABC△△DEF ，△△B=△E ，△△E=42°，故选：C ． 讲解用时：2分钟
解题思路：先求出△B ，根据相似三角形对应角相等就可以得到。 教学建议：注意对应关系。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：定安县期末 年份：2017秋
两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为14cm，那么小三角形的周长为。
【答案】21cm
【解析】本题考查了相似三角形的性质，
根据题意得两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，则5x﹣3x=14，
解得x=7，所以3x=21，即小三角形的周长为21cm．
讲解用时：4分钟
解题思路：利用相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为5：3，于是可设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，所以5x﹣3x=14，然后解方程求出x后就是3x即可。
教学建议：熟记相似三角形的周长比等于边长比，等于相似比。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：雁塔区期末年份：2017秋
【练习2】
如果两个相似三角形对应边之比是1：3，那么它们的对应中线之比是（）【答案】1：3
【解析】本题考查相似三角形的性质，
△两个相似三角形对应边之比是1：3，
又△相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，
△它们的对应中线之比为1：3．
讲解用时：2分钟
解题思路：利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比都等于相似比来解答。
教学建议：熟记相似三角形的对应高、中线、角平分线的比都等于相似比。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：虹口区一模年份：2018
若△ABC△△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为。【答案】4：9
【解析】本题考查的是相似三角形的性质，
△△ABC△△DEF，对应中线比为2：3，△△ABC与△DEF的相似比为2：3，
△△ABC与△DEF的面积比为4：9．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答。
教学建议：相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：鞍山一模年份：2018
【练习3】
△ABC是由△DEF的每条边都扩大到原来的2倍得到的，则△ABC与△DEF的面积之比为。
【答案】4：1
【解析】本题考查了相似三角形的性，
△△ABC是由△DEF的每条边都扩大到原来的2倍得到的，
△△ABC与△DEF的相似比是2：1，
△△ABC与△DEF的面积之比为4：1．
讲解用时：2分钟
解题思路：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答。
教学建议：熟记性质并确定出相似比。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：河北模拟年份：2018
【例题4】
如果△ABC△△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是（ ）。
A ．BC ：DE=1：2
B ．△AB
C 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．△A 的度数：△
D 的度数=1：2 D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2
【答案】D
【解析】本题考查对相似三角形性质的理解，
A 、BC 与EF 是对应边，所以BC ：DE=1：2不一定成立，故本选项错误；
B 、△AB
C 的面积：△DEF 的面积=1：4，故本选项错误； C 、△A 的度数：△
D 的度数=1：1，故本选项错误；
D 、△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2正确，故本选项正确，故选：D ． 讲解用时：3分钟
解题思路：根据相似三角形对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各选项分析判断即可得解。 教学建议：熟记相似三角形的性质逐项排除。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：东台市一模 年份：2018
【练习4】
如图，已知△ABC△△DEF ，2
1
=DE AB ，则下列等式一定成立的是（ ）
。 A ．
=
21 B ．2
1=DF BC C ．=
21
D ．
=
2
1 【答案】D
【解析】此题主要考查了相似三角形的性质， △△ABC△△DEF ，2
1
=DE AB ，△=2
1
，故选：D ． 讲解用时：3分钟
解题思路：直接利用相似三角形的性质分析得出答案。
教学建议：熟记相似三角形的性质，逐项排除。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：凌海市期末年份：2017秋
【例题5】
如图所示，△ACB△△A′CB′，△BCB′=30°，则△ACA′的度数为。
【答案】30°
【解析】本题考查了相似三角形性质的应用，
△△ACB△△A′CB′，△△ACB=△A′CB′，
△△ACB﹣△A′CB=△A′CB′﹣△A′CB，△△ACA′=△BCB′，
△△BCB′=30°，△△ACA′=30°。
讲解用时：5分钟
解题思路：根据相似三角形性质求出△ACB=△A′CB′，都减去△A′CB即可。
教学建议：理清角度关系。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：北京期末年份：2017秋
【练习5】
如图，在△ABC中，△B=80°，△C=40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为。
【答案】40°
【解析】本题主要考查了相似三角形的性质以及旋转的性质，
如图，直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN△△ACB，则△AMN=△C=40°，
又△直线l平行于BC，△△ADE=△B=80°，
△△DFM=△ADE﹣△AMN=80°﹣40°=40°，
即直线l旋转前后的夹角为40°，△旋转角为40°。
讲解用时：8分钟
解题思路：若△AMN△△ACB ，则△AMN=△C=40°，再根据直线l 平行于BC ，可得△ADE=△B=80°，进而得到△DFM=△ADE ﹣△AMN=80°﹣40°=40°，即可得出旋转角的大小。
教学建议：相似三角形的对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：黄浦区一模 年份：2018
【例题6】
如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，AC=3，BC=4，翻折△C ，使点C 落在斜边上某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上），若△CEF 与△ABC 相似，则AD 的长为 。
【答案】59或2
5
【解析】本题考查的是相似三角形的性质、翻转变换的性质，掌握
相似三角形的对应边的比相等、运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键。 若△CEF 与△ABC 相似，分两种情况： △若CE ：CF=3：4，
△CE ：CF=AC ：BC ，△EF//AB ， 由折叠性质可知，CD△EF ，
△CD△AB ，即此时CD 为AB 边上的高， 在Rt△ABC 中，△△ACB=90°，AC=3，BC=4， △AB=
=5，△在RT △ACD 中，由勾股定理知AD=5
9
；
△若CF ：CE=3：4，
△△CEF△△CBA ，△△CEF=△B ． 由折叠性质可知，△CEF+△ECD=90°， 又△△A+△B=90°，△△A=△ECD ，△AD=CD ， 同理可得：△B=△FCD ，CD=BD ， △D 点为AB 的中点，△AD=
21AB=25，故答案为：59或25。
讲解用时：10分钟
解题思路：△CEF 与△ABC 相似，分两种情况：△若CE ：CF=3：4，如图1所示，此时EF//AB ，CD 为AB 边上的高；△若CF ：CE=3：4，由相似三角形角之间的关系，可以推出△A=△ECD 与△B=△FCD ，从而得到CD=AD=BD ，即D 点为AB 的中点。
教学建议：注意运用分类讨论及数形结合思想进行解题。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：怀远县模拟 年份：2018
【练习6】
在等腰△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，将△ABC 的一角沿着MN 折叠，点B'落在AC 上，若△ABC 与△B'MC 相似，则BM 的长度为 。
【答案】3或
7
24
【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，以及图形的折叠问题。
△△ABC 沿MN 折叠B 和B′重合，△BM=B′M ， 设BM=x ，则CM=6﹣x ， △当△B′MC△△ABC ，△，
△AB=8，BC=6，△， 解得：x=
，即：BM=
， 当△MB′C△△ABC ，，
，解得：x=3， 故BM=3或
7
24。 讲解用时：10分钟
解题思路：根据折叠得到BM=B′M ，根据相似三角形的性质得到
或
，设BM=x ，则CM=6﹣x ，即可求出x 的长，得到BM 的长，即可得
出答案。
教学建议：注意运用分类讨论及数形结合思想进行解题。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：河南模拟 年份：2018
【例题7】
如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：△PA+PB+PC+PD的最小值为10；
△若△PAB△△PCD，则△PAD△△PBC；
△若S1=S2，则S3=S4；
△若△PAB△△PDA，则PA=2
其中正确的是（把所有正确的结论的序号都填在横线上）。
【答案】△△△
【解析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、全等三角形、相似三角形的性质，勾股定理、矩形的性质、线段垂直平分线的判定等知识。
△当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故△正确；
△若△PAB△△PCD，则PA=PC，PB=PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD△△PBC，故△正确；
△若S1=S2，易证S1+S3=S2+S4，则S3=S4，故△正确；
△若△PAB～△PDA，则△PAB=△PDA，△PAB+△PAD=△PDA+△PAD=90°，△APD=180°﹣（△PDA+△PAD）=90°，同理可得△APB=90°，那么△BPD=180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2，故△错误，故答案为△△△。
讲解用时：15分钟
解题思路：△当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的最小值，即可判断；△根据全等三角形的性质可得PA=PC，PB=PD，那么P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，易证△PAD△△PBC，即可判断；△易证S1+S3=S2+S4，所以若S1=S2，则S3=S4，即可判断；△根据相似三角形的性质可得△PAB=△PDA，△PAB+△PAD=△PDA+△PAD=90°，利用三角形内角和定理得出△APD=180°-（△PDA+△PAD）=90°，同理可得△APB=90°，那么△BPD=180°，即B、P、D 三点共线，根据三角形面积公式可得PA=2.4，即可判断。
教学建议：根据具体条件逐项分析。
难度：5 适应场景：当堂例题 例题来源：六安模拟 年份：2018
【练习7】
如图示意图，A 点的坐标为（2，2），点C 在线段OA 上运动（点C 不与O 、A 重合），过点C 作CD△x 轴于D ，再以CD 为一边在CD 右侧画正方形CDEF ，连接AF 并延长交x 轴于B ，连接OF ，若△BEF 与△OEF 相似，则点B 的坐标是 。
【答案】 （1，0）或（3，0）或（6，0）
【解析】本题考查的是正方形的性质、坐标与图形的性质以及相似三角形的判定等有关知识。 要使△BEF 与△OFE 相似，设OD=t ， △△FEO=△FEB=90°，△只要EF EF EB OE =或EB
EF
EF OE =
， 即：BE=2t 或t EB 2
1
=
， （1）当BE=2t 时，BO=4t ，
△t t
t
422=-，△t 1=0（舍去）或t 2=1.5，△B （6，0）
； （2）当t EB 2
1
=时，
△当B 在E 的左侧时，t EB OE OB 23
=-=，
△
t t t 2322=-，△t 1=0（舍去）或t 2=
32
，
△B （1，0）； △当B 在E 的右侧时，t EB OE OB 2
5
=+=， △
t t t 2522=-，△t 1=0（舍去）或t 2=5
6
，△B （3，0）， 综上，B （1，0）或（3，0）或（6，0）。 讲解用时：15分钟
解题思路：依题意要使△BEF△△OFE ，则要EF EF EB OE =或EB
EF
EF OE =，分三种情况解答即可。
教学建议：注意分类讨论。
难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：蜀山区一模年份：2018
【例题8】
王华在学习相似三角形时遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP△△ABC，还需要补充的一个条件是，或。
请回答：
（1）王华补充的条件是，或。
（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，△A=30°，AC2=AB2+AB?BC，求△C的度数。
【答案】（1）△ACP=△B（或△APC=△ACB）、AC2=AP?AB（2）50°
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，
（1）王华补充的条件是：△ACP=△B（或△APC=△ACB）；或AC2=AP?AB；理由如下：
△△A=△A，△当△ACP=△B，或△APC=△ACB；
或，即AC2=AP?AB时，△ACP△△ABC；
故答案为：△ACP=△B（或△APC=△ACB），或AC2=AP?AB；
（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：
△AC2=AB2+AB?BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB?AD，△，
又△△A=△A，△△ACB△△ADC，△△ACB=△D，
△BC=BD，△△BCD=△D，
在△ACD中，△ACB+△BCD+△D+△A=180°，
△3△ACB+30°=180°，△△ACB=50°。
讲解用时：15分钟
解题思路：（1）由△A=△A，当△ACP=△B，或△APC=△ACB；
或时，△ACP△△ABC；（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，由已知条件得出证出，由△A=△A，证出△ACB△△ADC，得出对应角相等△ACB=△D，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出△ACB+△BCD+△D+△A=180°，得出△ACB=50°即可。
教学建议：第（2）问关键是AC2=AB2+AB?BC条件的转化，要通过作辅助线证明三角形相似才能得出结果。
难度：5 适应场景：当堂例题例题来源：通州区期末年份：2015秋
【练习8】
一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法，请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
如图，在△ABC中，△ACB＞△ABC，
（1）若△BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD△△ABC （不包括全等）？
（2）请对△BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD△△ABC（不包括全等）的点D的个数？
【答案】（1）一个；（2）四个
【解析】主要考查的是相似三角形的判定以及分类讨论的数学思想。
（1）△如图1，若点D在线段AB上，由于△ACB＞△ABC，可以作一个点D满足△ACD=△ABC，使得△ACD△△ABC；
△如图2，若点D在线段AB的延长线上，则△ACD＞△ACB＞△ABC，与条件矛盾，因此，这样的点D不存在；
△如图3，若点D在线段AB的反向延长线上，由于△BAC是锐角，则△BAC＜90°＜△CAD，不可能有△ACD△△ABC，因此，这样的点D不存在．
综上所述，这样的点D有一个。
注：△中用“△CAD是钝角，△ABC中只可能△ACB是钝角，则△CAD＞△ACB”说明不存在点D亦可。
（2）若△BAC为锐角，由（1）知，这样的点D有一个（如图4）；
若△BAC为直角，这样的点D有两个（如图5）；
若△BAC为钝角，这样的点D有一个（如图6）．
讲解用时：20分钟
解题思路：（1）此题应分作三种情况考虑：
△点D在线段AB上，若△ACD△△ABC，已知的等量条件是公共角△BAC，那么必须满足△ACD=△ABC，由于△ACB＞△ABC，因此在线段AB上，有一个符合条件的D点；
△点D在线段AB的延长线上，此时已知的等量条件仍为公共角△BAC，由于△ACD＞△ACB＞△ABC，因此这两个三角形不可能相似，故在这种情况下，不存在符合条件的D点；
△点D在线段AB的反向延长线上，由于△BAC是锐角，那么△BAC＜90°＜△DAC，根据三角形的外角性质知：△CAD＞△BCA＞△ABC，因此这两个三角形也不可
能相似，故此种情况下也不存在符合条件的D点．
（2）可将△BAC分作三种情况：
△△BAC是锐角，△△BAC是直角，△△BAC是钝角；每种情况都可按照（1）题的分类讨论法进行求解。
教学建议：此题的难点在于怎样分类，能够将所有的情况都考虑到是解决此题的关键。
难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：佛山年份：2010
课后作业
【作业1】
如图，已知△ADE△△ACB，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（）。A．4B．5C．20 D．3.2
【答案】B
【解析】此题主要考查了相似三角形的性质，
△△ADE△△ACB，△=，
△AB=10，AC=8，AD=4，△=，解得：AE=5，故选：B
讲解用时：3分钟
难度： 3 适应场景：练习题例题来源：越秀区期末年份：2017秋
【作业2】
如图，△OAB△△OCD，OA：OC=3：2，△A=α，△C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下
列等式一定成立的是（）。
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】本题考查了相似三角形的性质，
△△OAB△△OCD ，OA ：OC=3：2，△A=α，△C=β， △，A 错误； △
，C 错误；
△，D 正确；
不能得出，B 错误；
故选：D ．
讲解用时：5分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：海淀区期末 年份：2017秋
【作业3】
已知如图，矩形OCBD 如图所示，OD=2，OC=3，反比例函数的图象经过点B ，点A 为第一象限双曲线上的动点（点A 的横坐标大于2），过点A 作AF△BD 于点F ，AE△x 轴于点E ，连接OB ，AD ，若△OBD△△DAE ，则点A 的坐标是 。 【答案】（
+1，
）或（
+1，
）
【解析】本题考查的是相似三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征。
当AF 与BC 为对应边时，设AE=3y ，则AF=DE=2y ， △OD=2，OC=3，△反比例函数的解析式为：x
y 6
， 由题意得，2+2y=，整理得，y 2+y ﹣1=0，
解得，y 1=
（舍去），y 2=
， △点A 的坐标是（
+1，
）；
当AF与OC为对应边时，设AE=2y，则AF=DE=3y，则2+3y=，
整理得，3y2+2y﹣3=0，解得，y1=（舍去），y2=，
△点A的坐标是（+1，），
故答案为：（+1，）或（+1，）
讲解用时：15分钟
难度： 4 适应场景：练习题例题来源：宜春模拟年份：2018
11、相似三角形的性质及其应用
11 1 1 1 1 1111111 1 11旋转变换型 将EAD 绕点A 旋转 BD AC 向下平 移DE 对称交 换型 交换AD 与AE A E D D E D D E D E D E C B A A B C A B C C B A C B(E)A C B C B A B C D E D A 老师姓名 学生姓名 教材版本 北师大版 学科名称 年级 上课时间 课题名称 相似三角形的性质及其应用 教学目标 及重难点 教 学 过 程 知识点回顾： 一、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角 对应边 ⑵相似三角形对应高线的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于 3、判定：⑴两角 的两三角形相似 ⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似 ⑶三组对应边的比 的两三角形相似 【提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在“方格”三角形中】 4、直角三角形射影定理： 5、相似的常见基本图形： 【经典例题】 例1、如图，DE ∥BC ，S ΔDOE ∶S ΔCOB =4∶9，求AD ∶BD. 例2、在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得 D A B C
到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； 例3、如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3. (1)如图(1)，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长. (2)如图(2)，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长. (3)如图(3)，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长. (4) 如图(4)，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，请写出正方形的边长. 相似三角形的应用： 知识点1:利用阳光下的影子 例1、某同学的身高为1.66米，测得他在地面上的影长为2.49米，如果这时测得操场上旗杆的 影长为42.3，那么该旗杆的高度是多少米? 知识点2：利用标杆 例2、某小组的同学利用标杆测量某旗杆的高度,将一条5米高的标杆竖在某一位置,有一名同学
相似三角形性质应用
相似三角形的性质及应用 相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 1．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 总结：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类 2．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 总结：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高. 举一反三 【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求. 总结：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.
相似三角形的应用 1．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽. 方案2： 思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条. 如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ 解：∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 答：河宽为85m． 总结：方案2利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等. 举一反三 【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m． (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度．
相似三角形的性质及应用练习题
相似三角形的性质及应用练习卷 一、填空题 1、已知两个相似三角形的相似比为3,则它们的周长比为 ； ２、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且 4 3 =''B A AB ,△ABC 的周长为12cm,则△A ′ B ′ C ′的周长为 ; 3、如图１,在△A ＢC 中,中线BE 、C D 相交于点G,则BC DE = ;S △GE Ｄ：S △ＧB Ｃ ＝ ； 4、如图2,在△ＡＢＣ中， ∠B=∠AED,ＡB=5,AD=3,ＣE=6，则AE= ; 5、如图3,△ＡＢC 中，M 是AB 的中点,N 在BC 上，BC=2AB,∠BM Ｎ=∠Ｃ,则△ ∽△ ，相似比为 ， NC BN = ; 6、如图4,在梯形ＡBCD 中，ＡD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE ＝4:9,则 S △A ＢD ：S △A ＢC ＝ ； 7、如图5,在△ABC 中，BC=12c ｍ,点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点,则DE+FG+B Ｃ= ； 8、两个相似三角形的周长分别为5ｃm 和1６cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ； 9、两个三角形的面积之比为２：3，则它们对应角平分线的比为 ,对应边的高的比为 ;对应边的中线的比 周长的比 １０、已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、３、4,另一个三角形最长边长为12,则ｘ、 ｙ的值为 ； 二、选择题 11、下列多边形一定相似的为（ ） A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形 １2、在△ABC 中，BC=15cm,CA=45c ｍ，AB ＝６3c ｍ，另一个和它相似的三角形的最短边是5ｃm ， 则最长边是( ) A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B M N 图3 A B C D E 图4 A B D F 图5 G E
相似三角形的综合应用(提高)
相似三角形的应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 【知识回顾】 一、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等． （2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．． ． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比． 二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等． 【典型例题】 例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 例2：阅读以下文字并解答问题： 在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E
度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ． （1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）． （3）请选择丙树的高度为（ ） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看． 【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度． 图1 图2 图3 图 4
初中数学 相似三角形的性质及应用练习卷
第2页 共2页 相似三角形的性质及应用练习卷 班级 姓名 座号 评分 一、填空题 1、已知两个相似三角形的相似比为3，则它们的周长比为 ； 2、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且 4 3 =''B A AB ， △ABC 的周长为12cm ，则△A ′B ′C ′的周长为 ； 3、如图1，在△ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则BC DE = ；S △GED ：S △GBC = ； 4、如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ； 5、如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽△ ，相似比为 ， NC BN = ； 6、如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE =4：9，则S △ABD ：S △ABC = ； 7、两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ； 8、如图5，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点，则DE+FG+BC= ； 9、两个三角形的面积之比为2：3，则它们对应角的比为 ，对应边的高的比为 ； 10、已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个边长分别为x 、y 、12，则x 、y 的 值分别为 ； 二、选择题 11、下列多边形一定相似的为（ ） A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形 12、在△ABC 中，BC=15cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ， 则最长边是（ ） A 、18cm B 、21cm C 、24cm D 、19.5cm 13、如图，在△ABC 中，高BD 、C E 交于点O ，下列结论错误的是（ ） A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、A D ·AC=A E ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 14、已知，在△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，若BC=5，CD=3，则AD 的长为（ ） A 、2.25 B 、2.5 C 、2.75 D 、3 15、如图，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上， 其余两个顶点A 、D 在PQ 、PR 上，则PA ：PQ 等于（ ） A 、1：3 B 、1：2 C 、1：3 D 、2：3 A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B C M N 图3 A B C D E 图4 A B C D F 图5 G E A E B C D O A P B C D Q R
相似三角形性质及其应用练习题
相似三角形性质及其应用 1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。 考查重点与常见题型 1． 相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如： 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------， 2． 考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如： 如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°, CD ⊥AB 与D ，AC=6，BC=8， 则AB=--------，CD=---------， AD=---------- ，BD=-----------。， 3． 综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。 预习练习 1． 已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（ ） 2． 有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长-------- m ，面积是----------m 2 3． 有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个 三角形的周长为----------，面积是------------- 4． 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ， 则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm 2，则较小的三角形的面积为 ---------- cm 2 5． 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是----------- 6.已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在 斜边上的射影之比------------- 考点训练 1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ） （A ）9∶5 （B ）81∶25 （C ）3∶ 5 （D ）不能确定 2．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ） （A ）AD ? BD=CD 2 （B ）AC ?BD=CB ?AD （C ）AC 2 =AD ?AB （D ）AB 2 =AC 2 +BC 2 4．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG GA 的比值 是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D ）8
451相似三角形性质及其应用教学设计
4.5.1 相似三角形性质及其应用 课型：新授课 备课人： 教材分析： 《相似三角形的性质及其应用》在初中几何中《相似三角形》的这章重点内容之一。而 且这是学生学完相似三角形定义及其判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性， 以完成 对相似三角形的全面研究。相似三角形的性质也是全等三角形性质的拓展， 也是研究相似多 边形的基础。这些性质是解决有关实际问题的重要工具，因此，这一节课无论在知识上，还 是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用。 教学目标 1、 掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2、 会运用上述两个性质解决简单的几何问题。 3、 了解三角形重心和的概念和重心分每一条中线成 1:2的两条线段的性质。 4、 思想方法：类比思想和转化思想 重点：相似三角形性质的基本性质 ：对应角相等，对应边成比例的应用。 难点：例2证明需要添加辅助线，是本节教学难点。 学情分析： 学生已经学习过相似三角形的定义： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三 角形；已经掌握相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；还掌握 了判定相似三角形的方法： 1、预备定理； 2、两个角对应相等的两个三角形相似； 3、两边 对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 4、三边对应成比例的两个三角形相似。相似 三角形的性质应用非常广泛， 学生也经历过很多用到相似三角形性质的应用，且判定方法也 掌握比较熟练。 教学过程： 一、复习导入 如图，△ A ' 1 又??? A ' D'为/B' A ' C '的角平分线，??? /B' A ' D' =— / B ' A ' C' 2 1 ??? AD 为 ZBAC 的角平分线，? /BAD* ZBAC ?/B ' A' D =/BAD 2 ? △ A ' B ' D' ◎△ ABD(ASA),： A' D' =AD 教师：我们发现什么结论呢？ 学生：全等三角形的对应角的角平分线相等。 (说明：本节课的导入以全等三角形的角度切入，学生在八年级已经将全等三角形的定义， 性质及其判定方法熟练掌握， 而相似三角形为全等三角形的拓展， 在知识的构架基础上思维 连贯，为后面相似三角形的性质及其应用做好铺垫。 ) 二、探索新知 教师：现在老师将全等三角形的 条件弱化，将全等三角形变成相似三角形，则对应角的角平 /B ' A C =/BAC,A' B ' =AB B' C'也厶ABC A D'、AD 分别是对应角平分线，问 A D'、AD 的数量 = /B , 关系？ C
北师大九上第16讲 相似三角形的性质及应用(提高)
相似三角形的性质及应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 要点二、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【典型例题】 类型一、相似三角形的应用 1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）. A.24m B.22m C.20m D.18m 2 11 22= 11 22 ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D ''' '''' ???? == ''''''''' ?? △ △
相似三角形的判定、性质及应用(习题)
相似三角形的判定、性质及应用（习题） ?例题示范 例1：如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？ F E D C B A 解：△ABE与△DEF相似．理由如下： 在正方形ABCD中， ∠A=∠D=90°，AB=AD=CD 设AB=AD=CD=4a ∵E为边AD的中点，CF=3FD ∴AE=DE=2a，DF=a ∴ 4 2 2 AB a DE a ==， 2 2 AE a DF a == ∴AB AE DE DF = 又∵∠A=∠D ∴△ABE∽△DEF 例2：小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． F E D C B A 解：由题意，AE=20，CE=2.5，DC=1.6，∠FEB=∠FED ∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE =∠DCE =90° ∴△BAE ∽△DCE ∴AB AE DC EC = ∴201.6 2.5AB = ∴AB =12.8 ∴大楼AB 的高为12.8米． ? 巩固练习 1. 如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP =∠B ； ②∠APC =∠ACB ；③2AC AP AB =?； ④AB CP AP CB ?=?．其中能判定△ABC ∽△ACP 相似的是__________． B P C A E C A B D 第1题图 第2题图 2. 有（ ） A .△AED ∽△BED B .△AED ∽△CBD C .△AE D ∽△ABD D .△BAD ∽△BCD 3. 在如图4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1 点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ A B C D 4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ， 1 2 OD OC =，若OA =1，92OB = ，则OD =_____， AD BC =______．
相似三角形性质及其应用
1 相似三角形性质及其应用 知识点相似三角形性质，直角三角形中成比例线段 要求 1. 掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三 角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2. 掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项； 每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的 简单问题。 考查重点与常见题型 1. 相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如： 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是 1 : 2，则这两个三角形的对应高线之比是 ―― 对应中线之比是 ，周长之比是----—，面积之比是 ，若两个相似三角形的面积之 比是1 : 2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是 -――，对应边上的高线之比是 ----- 对应边上的中线之比是----—，周长之比是 ， 2. 考查直角三角形的性质，常以选择题或填空题形式出现，如： 如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , CDL AB 与 D, AC=6 BC=8 贝U AB=— ，CD=—， AD=-— ，BD=_—。， 3. 综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。 预习练习 1 . 2. 3. 4. 已知两个相似三角形的周长分别为 8和6,则他们面积的比是( ) 有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是 60cm 面积是250cm 2，则这 个地区的实际周长--—m ，面积是---—-m 有一个三角形的边长为 3，4，5,另一个和它相似的三角形的最小边长为 7,则另一个三 角形的周长为---—，面积是—— 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为 10cm 和20cm,若它们的周长的差是 60cm,则 较大的三角形的周长是 ----—，若它们的面积之和为 260cm 2 ，则较小的三角形的面积为 2 -- cm 如图，矩形 ABCD 中, AE1 BD 于E ,若BE=4, DE=9,则矩形的面积是 12,则这两直角边在 5. 6. 已知直角三角形的两直角边之比为 斜边上的射影之比 ------ 考点训练 1?两个三角形周长之比为 95,则面积比为 (A ) 9 : 5 2. Rt △ ABC 中，/ 形共有 (A)1 个 (B)2 3 .在 Rt △ ABC 中， (A ) AD? BD=C D (B ) 81 : 25 ACB=90， (C ) 3 ??岳 (D )不能确定 CDL AB 于 D, DEL AC 于E ,那么和 △ ABC 相似但不全等的三 角 () (D)4 个 下列等式中错误的是( (C)3 个 / C=90°, CDL AB 于 D, (B) AC?BD=CBAD (C) A C=AD ?AB (D) A ^A C+B C
相似三角形的判定、性质及应用(讲义)
相似三角形的判定、性质及应用（讲义） ? 课前预习 一、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上： A ．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B ．全等图形的形状和大小都相同 C ．全等三角形的对应边相等，对应角相等 D ．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS ” E ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA ” F ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS ” G ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS ” 二、读一读，想一想 太阳光线可以看成平行光线．早在约公元前600年前，就有人利用平行光线去解决实际生活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第一位享有世界声誉，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者． 泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形．要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题．他苦苦思索着． 当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了．这一天，阳光的角度很合适，把所有东西都拖出一条长长的影子．泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔底面正方形的一边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度．当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度． 当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的．泰勒斯一边在沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影子构成了一个直角三角形．当我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形．而这时金字塔的高 （金字
人教版九年级相似三角形性质及应用
相似三角形 一、填空题1、已知两个相似三角形的相似比为3，则它们的周长比为 ； 2、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且 4 3 =''B A AB ，△ABC 的周长为12cm ，则△A ′ B ′ C ′的周长为 ； 3、如图1，在△ABC 中，中线BE 、C D 相交于点G ，则BC DE = ；S △GED ：S △GBC = ； 4、如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ； 5、如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽△ ，相似比为 ， NC BN = ； 6、如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE =4：9，则S △ABD ：S △ABC = ； 7、两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ； 8、如图5，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点，则DE+FG+BC= ； 9、两个三角形的面积之比为2：3，则它们对应角的比为 ，对应边的高的比为 ； 10、已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个边长分别为x 、y 、12，则x 、y 的值分别为 ； 11.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长是 。 12.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm ，面积为12cm 2 ，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？ 13、在△ABC 中，DE ∥BC ，E 、D 分别在AC 、AB 上，EC=2AE ，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的比为______ 14、如图， △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ＝DF ＝FB ，则S △ADE :S 四边形DFGE :S 四边形FBCG =______ 二、选择题 15、下列多边形一定相似的为（ ） A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形 16、在△ABC 中，BC=15cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ，则最长边是（ ） A 、18cm B 、21cm C 、24cm D 、19.5cm 17、如图，在△ABC 中，高BD 、C E 交于点O ，下列结论错误的是（ ） A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、A D ·AC=A E ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 18、已知，在△ABC 中，∠ACB=900 ，CD ⊥AB 于D ，若BC=5，CD=3，则AD 的长为（ ） A 、2.25 B 、2.5 C 、2.75 D 、3 19、如图，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上，其余两个顶点A 、D 在PQ 、PR 上，则PA ：PQ 等 A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B C M 图3 A B C D E 图4 A B C D F 图5 G E A E B C D O A P B C D Q R A B C D E F G
相似三角形的判定与性质以及应用
相似三角形的判定与性质以及应用 考点一：相似三角形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值． 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO． （1）已知BD=，求正方形ABCD的边长； （2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若BD=3，BE=2，求AC的值．
6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E． （1）求证：BE2=EG?EA； （2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC． 动点问题： 1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似说明理由．
相似三角形的性质及应用--巩固练习(提高--带答案)
相似三角形的性质及应用--知识讲解（提高） 【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽， 则分别作 出 与的 高 和，则 2 11 22= 11 22 ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D ''' '''' ???? == ''''''''' ?? △ △ 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法 2测量距离 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【典型例题】类型一、相似三角形的性质 1.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE ：S△BDE等于（） A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21
相似三角形应用举例
27.2.3 相似三角形应用举例（1课时） 实验中学刘柏槐 一、内容和内容解析 （一）内容 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度或高度． （二）内容解析 解决不能直接测量某物其长度或高度的问题，通常是利用可测物的高度或宽度来表示不可测物的高度与长度．我们曾利用全等三角形的知识解决过有关问题，但要测一些大型建筑物的高度或宽度，用全等三角形的知识就不大方便． 相似三角形的对应边成比例，反映的是线段间的一种等量关系，利用相似三角形的性质可以有效地解决不便直接测某物其长度或高度的问题．要利用相似三角形的知识解决这类问题，就要设法构建一对相似三角形，且使构建的相似三角形模型中有表示测物长度或高度的线段及部分可测大小的线段． 基于上述分析，可以确定本节课的教学重点是：把实际问题转化成相似三角形模型的构 建与应用． 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1．体会数学建模思想． 2．构建相似三角形模型解决简单实际问题． （二）目标解析 1．“寻模——建模——用模”是应用数学知识解决实际问题的常用思路，在解决数学问 题时，首先在题设中寻求适合解决问题的模型，如果没有现成的模型可用，则要根据实际情况构建相应模型，然后使用该模型的相关性质解决问题． 2．会根据实际情况用建模思想构建相应的相似三角形模型，能运用相似三角形的知识 解决有关线段度量的简单问题． 三、教学问题诊断分析 学生有过用所学知识解决不能直接测量某物其长度或高度的问题的体验，但用全等三角形的知识测一些大型建筑物的高度或宽度（如测金字塔的高度），有些不切实际．解决这类问题需构建两个相似三角形，并要测量出其中相应某些边的长度值，最后利用相似三角形的性质求出对应的待测物的边长，其间就是借助成比例的线段中的已知线段求出未知线段；相似三角形的构建及获取相应的某些线段的长度值，学生往往难以做到． 本节课的教学难点是：相似三角形模型的构建与相关线段长度值的获取． 四、教学支持条件分析 flash软件，几何画板． 五、教学过程设计 （一）复旧引新 师生活动：教师利用多媒体课件出示： （1）怎样判断两个三角形相似？ （2）相似三角形的性质有哪些？ （3）怎样作一个三角形与已知三角形相似？
浙教版-数学-九年级上册-4.5 相似三角形的性质及其应用(2) 教案
相似三角形的性质及其应用（2） 教学目标： 1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2、进一步检验数学的应用价值. 重点与难点： 1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题. 2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点. 知识要点： 1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得. 2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的. 重要方法： 1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的. 2、在测量宽度时，可采用下面的方法. 教学过程： 一、复习提问 我们已经学习相似三角形的性质有哪些？ 1、相似三角形对应角相等。 A B E A B C D E A B C D E
∵△A ′B ′C ′∽△ABC ∴ ∠A= ∠A ′ ， ∠B= ∠B ′ ∠C= ∠C ′ 2、相似三角形对应边成比例。 ∵△ABC ∽△ABC ∴AB A ′B ′ ＝BC B ′C ′ ＝CA C ′A ′ 3、相似三角形的周长之比等于相似比； 4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比. 思考：你能够将上面生活中的问题 转化为数学问题吗？ 二、例题讲解 1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？ A B C A ′ B ′ C ′
把一小镜子放在离树（AB ）8米的点E 处，然后沿着 直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ， 再用皮尺量得DE=2.8m ，观察者目高CD=1.6m 。 这时树高多少？你能解决这个问题吗？ 把长为2.40m 的标杆CD 直立在地面上，量出树的影长为2.80m ，标杆的影长为1.47m 。这时树高多少？你能解决这个问题吗？ 分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m ） 请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？ 2、如图，屋架跨度的一半OP=5m ，高度OQ=2. 25 m 。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1. 20m ，AB 在水平位置。求AB 的长度。（结果保留3个有效数字） D C A C A B C O P Q
相似三角形的性质及其应用
4.4相似三角形的性质及其应用（1） 教学目标： 1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程. 2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质. 3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题. 重点与难点： 1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质. 2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点. 知识要点： 三角形相似的条件： 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比. 3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重要方法： 1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根. 2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立. 教学过程： 一、问题情境 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100 平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？ 1、如图，4 ×4正方形网格 看一看：ΔABC与ΔA′B′C ΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少？（ 2 ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少? （ 2 想一想： 关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方验一验： 是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？ 已知：如图4-24,△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.
相似三角形性质与运用
一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F， 则△AGD∽ ∽。 本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1= ∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。 例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△ BCD 证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36° 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC 证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴BC AB = BE BD 即： BC BE = AB BD 在△DBE和△ABC中∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用 ∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且BC BE = AB BD ∴△DBE∽△ABC A B C D E F G 1 2 3 4 A B C D
例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。 分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相 似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的 几种基本图形： （1）如图：称为“平行线型”的相似三角形 E B C (2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。 A B C D E 1 2 A A B B C C D D E E 1 2 4 1 2 (3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ ECA 解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a， 由勾股定理可求得AE=a 2， 在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且2 = = AE EC EF AE 所以△EAF∽△ECA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE， B E A C D 1 2 A B C D E F K A B C D E F